Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 51
Текст из файла (страница 51)
5. К Пары сигналов (хг(нк хз (пЦ и (хз(пй хх(пД разлачных амплитуд, но с равными взмгмными коррслзцизми опсуда Г1З(г)1хис "" 11З(г) + Г1З(0)" (5.б) Таким образом, вычисленные значения взаимной корреляции легко скорректировать для уЧСта КраЕВЫХ ЭффЕКГОВ, ПрИбаВИВ К т ГЗ(у) ВСЛИЧИНу тг 1З(0)гг"Хг. Значения функции взаимной корреляции вычисляются согласно приведенным выше формулам в зависимости от абсолютных значений данных. Часто бывает необходимо измерить взаимную корреляцию в фиксированном масштабе меясду — 1 и +1.
Чтобы определить значения из указанного диапазона, полученные величины нормирунуг на величину, зависящую от энергетического содержания данных. Например, рассмотрим Две паРы сигналов хг(п), хз(тг) и хз, х,(тг). ЗначениЯ элементов Данных пРивеДены в таблице ниже. Как показано на рис. 5.4, сипгалы х,(п) и хз(п) подобны и отличаются только амплитудой. То же справедливо для пары хз(гз) и х,(п). Таким образом, корреляция между хг(п) и хз(п) равна корреляции между хз(гг) и х,(п). В то же время, параметры корреляции и, и гзх(1) равны соответственно 1, 47 и 8, 83. Они сличаются, поскольку зависят от абсолютных значений элементов данных.
Чтобы поправить эту ситуацию, нормируем взаимную корреляцию ггз(Я на коэффициент п 0 1 2 3 4 тг(п) 0 3 5 5 5 хз(п) 1 1 ! 1 1 хз(п) 0 9 15 15 15 х (и) 2 2 2 2 2 5 б 7 8 2 0,5 0,25 0 0 0 0 0 6 1,5 0,75 0 0 0 0 0 5.2. Описание корреляции 287 с и з и ~ '7г п з и з — х-,(п) х — ~~> х (п) = — ~~ х,(п) ~~ х,(п) п=о п=о и=о и=о (5.7) и подобным образом нормируем тз40). В результате нормированное выражение для т,г (!') приобретает такую форму: (,!') Рь 2)= — х!(и) 2, х5(п) ~ ..-о ~-.о (5.8) Величина рзг (!') известна как коэфф~щиент кзалзизюй корреляции. Значение этого коэффициента всегда лежит между — 1 и +1, причем "+1" означает 100%-ную корреляцию в прямом смысле, "— 1" — 100%-ную корреляцию в противоположном смысле, например, как для сигналов в противофазе.
Значение "0" указывает на нулевую корреляцию. Это означает, что сигналы совершенно независимы, например, если один из сигналов абсолютно случаен. Малые значения р,г(г') указывают на незначительную корреляцию. Нормировочный коэффициент для тзг0) из приведешюго выше примера равен р л' — з к — з з~г — ~~> х,'(и) ~~ хгг(п) = — (88,31 х 6)ьг — 2,56, о.--.о и --.о а для тз,(~)— г л — з н — з — хг(п) ~ ~хг(п) = — (794,8 х 24)'~г = 15,35. и=.о в::.о Слеловательно, тзг(1) 1, 47 Рг(1) = = =-0 57 2,56 2,56 тзз(1) 8 83 Рзз(1) = —,, = 0,58.
1 ьч — 1 тм (г) = — ~~~ хз(п)х,(п + г). )у Автокорреляционная функция имеет одно весьма полезное свойство: м-.з т„(0) = — ~~~ х,'(и) — Я, Ю Теперь р,г(1) --- рз,(!), откуда видно, что данный процесс нормировки действительно позволяет независимо сравнивать взаимные корреляции абсолютных значений данных. Рассмотрим частный случай х, (и) = хг(п), т.е, найдем корреляцию сигнала с самим собой. Данный процесс называется авьюко7греляз)иьч!. Автокорреляционная функция сигнала определяется как гвв Глава 5. Корреляция и свертка г,ло Рис.
5.5. Аятокоррслянионная функция случайного сигнала где,5' — нормированная энергия сигнала. В результате получаем метод расчета энергии сигнала. Если сигнал абсошотно случаен, например, сигнал, соответствующий белому гауссову шуму в электрической системе, его автокорреляция будет максимальной при нулевой задержке и уменьшаться до случайных флуктуаций малой амплитуды возле нуля для задержек, превышающих единицу (см.
рис. 5.5). Кроме того, справедливо следующее соотношение: (О) > г (у). 5.2.1. Взаимная корреляция и автокорреляция Определение взаимной корреляции двух периодических последовательностей неравной длины требует аккуратности. Это объясняется тем, что результат корреляции будет повторяться с периодом более корогкой последовательности. Этот результат нс огра- жает полной периодичности более длинной последовательности, следовательно, неверен.
Продемонстрируем это, найдя взаимную корреляцию г„а(1) последовательностей и = 14, 3, 1, б) и 6 — 15, 2, 3). Последовательность 6 записывается под а и поэтапно смещается на одну позицию влево, в последнем столбце записываются соответствующие значения взаимной корреляции. Последовательность Задержка г,а(~) 4 3 1 б 3 5 2 3 О ! 2 3 5 2 2 3 5 2 3 3 5 2 3 5 и т.д. Резулшат показывает, что г,ао) циклично с периодом в три задержки, т,е. период га„( у) равен периоду более короткой последовательности 6. Описанная процедура называется цикятичнол корреляццел.
Чтобы получить правильное значение, в котором каждое значение а умножается на каждое значение 6, все элементы 6 нужно последовательно сместить под каждым значением сн 5.2. Описание корреляции 288 5 5 2 5 2 3 Видно, что для того, чтобы последовательность 5 стала повторяться, требуется 6 задержек. Длины последовательностей равны 4 и 3, а число требуемых задержек — 4 1 3— 1 =-- 6.
Таким образом, получаем общее правило нахождения линейной взаимной корреляции двух периодических последовательностей длины!У, и Хя: дополнить нулями каждую послсдоватсльпость, чтобы их длины были равны Х, 1 Хя — 1 (т.с. добавить Язв 1 нулей к последовательности длиной Я, и Х, — 1 нулей к последовательности длиной Х,). Ниже сказанное иллюстрируется для указанных выше последовательностей а и (ь Задсржка г,ь О) Следовательно, искомая взаимная коррсляция а и 5 равна и ьЦ) = (29 17; 12 30, 17; 35). Выше предполагалось, что в моменты нахождения взаимной корреляции используются чисто пифровые данные, но взаимную корреляцию можно также посчитать аналитически, осли сигнал записывается в явной (апалитичсской) форме.
На практикс эквивалент описанной аналитической процедуры применяется в аналоговых схемах взаимной корреляции. Ниже приводится пример аналитического расчета взаимной корреляции. Пример 5.3 Найднтс взаимную корреляцию г„( — т) двух сигналов п,(1) и сз(1), изображенных на рис. 5.б. Требуемые сигналы легко записать аналитически, разделив их на прямолинейные сегменты. Это достаючно сделать для одного периода сигнала Т, поскольку ггя( — г) будет периодическим по т с периодом Т.
Следовательно, для 0 < 1 < Т, и, (1) = 1(Т и для 0 < 1 < Т~2, и (1) =:.- 1, О, а для Т(2 < 1 < Т, пз(1) == — 1, О. Далее требуется получить выражение для гш( — т), т.е. ия(1) (прямоугольный сигнал) необходима сместить вправо относительно и, (1). Для 0 < т < Т/2 соотвстствующая иллюстрация привсдсна 4 3 1 6 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 2 3 3 Последоватсльность 4 3 1 6 0 0 5 2 3 0 0 0 2 3 0 0 0 5 3 0 0 0 5 2 О О О 5 2 3 0 0 5 2 3 0 0 5 2 3 0 0 5 2 3 0 0 0 29 17 12 30 17 35 29 г„~(Я повторяется 290 Глава 5. Корреляция и свертка Рнс.
5ак Снгнсны о1 (С) н ис(Ц (прнмср 5.3) нго Рнс. 5ГЬ Сегменты ос(О Ноя В < г < Г иа рис. 5.7, из которого видна, что од(1) нужно умножить иа три цослсдовательцых сегмента нз(1), в которых значения ьа(1) равны — 1, 1, — 1. Для Т/2 < т < Т необходимая иллюстрация приведена иа рис. 5.8, иа котором последовательные зиачеиия ов(1) изменились иа 1, — (, 1 1. Это означает, что решение состоит из двух частей, которые нужно согласовать в точке т =- Т)2. Разобьем взаимную корреляцию на три сегмента с границами в точках ~ == т, е:=- т + Т,~2 и ! — Т (см. рис.
5.7), Далее иолучаем 1 го ( — т) = — / ог(1)ег(! — т)гн = т/ о —, газ т т ! 1 1 1 1 — У вЂ” (-1) 1! + — У вЂ” (1)(1+ — У вЂ” '(-1) (! =- т,/Т Т / Т Т,/ т о г т/в г (5.9) 291 5.2. Описание корреляции Рие. 5.8. сегменты ел бр для т)2 < т < У ттл — т! Рие. 5кь величина тгк( — т! как функция т 1 т Т г,я( — т) — -- -)- — для 0 < т < —. 4 Т 2 Для Т(2 < т < Т, используя рис.
5.8, получаем --.Тгя 1 Г е 1 ! Г 1 ггя(-г) =-= — / — (! ) )Е + — / — '(-1) Н! + — / — (1) 4Е -т/ т'т/Т т/т (5. ! 0) — туз 3 т Т ггя( — т) .=. — — — для — ' < т < Т. 4 Т 2 Подставляя т = Ту'2 в формулы (5.9) и (5.10), определяем, что в обоих случаях ггя( — г): — 1)4, откуда следует, что функции согласованы правильно. График зависимости ггя( — т) от т лля 0 < т < Т изображен на рис. 5.9.
Отметим некоторые моменты, связанные с последствиями использования при вычислении корреляции данных конечной длины. Другими словами, чем отличается использование формулы (5.5.), в которой Т конечно, вместо формулы (5.2)? 292 Глава 5. Корреляция и свертка Для ответа на этот вопрос можно рассмотрсть всего один сипусоидальный Фурье- компонент сипшла. Формула (5.2) дает верную аьчокОррлляци, где Т> Тр (Тр — период синусоиды).
Следовательно, 1 г,т1т) = 11п1 — / Ав1тт('Л)Ав1г1(ш1+ т)41 = -"-2Т / -т (5.11) АЯ ~ сов(ррТ) =- 1пн — ~~соь(ыт) — з1тт(ыт) т . 2 2шТ Изучая данное уравнение, находим, что второе слагаемое в скобках стремится к нулю прн Т вЂ” ~ ос, так что если Т ./- оо — это указывает на ошибку. Член сов(ррТ) представляет псриодичсскос влияпнс ошибки, а член Ц2и~Т вЂ” тенденцию в ошибке. Следовательно, при рассмотрении длины корреляции Т ошибки больше для более коротких последовательностей, кроме того, они максимальные для низкочастотных компонентов сигнала. Ошибки также периодичны по т. Члсп сов(мТ) даст наименьшие ошибки при шТ = ~(2тт + 1)/21тг. Поскольку о~ = 2тт/Тр и искомыми являются большие значения Т, это соответствует Т > (2п + 1) — "'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
