Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В частности, с помощью з-преобразования часто анализируются ошибки, возникающие в результате округления или усечения результата операций умножения, заложенных в разностных уравнениях. Более подробно анализ шумов фильтров дискретного времени обсуждается в главе 13. Глааа 4. Применение г-преобразования в обработке сигналов б) Рис. ЛЛ4. Диаграммы реализации разностного уравнения: а — в виде блок-схемы; б — в виде функциональной схемы Еще одна важная область применения г-преобразования при проектировании цифровых фильтров — это описание структуры цифрового фильтра.
Рассмотрим этот вопрос подробнее, поскольку он требует использования программы разложения на элементарные дроби, которая упоминалась ранее. :;.4.5,11;: Структуры реализации цифровых фильтров Фильтры дискретного времени часто представляют в виде блок-схем или функциональных схем. Такие диаграммы — удобный способ представления разностных уравнений или, что эквивалентно, передаточных функций. Рассмотрим, например, простой дискретный фильтр со следующим разностным уравнением: у(п) = х(п — 1) — Ь, у(л — 1) + Ьзу(л — 2) + Ь,у(л — 3) (4.60) Представление этого уравнения в виде блок-схемы показано на рис.
4.14, а. На этом рисунке символ г ' обозначает задержку на 1 единицу времени. Стрелочками обозначены усилители, а постоянные, стоящие рядом с ними, — это коэффициенты усиления. Связь между разностным уравнением и блок-схемой очевидна. Представление того же разностного уравнения в виде функциональной схемы показано на рис.
4.14, б. В литературе блок-схему (или функциональную схему) принято называть диаграммой реализации. Если Н(л) высокого порядка„фильтр дискретного времени редко реализуется непосредственно, как показано на рис. 4.14, поскольку при представлении коэффициентов и разностного уравнения небольшим числом битов будут получены большие ошибки (см. главы 8 и 13). Обычно передаточную функцию представляют в виде комбинации параллельно или последовательно соединенных л-образов первого и/или второго порядка.
Для последовательного представления передаточная функция Н(л) раскладывается как Н(з) = Н,(г)Нз(л)...Нь(з) = ПН,(з), (4.61) 4.5. Некоторые области применения а-преобразования в обработке сигналов 249 км нко - — ни о ьтл) лиг Рне. 445. Обцввг структура последовательной реквнзвцнн где Н,(л) — звено второго либо первого порядка: ь оь с 'оь Нь(л) = лтг — ьЯ- первый порядок а К вЂ” целаЯ часть (М + 1)гг2. Все л-цРеобРазование — это пРоизведение отдельных л-преобразований (рис. 4.!5). При выборе параллельной реализации передаточная функция раскладывается на элементарные дроби, что дает н(.) =в.+~ н,(.), *=1 (4.62) где, как и прежде, Нь(л) — звено второго либо первого порядка, но на этот раз в виде лке = и Рао-.-'-, — .р.ь .р Н (л) = ьеь о;т — первый порядок где К вЂ” целая часть (М+ 1)/2, а Во = ак/бм.
Общая схема параллельной реализации показана иа рис. 4.16. Неь Рнс. 4яб. Обгцвя скенв пврвллельной ревлнзвцнн При разработке цифровых фильтров вышеприведенные юэффициенты аь и Ьы как правило, определяют с помощью программных пакетов. К сожалению, большая часть программных пакетов выдает коэффициенты толью для последовательной реализации.
Коэффициенты же параллельной реализации можно найти по коэффициентам последовательной реализации с помощью метода разложения на элементарные дроби. Проиллюстрируем это на примере. 250 Пример'4Л4 Система дискретного времени характеризуется следующим 2-образом передаточной функции: 22-2 + 2-4 Н(2) 1. Запишите Н(з) в виде, удобном для построения последовательной структуры с использованием звеньев второго порядка. 2. Повторите п.
! для параллельной структуры. Решение 1. В разложенном виде Н(2) задается как Н(з) = Н1(з)Н2(з), где (4.63, а) (4.63, б) 2. Чтобы записать Н(2) в виде, удобном для построения последовательной структуры, сперва разложим эту функцию с помощью метода разложения на элементарные дроби. Итак, (4.64) Воспользовавшись программой для разложения на элементарные дроби (приложе- ние 4Б), найдем полюсы от р1 до р4 и коэффициенты Вз и С1-С11 Р1 = Вр — — 2 0,8455108976~3,898969; С4 = Сз, С,= Сз —— Глава 4. Применение г-преобразования в обработке сигналов 1 — 0 414212 ' + 0 085792 2 + 0 2928952-з ~- 0 52-1 1 — 22 ' + з 2 1 — 1,141212 ' + 2 2' 1 — 22 '+2 ' 1+2 '+0,52 2 Н()=В С1 С2 Сз С4 Рз 2 Рз з Рз 2 Рз О, 7071+ О, 70711 = ез' ' Рз = Рт — 05+0 51=0 7071е'" ' Р =Р О, 114383 + О, 6666692 = О, 6764 104 к'.1, 400877; Сз — — С; (4.65) -О, 61438276 — О, 580880791 = 4.5.
Некоторыв области применения жпрвобразования в обработке сигналов где углы измеряются в радианах. Найдя полюсы и коэффициенты Сь и Во, дроби из уравнения (4.64) нужно объединить так, чтобы функция Н(а) описывала сумму звеньев второго порядка в виде з Н(з) = В, + ~~~ Н,(к), '=1 ао+ ацз 1+ Ьнз-' + Ьзоя-з (4.66, б) Ьы — — — (Рт + Рз), Ьы — — Рор, (4.68) Если учесть тот факт, что Ро —— Р"„Со — — С,*, и подставить значения Рт и С,, то аот = Со + С; = 2 х О, 114383 = О, 2288 аы = — (Стр'+ С'рт) = = — ([С,[е'о'[р,[е нц + [С,[е "о'[р,[ени) = = — [Ст[[р,[[е'~~' ой + е цо' = — 2[Со[[р,[соа(д, — ф,) = = — 2 х 0,6764104 х 1соа(1,400877 — 0,78540068) = = -1,1046, (4.69) где д, = к'.Сы фо — — к.рн Следовательно, мы получим: 0,2288 — 1,1046з ' 1 — 1.4142я ' + з-' где значения коэффициентов знаменателя берутся прямо из уравнения (4.63).
Аналогично из элементарных дробей с коэффициентами С, и С4 получаем -1,2288 — 0,0335г ' 2~я (4.71) 1+ г-' + 0,5к-о (4.70) Чтобы коэффициенты аы и Ьы из уравнения (4.65, б) были действительными, элементарные дроби из уравнения (4.64), содержащие Ст и Сз (комплексно-сопряженную пару), нужно объединить. Аналогично нужно объединить также дроби с коэффициентами С, и С4.
Объединив дроби с коэффициентами С, и Сз, получим: Ста Све (Ст + Со)ав — (С,ро + Соро)Я + Рт я Рз з (Ро + Р2)а + Ртро (4.67) С, + Со — (С,ро + Сор,)я 1 (Р| + Ро) + Р~ро Сравнив уравнения (4.65, б) и (4.67) при т = 1 в уравнении (4.65, б), находим, что аоо —— Ст + См аы — — — (С,рз + Сзр,) Глава 4. Применение г-преобразования е обработке сигналов 262 Объединив результаты, получим 0,2288 — 1,1046х г -1,2288 — 0,0335г Н(я)=2+ ' ' + 1 — 1.4142г-'+ г з 1+я г+0,5з з Хотя вышеприведенный процесс по своей сути и прост, он очень трудоемкий, кроме того, существует большая вероятность допустить ошибку, особенно если вычислять юзффициенты элементарных дробей вручную.
В приложении 4Б приводится стандартная программа на языке С, которую можно использовать для поиска юэффициентов параллельной структуры по известной передаточной функции, представленной в последовательной форме. В действительности эта программа представляет собой простое дополнение к программе разложения на элементарные дроби, описанной в том же приложении. В главе 8 мы несколью подробнее остановимся на областях применения последовательной и параллельной структур. тъ"ф „л '-'Гйа, а." ггг; При работе в области ЦОС очень важно разбираться в з-преобразовании — бесценном средстве описания, анализа и проектирования систем дискретного времени.
В главе показано, как находится х-образ последовательностей дискретного времени и как восстанавливаются последовательности по их х-образам. Предлагается несколько программ на языке С и кодов МАТ1.АВ, юторые позволят читателям на практике изучить основные принципы и примеры применения з-преобразования в обработке сигналов. 4.1. Найдите х-образы следунлцих последовательностей дискретного времени: х(п) = а1п(пагТ),п — 0,1, облбвг-г х(п) = Гч О, а остальных случаях Задачи ЗВЗ 4.2. Экспоненциальная последовательность задается как х(и) = е ~", и > О.
Найдите ее з-образ и условие на з, при выполнении которого з-образ сходится, для каждого из следующих случаев: 1) )о действительное; 2) )о комплексное. 4.3. Даны причинные последовательности х(п) и пх(п) с г-образам Х(х) н Х'(х). Покажите, что 4.4. Пусть х-образ последовательности дискретного времени задается как Х(з) = ~~~ х(п)з ". о=О Исходя из этого уравнения, покажите, оп)ворнв все сделанные предположения, что обратное з-преобразование задается как х(п) = — ~ ао 'Х(г)о1з,п > О. 2лз .) Подумайте о роли теоремы о вычетах в вычислении этого интеграла. 4.5. ! . С помощью метода разложения в степенной ряд найдите первые пять значений причинной последовательности дискретного времени, соответствующей каждому из следующих з-образов: г) Х(з) = 2. Повторите п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
