Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 42
Текст из файла (страница 42)
5. Взаимосвязь с преобразованием Лапласа. Системы нли сигналы непрерывного времени, как правило, описываются с помощью преобразования Лапласа. Если з = е'т, где в — комплексная переменная Лапласа, которая задается как в=а+ио, то 3 — е(а~- )т вт ют (4.37) Следовательно, ф = ев' н ~з = ыТ = 2яг/Р, = 2лы~ьз„ где ьз, (рад(с) — частота дискретизации. Поскольку ы пробегает значения от — оо до оо, в-плоскость отображается в з-плоскость так, как показано на рис. 4.5. Вся осыы на в-плоскости отображается в единичную окружность. Левая сторона в-плоскости отображается внутрь круга единичного радиуса, а правая сторона в-плоскости — на внешнюю сторону окружности единичного радиуса.
Если выражать это через частотную характеристику, то осыы имеет самое большое значение на в-плоскости. В атом случае (( = 0 и частотные точки на в-плоскости связаны с точками единичной окружности на з-плоскости соотношением е ~Т (4.38) У(з) = Н(з)Х(в), (4.35, б) где Х(з), Н(з) и У(з) — соответственно з-образы последовательностей х(п), 6(lс) и у(п). При заданных Х(з) и Н(з) выход у(п) можно найти с помощью обратного г-преобразования У(з). Видно, что операция свертки в уравнении (4.35, а) превратилась в процесс умножения в з-области.
Записанную выше функцию Н(з) часто называют передапючпой функцией сися(емы. 4. Дифференцирование. Если Х(з) — з-образ последовательности х(п), то в-образ пх(п) можно найти, продифференцировав Х(в): 4.4. Свойства л-преобразовании Елнннчнся о«ружиасть Рис. 4,5. Отображение а-плосвости в а-плосаосгь. Левая сторона а-плосвости отображается нв внутреннюю часть а-плосвост, правая сторона отображается иа внешнюю часть, а ось «« отображается на единичную ояружность В табл. 4.2 показано, как некоторые особые частоты отображаются из л-плоскостн в л-плоскость. Ясно, что такое отображение неоднозначно, поскольку, например, две частоты ы = ы, и ы = 2ш, на и-плоскости отображаются в одну и ту же точку единичной окружности. Таблица 4.2. Отображение частот из л-плоскости в л-плоскость Глава 4. Применение т-преобразования в обработке сигналов 232 4,5;: некоторые.област34 применения:.:к-:;ар!еоб!разоаан!йя,",".'=:-:,, '! з ' - .
В,обработке,сигналоа. к,, '::,::.,-::.--„:),,;;;::-,,—.:;:;:;.: Существует множество областей применения з-преобразования в ЦОС. Несколько из них подробно рассматривается в последующих главах, особенно в главе 8. Следующие несколько разделов посвящены выяснению некоторых фундаментальных понятий, общих для всех этих областей. 4.5.'3," Описание систем дискретного времени с помощью полюсов и нулей Для большинства практических систем дискретного времени я-преобразование, т.е. передаточную функцию системы Н(з), можно выразить через ее полюсы и нули. Рассмотрим, например, следующее з-преобразование, представляющее собой обычный фильтр дискретного времени Г!г-го порядка (где ГК = М): Н(а) = —, )у(г) Р(з) ' (4.39) где )У(.) = безл+ бгз"-!+ 5ззл-з+... + 5„, Р(з) =лез +о!я +озз +...+он, аь и бь — коэффициенты фильтра.
Если функция Н(з) имеет полюсы в точках з = р!,рз,...,р!к и нули в точках з = з„з„..., зя, то Н(з) можно разложить на множители н представить в виде Н(г) = К(з з!)(з зз) ' ' ' (~ ~м) (4.40) (з р!)(з рз) (~ Рм) где з! — з-й нуль, р, — з-й полюс, а К вЂ” коэффициент усиления. Напомним, что полюсы такого с-преобразования, как Н(з), — это значения с, в которых функция Н(з) равна бесконечности. Значения с, в которых Н(я) равна нулю, называют нулями. Полюсы и нули функции Н(з) могут быть действительными или комплексными. Если они комплексные, они идут комплексно-сопряженными парами, чтобы коэффициенты аь и 5! были действительными. Из уравнения (4.40) видно, что если известны положения полюсов и нулей функции Н(г), то и саму функцию Н(з) можно легко восстановить с точностью до константы. Информацию, содержащуюся в з-образе, можно удобно изобразить в виде диаграммы нулей и полюсов; см., например, рис.
4.6. На этой диаграмме крестиком (Х) обозначены положения полюсов, а кружком (О) — положения нулей. В данном примере полюсы находятся в точках с = 0,5 ~ 0,5! н с = О, 75, единственный нуль — в точке з = — 1. Важной особенностью диаграммы нулей и полюсов является единичная окружность, т.е, окружность, которая задается уравнением ~с! = 1 (см. рис. 4.6). Как вскоре станет понятно, единичная окружность играет немаловажную роль в анализе и проектировании систем дискретного времени. 4.5.
Некоторые области применения г-преобразования в обработке сигналов 233 пиная умность Рис. 4 6. Описание с-преобразования в виде диаграммы нулей и полюсов: Х вЂ” полюс; Π— нуль Диаграмма нулей и полюсов раскрывает свойства данной системы дискретного времени. Например, из расположения полюсов и нулей можно получить частотную характеристику системы, а также ее степень устойчивости. Для устойчивых систем все полюсы должны лежать внутри единичной окружности (или совпадать с нулями на единичной окружности). Часто л-преобразование нельзя представить в разложенном виде, его можно записать только как отношение многочленов, как в уравнении (4.39). В таких случаях для описания л-образа Н(л) через его нули и полюсы необходимо найти корни многочлена знаменателя ).г(л) и многочлена числителя Ж(л).
Корни многочлена второго порядка, который задается в виде ахз + Ьх+ с, ищут по формуле — Ьх (Ь' — 4ас)пз (4,41) 2а Определение корней многочленов )Я7(л) и .0(л) более высоких порядков — задача не из легких. На практике зто часто делают с помощью численных методов, в том числе, например„с помощью алгоритмов Ньютона и/или Бэйстоу (Ва(зточг) (см., например, 11)). Необходимость поиска нулей и полюсов часто возникает в связи с проектированием цифровых фильтров и анализом устойчивости. К счастью, при проектировании фильтров дискретного времени полюсы и нули автоматически выдаются программой проектирования фильтров, избавляя от необходимости находить корни многочленов вручную. Пример 4,10 1.
Выразите следующую передаточную функцию через ее полюсы и нули и постройте диаграмму нулей и полюсов; Н (л)— 1 1 75л-т + 1 25л-з 0 375л-з' 2. Найдите передаточную функцию Н(л) фильтра дискретного времени, диаграмма нулей и полюсов которого показана на рис. 4.7. Глава 4. Применение 2-преобразования в обработке сигналов Рнс. 4.7. Диаграмма нулей н полюсое Ллл нрнмера 4.10, и. 2 Рнс. 4.а.
Диаграмма нулей н поленов Плл примера 4.! 0 Решение 1. Во-первых, выразим Н(п) через положительные показатели степени л, а затем разложим ее таким образом, чтобы можно было найти полюсы и нули. Если умножить числитель и знаменатель на лз — самую высокую степень и, получится пз — л2 — 2п лз — 1,75лз+ 1,25п — 0,375 В результате разложения получаем (и — 2)(л + 1)л (л — О, 5 + еО, 5)!л — О, 5 — сО, 5)!и — О, 75) Следовательно, полюсы находятся в точках и = 0,5 ~ 0,5е и в точке л = 0,75. Нули — в точках и = 2, и = — 1 и и = О.
Соответствуюшая диаграмма нулей и полюсов изображена на рис. 4.8. 4.5. Некоторые области применения г-преобразования в обработке сигналов 2зб 2. Согласно диаграмме нулей и полюсов нули передаточной функции находятся в точках з = Ы, а полюсы — в точках з = О, 5 ~ О, 5з.
Далее можно записать непосредственно саму передаточную функцию: К(з — з)(з + з) (з — 0,5 — 0,5т)(з — 0,5+ 0,5т) К(зз + 1) зз — к+0,5 К(1+ з з) 1 — зг — 0,5зз (уг,',4,.6:2.'!" ОцЕНКа ЧаСтОтНОй ХараКтЕрИСтИКИ Существует множество случаев, когда нужно оценить частотную характеристику системы дискретного времени. Например, прн проектировании дискретных фильтров часто приходится проверять спектр фильтра„чтобы убедиться в том, что он удовлетворяет искомым спецификациям.
Отметим„что частотную характеристику системы можно запросто найти из ее з-преобразования. Например, если взять з = е т, т.е. найти з-преобразование по единичной окружности, получим Фурье-образ системы: Н(з) = ~~г )т(п)з " (4.42) = Н(е ) = ~~~ гз(п)е '" (' -: 4,6,3,.—,-,- Геометрическая оценка Это простой, но полезный метод, основанный на диаграмме нулей и полюсов, с помощью которого можно получить приблизительное представление о том, как выглядит частотная характеристика системы дискретного времени.
Напомним, что зпреобразования ЛИВ-системы можно выразить через ее полюсы и нули: и П К( — ') К(з — зз)(з — зз)... (з — згт) (з — Рг)(г — Рз)... (з — Рн) ПК( -Р) (4.43) г=т Н(е™т) называют частотной характеристикой системы. Мы воспользовались символом Т, чтобы подчеркнуть зависимость частотной характеристики системы дискретного времени от частоты дискретизации. В общем случае Н(е'"т) — комплексная величина. Ее модуль дает амплитудную, а фаза — фазовую характеристику системы. Частотную характеристику по з-преобразованию можно найти несколькими методами, три из них описаны ниже.
Глава 4, Применение 2-преобразования в обработке ситнапов 23$ Рис. 4.9. Геометрическал оценка частотной характеристики по лиатрамме нулей и полюсов где для простоты предполагается, что порядки числителя и знаменателя совпадают. Чтобы найти частотную характеристику, подставим к = е т в уравнение (4.43) и вычислим Н(е' т) на отрезке (О < ш < и,/2).
П К(е' т — л,) Н( т) т=т ПК(е' 2 — р) (4.44) Геометрическая интерпретация уравнения (4.44) для л-преобразования со всего лишь двумя нулями и двумя полюсами показана на рис. 4.9. В этом случае частотная харак- теристика задается как а„,т К(е лт)(е лг) (и; т р,)(е г рг) КУт~бтУ2Щ т'тстот е 2~42 (4.45) где ут и уг представляют расстояния от нулей до точки з = е' т, а е'т и рг — расстояния от полюсов до этой же точки, как показано на рис.
4.9. Следовательно, амплитудная и фазовая характеристики системы согласно уравнению (4.45) равны ~Н( )~= ~~,К=1 т'т кг 2(Н(е )] = пт + дг — (42 + фг). Для того чтобы найти частотную характеристику, вычислим Н(е' т) при перемещении точки Р от л = О до л = — 1. Очевидно, что при перемещении точки Р ближе к полюсу рт длина вектора )тт уменьшается, следовательно, амплитудная характеристика растет. С другой стороны, при перемещении точки Р ближе к нулю 2, вектор нуля Ут уменьшается, и поэтому амплитудная характеристика 1Н(е' т) ~ увеличивается.
Таким 4.6. Некоторые области применения «-преобразования в обработке сигналов 237 образом, в полюсе амплитудная характеристика имеет максимальное значение, тогда как в нуле амплитудная характеристика спадает до нуля. В общем случае в геометрическом методе частотная характеристика при заданной частоте ог (при угле гоТ) определяется отношением произведения векторов нулей У,сбз, г = 1, 2,... к произведению векторов полюсов К«'.ф„г = 1, 2, ... Найдите геометрическим методом частотную характеристику на постоянной составляющей и при частотах, равных 1/8, 1/4, 3/8 и 1/2 частоты дискретизации, причинной системы дискретного времени со следующим «-образом: «+1 « — О, 7071 Июбразнте амплитудно-частотную характеристику на отрезке 0 ( го ( го„где ог, (рагьгс) — частота дискретизации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
