Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Применение г-преобразования а обработке сигналов 218 Если полюсы функции Х(з) — первого порядка и )т' = М, то Х(з) можно разложить как Х(г)=Во+ + +.. + С, Сз См 1 — Ргз 1 — Рзз 1 — Рмз (4.15) Сг я Сзз Смз Сея м =в,+ + +...+ =в,+ у з — Рг з — Рг ' — Рм з — Рь где рз — полюсы функции Х(з), Сь — коэффициенты элементарных дробей, а Во = бн/ан. (4.1 6) Х(з) С„= — (з — рь) з =Ро (4.17) Если функция Х(г) имеет один или несколыю полюсов больше первого порядка (т.е.
совпадающих полюсов), то, чтобы учесть это, в уравнение (4.15) нужно добавить до- полнительные члены. Например, если функция Х(з) имеет полюс т-го порядка в точке -. = Ры то в разложение на элементарные дроби должны входить члены вида (4.18, а) Коэффициенты В, можно найти из зависимости т — 1 р=рз (4.18, б) Продемонстрируем оценку обратного з-преобразования методом разложения на эле- ментарные дроби на примерах. Пример 4.4 Функция Х(з) кодерзюипг просгпые полюсы первого порядка. Найдите ее обратное з-преобразование.
-1 Х(з) = 1 — 0,25з ' — 0,375з-з Сь также называют вычептами функции Х(з); см. раздел 4.3.3. Если в уравнении (4.14) порядок числителя меньше, чем порядок знаменателя, т.е. Лг < М, то В, будет равно нулю. Если И > М, то Х(з) вначале нужно сократить, чтобы получить Лг ( М, путем деления в столбик многочленов числителя и знаменателя, записанных через уменьшающийся показатель степени з '. Остаток можно выразить так, как это сделано в уравнении (4.15). Коэффициент Сю связанный с полюсом Рю можно найти, умножив правую и левую части уравнения (4.15) на (з — рь)/з, а затем сделав замену з = Рь.' 219 Для простоты вначале выразим г-преобразование через положительные показатели степени г, умножив числитель и знаменатель на гг (наивысшую степень г): Х(г)— гг — 0,25г — 0,375 (г — 0,75)(г+ 0,5) Х(г) имеет полюсы первого порядка в точках г = 0,75 и г = — 0,5 (т.е.
в каждом поло- жении полюса находится толью один полюс). Поскольку порядок числителя меньше, чем порядок знаменателя (М < М), разложение на элементарные дроби выглядит как С~г Сзг (» — 0,75)(г + 0,5) г — 0,75 г + 0,5' (4.19) Чтобы упростить поиск значений Сь, разделим правую и левую стороны на % С, Сг + Х(г) (4.20) г г(г — О, 75)(г + О, 5) г — О, 75 г + О, 5 Чтобы найти С,, просто умножим правую и левую части уравнения (4.20) на г — О, 75 и сделаем замену г = О, 75: (г — О, 75)Х(г) (г — О, 75) Сг(г — О, 75) г (г — О, 75) (г + О, 5) г + О, 5 1 1 4 г+ 0,5, 0,75+ 0,5 5 Аналогично находим Сг.' (г + О, 5)Х(г) ) 2 ,=-о.з (4.21) (г+ 0,5) 1 4 (г — 0,75)(г+0,5),, -0,5 — 0,75 5 Подставив значения С, и Сг в уравнение (4.19), получим (4/5) г (-4/5) г г — 0,75 г+0,5 Согласно таблице г-преобразований (строка 14 табл.
4.1) обратное г-преобразование каждого члена правой части уравнения (4.21) задается как 4(0, 75)" 5 4( — О, 5)" 5 4.3. Обратное г-преобразование Решение (4/5) г (4/5) 220 Глава 4. Применение г-преобразования в обработке сишалоа Искомое обратное г-преобразование х(п) — это сумма двух обратных г-преобразований: х(п) = -[(0,75)" — (-0,5)"],п > О. 5 Функция Х(г) имеегп комплексно-сопряженные полюсы первого порядка. Воспользовавшись методом разложения на элементарные дроби, найдите сигнал дискретного времени х(п) по его г-образу 1+2г '+г Х(г) = 1 — г '+0,3561г г Решение Вначале Х(г) выражается через положительные степени % ЛЧ~) г'+ 2г+ 1 Р(г) г' — «+ 0,3561 Полюсы функции Х(г) находятся из решения квадратного уравнения 17(г) = гг — г+ 0,3561 = 0 с помощью формул — Ь+ (Ьг — 4ас)'~г Р1 = 2а (4.22) Ь (Ь 4,.) Л Рг 2а \ где а и Ь вЂ” коэффициенты прн гг и г соответственно, а с — постоянный член. При а = 1, Ь = — 1 и с = О, 3561 полюсы будут равны: — 1+ (1 — 4 х 0,3561)цг Р1— 2 = О, 5 + О, 32571 = ге'~ Рг = Р1 = 0,5 — 0,32571 = ге где г = О, 5967, а 6 = 33, 08'.
Теперь можно выразить функцию Х(г) через ее полюсы: гг+2г+1 ( — Рг)(г-Р1)' Поскольку числитель и знаменатель функции Х(г) одного порядка, разложение на элементарные дроби будет выглядеть так: Х(г) Вс С, С, (4.23) + + г г Рг г Р1 4.3, Обратное г-преобразование (г — р1)Х(г) Ве(г — р,) Сг(г — р,) +С + Рз Таким образом, (г — р„) Х(г) (г — р,) (г' + 2» + 1) С,— г(г Р1Иг Рг),, „,*е (ге')'+ 2ге*'+ 1 ге'е(ге'е — ге и) ' (4.24) где г = 0,5967, д = 33,08'. Выполнив некоторые преобразования и упростив выраже- ние, получаем: 2,1439+ 0,977191 — О, 2122 + О, 32571 = -О, 9040999 — 5, 9928471 = = 6, 06066г'. — 98, 58'.
Поскольку р1 и рг — комплексно-сопряженная пара, то Сг — — С; = — 0,9040999 + 5,9928471 = 6,06066г'.98,58'. Таким образом, г-преобразование можно выразить так (см. уравнение (4.23)): С,г С,г Х(г) = 2,8082+ — + г — р, г — р,' (4.25) р1 — — О, 5 + О, 32571 рг — — О, 5 — О, 32571, С, = — О, 9041 — 5, 599281 Сг — — — О, 9041 + 5, 59928г1 Согласно таблице г-преобразований (строки 1 и 16 табл. 4. 1) обратное г-преобразование членов правой части уравнения (4.25) имеет внд Е '(2,8082) = 2,8082и(п) Я, + = 2 х 6,06066(0,5967)" соз(33,08п — 98,58') = — г -р11 = 12, 1213(0, 5967)" соз(33, 08п — 98, 58').
Таким образом, сигнал дискретного времени выражается так: х(п) = 2,8082и(п) + 12,1213(0,5967)" соз(33,08п — 98,58'), п > О. Из уравнения (4.16) Вс —— 1/0,3561 = 2, 8082. Чтобы найти С,, умножим обе стороны уравнения (4.23) на (г — р1), а затем сделаем замену г = р,: Глава 4. Применение г-преобразования в обработке сигналов Полезно проверить результаты метода разложения на элементарные дроби, вычислив значения х(п) для, скажем, и = О, 1, 2, а затем сравнив ия со значениями, полученными методом разложения в степенной ряд.
Например, из выражения для х(п) находим, что х(0) = 2,8082 — 1,80838 = 1;х(Ц = 2,99959 = 3;х(2) = 3,6436, что совпадает с результатами, полученными в примере 4.3 методом разложения в сте- пенной ряд. Прнмер 4.6 зз Х(л) = = ( - О, 5)(. - Ц' Решение У функции Х(г) есть полюс первого порядка в точке з = 0,5 и полюс второго порядка в точке г = 1. В этом случае разложение на элементарные дроби выглядит как Х(г) = + — + С Р, Р г — 05 г — 1 (з — Ц' (4.26) Чтобы найти С, будем действовать так же, как и ранее, и умножим обе стороны урав- нения (4.26) на г — О, 5, положим з = О, 5 и оценим выражение (з — О, 5)зз (. - О, 5)(. — Цз 05Д05 Цг 2 Чтобы найти Рп воспользуемся уравнением (4.18, 6) при з = 1 и гп = 2.
Таким образом, ! (г ЦгХ(з)1 6 ~ (з Цзгг ,(з ~.( -0,5)(. — Цз~,, г — 0,5,, (л — 0,5)з Аналогично Рз находится из уравнения (4.18, б) при подстановке 1 = 2 и зп = 2; (г — Цзх(г) ~ (з — Цеяз з(з 0 5Из Цг| = 1/(1 — 0,5) = 2. Функция Х(г) содержит полюс второго порядка. Найдите дискретную во времени последовательность Х(о) со следуюшим з-образом: 4.3. Обратное г-преобразование Объединив результаты, получим Х(г): 223 Х(,) 2г 2 2 г — 0 5 г — 1 (г — 1)' Обратное г-преобразование каждого члена из правой части уравнения можно найти по табл. 4.1, а затем просуммировать их, что даст х(п): х(п) = 2(0, 5)" — 2 + 2п = 2[(п — 1) + (О, 5) (, п > О. (4,27) Читатель может убедиться в правильности полученного результата, сравнив первые несколько значений последовательности х(п) со значениями, найденными методом раз- ложения в степенной ряд.
Согласитесь, метод разложения на элементарные дроби очень трудоемкий, за исключением простых случаев, и, применяя его, очень лепа ошибиться. Для удобства в приложении приведены программы на языке С и МАП.АВ для вычисления обратного г-преобразования с помощью разложения на элементарные дроби функции Х(г) с полюсами первого порядка. .' ':-.4.3:Эл,„Метод вычетов В этом методе г ' находится путем вычисления контурного интеграла Г х(п) = —, г Х(г)аг, 2я1 „~о (4.28) где С вЂ” это контур интегрирования, охватывающий все полюсы функции Х(г). Для рациональных многочленов контурный интеграл из уравнения (4.28) находится с по- мощью фундаментального результата теории комплексных переменных, называемого теоремой Коиги о вычетах (или теоремой вычетов) (3); (4.29) = сумма вычетов г" 'Х(г) во всех полюсах внутри С.
11ев(Р(г),рь( = (г — рй)Р(г) = (г — рь)г 'Х(г)( . (4,31) В предыдущем разделе упоминалось, что коэффициенты разложения на элементарные дроби Сь еще называют вычетами функции Х(г), и приводился способ вычисления их значений. Главное, что нужно запомнить, — это то, что каждый вычет Сь связан с полюсом ры В настоящем методе вычеты функции г" 'Х(г) в полюсе рь (но не вычеты функции Х(г)) задаются как ~т-1 Кев(р(г),рь( =, —,((г — р„)Г(г)(, р„, (4.30) где х'(г) = г" 'Х(г), пз — порядок полюса в точке ры а Вев(Г(г), рь( — вычет Г(г) в точке г = рь. Для простого (отдельного) полюса уравнение (4.30) сводится к 224 Глава 4. Применение г-преобразования в обработке снтналов . Ирныеу 4с7 С помощью метода вычетов найдите сигнал дискретного времени, соответствующий следующему г-образу (тот же, что и в примере 4.4): Х(г) = (г — О, 75)(г + 0,5) Предположите, что С вЂ” окружность [г[ = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
