Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 49
Текст из файла (страница 49)
+ а г ™ а(г) то формат команды разложения будет следующим: (д,г) = Ыесопи(Ь,а), где 6 и а — векторы, представляющие многочлены числителя и знаменателя 6(г) и а(г) соответственно при увеличении отрицательного показателя степени г. Результат деления многочленов возвращается в виде вектора о, а остаток записывается как и. Для реализации метода разложения в степенной ряд операция деления в столбик выполняется многократно, в зависимости от юличества точек, необходимых для обратной операции. .',[Триб((арпа,'Л Найдите первые пять членов обратного г-преобразования х(п) с помощью метода разложения в степенной ряд (деления многочленов) и программного пакета МАТ1.АВ.
Предположите, что г-образ Х(г) имеет следующий вид: 1+2г '+г г 1 — г '+0,3561г и Решение Ниже приводится набор команд МАТ1.АВ и выход программы. Сначала образуются векторы козффициентов для многочленов числителя и знаменателя, к вектору юэффициенгов 6 прибавляются нули, чтобы обеспечить правильную размерность для программы МАТ|АВ„а затем для вычисления обратного г-преобразования используется юманда с)есопн. » » Ь [1 2 1]~ » а [ 1 -1 0,3561 ]; »п5; » Ъ [Ь иегов(1, и-1)); » [х,г] аесопо(Ь,а); » 41вр(х) 1,0000 3,0000 3,6439 2,5756 1,2780 Следовательно, х(0) = 1,х(1) = З,х(2) = 3,6439, х(3) = 2,5756 и х(4) = 1,2780. 273 Приложения :;:5Щ~~У~-;~~)Д С помощью метода разложения в степенной ряд (деления многочленов) и программного пакета МАТ1.АВ найдите первые пять членов обратного»-преобразования следующего выражения Х ]'1(»)]"2(»)]'2(») Рг(»)Р»(»)Р»(») где Аг1(») = 1 — 1,22346» '+» з ]Уз(») = 1 — 0,437833» '+»» ](гз(») = 1+»-' Р,(») = 1 — 1, 433509» ' + О, 85811»» Рз(») = 1 — 1,293601» ' + 0,556929» з Рз(») = 1 — 0,612159» ' Решение Представленный»-образ имеет три пары многочленов числителя и знаменателя.
В коде МАТ1.АВ (программа 4Г.1) вначале образуются векторы, содержащие коэффициенты многочленов, Затем для преобразования трех пар многочленов в передаточную функцию с одной парой рациональных многочленов Ь(»)/а(») используется функция МАТ1.АВ аов2ск (функция преобразования звеньев второго порядка в полную передаточную функцию): Ь(») Ьр+5,» '+Ь»» +... + Ь» ~ а(») со+ а,» '+ аз» з +... + а„» "' Чтобы найти козффициенты обратного»-преобразования, используется функция с[есопч. Первые пять значений обратного»-преобразования равны: х(0) = 1,00000;х(1) = 4,6915;х(2) = 11,4246;х(3) = 19,5863;х(4) = 27,0284 Программа 4Г.1 и 5; % количество точек степенного ряда М1 [1 -1. 122346 1]> 01 [1 -1.433509 0.85811); М2 [1 1.474597 1]; 02 [1 -1.293601 0.556929]; МЗ [1 1 О]> ПЗ [1 -0.612159 О]; В [М1ю М2; МЗ); Л [Р14 02; 03]; [Ь,а] вов2СГ([В Л]); Ь [Ь»е»ов(1,л-1)]; [х,г! несопч(Ь.а); Ъ деление в столбик ив (х)~ Глава 4.
Применение г-преобразования в обработке сигналов 274 4.ГЗ. Разложение на элементарные дроби с помощью МАТЬАВ Для разложения на элементарные дроби з-образа Х(з), выраженного как отношение двух многочленов, можно воспользоваться функцией МАТЬАВ те а1с[пеа. Синтаксис команды гев1с[пег: [г,р, 6) = теззг[иез(Ь,а), где Ь н а — векторы, представляющие многочлены числителя и знаменателя 6(з) и а(з) соответственно при возрастающем значении отрицательного показателя степени ж Ь(з) Ьа + Ьгг + Ьзз + ... + Ь а а(з) ас + а,з ' + азз з + ...
+ а„з "' Если полюсы функции Н(з) отдельные, ее разложение на элементарные дроби выглядит как: 6(з) г, ㄠ— , + ... + , + )с, + йзз + ... + )с а(з) 1 — р,з-' 1 — р„з-' Функция гев1с[пеа заносит вычеты рационального многочлена 6(з)гга(з) в вектор и, положения полюсов — в вектор р и постоянные члены — в )с. Пример 4Г,З Разложите на элементарные дроби следующий з-ображ 1+2з '+ Х(з) = 1 — з '+0 3561з ' Решение В этом примере миогочлены уже заданы в нужном виде, поэтому мы можем непосредственно применить команду: »[г,р,)г] гвв1г[ивз([1.2.1], [1,-1,0.3561]) г = -0.9041 — 5.99281 -0.9041 + 5.99281 г'г гз + Х( ) = 2.,8082+ 1 1 — р где и, = — 0,9041 — 5,9928з гз =- — 0,9041+5,9928т р, = 0,5+0,3257т рз = 0,5 — 0,3257т Р = 0.5000 + 0.32571 0.5000 — 0.32571 )т = 2.8082 Таким образом, з-образ, выраженный как ретает вид: разложение на элементарные дроби, приоб- 275 Приложения Призгер 4Г4 ]'[1(«)Аг(«)ззз(«) ]з («) [Зг («) [Зз («) где А[~ («) = 1 — 1 22346«-з + «-г А[г(«) = 1 — О, 437833« ' -р «г, 1+« 1 — 1, 433509« ' + О, 85811«г, 17г(«) = 1 1,293601« '+0,556929«г, 17з(«) = 1 0,612159« Для преобразования многочленов числителя и знаменателя в единственную пару многочленов 5(«)/а(«) используется функция МАТЬАВ вов20Е.
Затем для разложения на элементарные дроби применяется функция теа14[цея. Набор команд МАТЬАВ для разложения Х(«) на элементарные дроби приведен в программе 4Г.2. При выполнении программы 4Г.2 получаем такие коэффициенты элементарных дробей: -1,9022 + 4,67971 -1,9022 — 4,67971 -9,0607 — 1Э,55151 -9,0607 + 1Э,55151 24,7049 Р = 0,7168 + 0,58681 О, 7168 — О, 58681 О, 6468 + О, 3723« 0,6468 — 0,372Э1 О, 6122 К =1 Программа 4Г2 [1 -1,122346 з]; [1 -0,437833 1]; [1 1 0]г [1 -1,433509 0,85811]; [1 -1,293601 0,556929]з [1 -0,612159 0]; Н1 Н2 нэ 01 02 03 С помощью программного пакета МАТ[.АВ разложите на элементарные дроби следующий «-образ: 278 Глава 4. Применение г-преобразования а обработке сигналов яоя = (Н1 Р1с Н2 Р2; НЗ РЗ]; [Ь,а] = яоя2ГГ(яоя)с [г,р,а] = геяьспеа(Ь,а) 4.Г4.
Преобразование одной структуры в другую— последовательно-параллельное преобразование Программный пакет МАТ[.АВ предлагает набор функций, которые позволяют относительно легка выполнять преобразования между различными форматами и структурами, используемыми в ЦОС. Особенно полезна возможность преобразования последовательной структуры в параллельную. Пример 4Г5 Повторите пример 4Б.4, используя МАП.АВ. Набор команд МАТЬАВ для этого преобразования дан в программе 4Г.З. Программа 4ПЗ пягасзе = 2; Н1 [1 0,481199 1]; Н2 [1 1,474597 1); Р1 = [1 0,052921 0,83173]с Р2 [1 -0,304609 0,238865]; яоя = [Н1 Р1; Н2 02]' [Ь,я] = яоя2ГГ(яоя); [с,р,К] = геятс)пег(Ъ,а)," и 1епдГЬ(Ь)с ЬО Ь(яс)/а(пс)с =1; сог 1=1:пягаде ЬК(З) = с(З)+с(]+1); Ь)с(3+1) = -(с(З)*р(1+1)+с(]+1)*р(З) ) ) а)с(З) = -(р(З)+р(]+1)); аа(]+1) р(З)*р(Д+1)> = ]+2; епс( ЬО ак Ь)с с Р сргеа11гаг1оп ЬО 5,0334 ск 277 Приложения -0,3766 - 0,24601 -0,3766 + 0,24601 1,4804 - 1,39031 1,4804 + 1,39031 рК- -0,0265 + 0,91161 -0,0265 + 0,91161 0,1523 + 0,46441 0,1523 — 0,46441 Кв 1 ЬО 1,2023 аК 1,4746 1,0000 0,0529 0,8317 ЬК -0,0000 -0,0000 0,4283 О, 1683 с -0,0000 + 0,00001 -0,0000 — 0,00001 0,2141 — 0,08611 0,2141 + 0,08611 4.Гб.
Диаграмма нулей и полюсоа Функция МАТ1.АВ хр1апе позволяет рассчитывать и выводить на экран диаграмму нулей и полюсов. Синтаксис этой команды следующий: кр1апе(Ь, а), где 6 и а — векторы коэффициентов многочленов числителя и знаменателя Ь(г)/а(з). В таком формате эта команда сначала выполняет поиск положений полюсов (т.е. корней многочленов [г(а) и а(з) соответственна), а затем — построение диаграммы в плоскости ж [~1~~4:*.~.": Система дискретного времени характеризуется следующей передаточной функцией: 1 6180з-г + х-г 1 — 1,5161а ' + 0,878х-г Найдите и изобразите ее диаграмму нулей и полюсов. При вычислении частотной характеристики предположите, что частота дискретизации равна 500 Гц, а разрешающая способность меньше 1 Гц.
решение Необходимый код МАТ1.АВ: Ь [1 -1.6180 1]; % формирование многочленов числителя и знаменателя а [1 -1.5161 0.878]; 278 Глава 4. Применение г-преобразования в обработке сигналов о,к 0,6 а,4 ол я о -0,2 -ОН -т -0,5 а 0,5 Да к с та и тат ьиаа часть Рис. 4Г.! яр1апе(Ъ,а) % расчет н построение диаграммы нулей и полюсов Искомая диаграмма нулей н полюсов показана на рис. 4Г.], Если положения полюсов и нулей известны, их можно использовать в качестве входа для команды гр1апе. Синтаксис этой команды в данном случае будет таким: хр1апе ( х, р), где з и р — нули и полюсы. Положения нулей и полюсов можно найти непосредственно с помон(ью команды гоосв.
Это полезно при переходе от описания через нули и полюсы к описанию через передаточную функцию. Например, БИХ-фильтр описывается как 1 — 1т6180г '+ я ' Н(г) = 1 — 1,5161г ' + 0,878г а Полюсы и нули этого фильтра можно найти с помон(ью команды госсе: Ь = (1 -1, 818 1]! а = (1 -1, 8181 О, 878]т г)т гоосв(Ь)! рх - госсе(а) Многочлены числителя и знаменателя 5(а) и а(я) можно найти с помон(ью функции ро1у: В=ро1у(ай) ! 75 = ро1у(рй). Приложения 279 4.Г6. Оценка частотной характеристики В 818па! Ргосеш1пй Тоо!Ьох содержится множество полезных функций для вычисления и вывода на экран частотной характеристики систем дискретного времени. Самая распространенная функция — йтеЧа.
Если передаточная функция системы задана в следующем виде: Ьс+Ь,з '+...+Ь„з " ЬЯ ао + ага ' + ... + а з ™ а(а) то для вычисления частотной характеристики используется функция ЙтеЧа, в основе которой лежит метод БПФ. Удобнее всего использовать ее в таком формате— [Ь,т~ = 1гейа(Ь, а,прс,ра), где переменные Ь и а — векторы многочленов числителя и знаменателя„р"з — частота дискретизации, а пр1 — количество частотных точек иа отрезке между 0 и Е,/2. В МАТ1.АВ Тоо!Ьох единицей нормирования частоты является частота Найквиста (т.е. Г,/2).
Использование команды йгеЧг без выходного аргумента приводит к автоматическому построению графиков амплитудной и фазовой характеристик. Пример 4Г.7 Система дискретного времени характеризуется следующей передаточной функцией: 1 — 1,6180з '+= ' 1 — 1,5161г '+ 0,878з з Найдите и постройте график частотной характеристики системы, пользуясь программным пакетом МАТТ.АВ. Предположите, что частота дискретизации равна 500 Гц, а разрешающая способность меньше 1 Гц. Решение Команды МАТЬАВ: Ь = [1 -1, 6180 11; % Формирование векторов мяогочлеиов числителя % и знаменателя а = (1 -1,5161 0,878П хгецз(Ь,а,256, 500) Ъ расчет и построение грайиха частотной Ъ характеристики Частотная характеристика данной системы дискретного времени показана на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
