Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Описание корреляции 1ДЕ (5.53) [1" (г)) ггг г=г называются дисггерсиегг и представляют мощность, соотнесенную с 1; (г). Учтем теперь в уравнении (5.51) тот факт, что корреляции между зашумленными сигналами стремятся к нулю при увеличении числа выборок. Таким образом, сот [Ъ (г), 1г (г + и)) = сог [(1г(г) + Ъ'„(г)), (1гг(г + и) + г',(г ( и))) = (5.54) = соя [1;(г), 1г,(г + и)) = ках[1,(г)). Для достаточно длинных последовательностей данных гт[Ъ'„(г)) = гх[Ъ' — п(г + и)), поэтому гт[г'(г))1Х[К'(г+ П)):г П [И(г)) =.- тат[И(г)):г. тат[(~,(г) 4 (г„(г))::-г (5.55) =- ках[к,(г)) + гах[Гг(г)) Б 2сог [Г,(г), );г(г)) =- ггах[Ъ',,(г)) -р гах[К,(г)), поскольку сов[1;(г), Ъ'„(г)) =- О.
Чтобы получить выражение для коэффициента автокорреляции, подставим уравнения (5.54) и (5.55) в (5.52): ггах[(',(г)) 1 ках[Ъ',(г)) + яат[Г„(г)) 1+ '"~" ~'г! ' (5.56) Отношение сигнал-шум ЯгггУ (дБ) определяется как 1018((мощность сигнала)/ (мощность шума)), что в принятых обозначениях выглядит так: хвх [)г, (г) ) Б) 1018 [1 ( )) ~Б (5.57) Объединяя уравнения (5.5б) и (5.57), получаем — (лБ) = — 10 18, лБ. р[г' (г)) гУ ! — гг[Г(г)) (5.58) Таким образом, отношение сигнал-шум зашумленного периодичсскохо сигнала легко вычисляется по его коэффициенту автокорреляцип. Из уравнения (5.55) получаем Ках[1'к(г)) + тат[1'и)(г)) = Я + Х = ггаХ[Ъ'(г)) г (5.59) срсднеквадратическос отклонение г'(г).
Отметим, что нормировка на коэффициент гУ в уравнениях (5.51) — (5.53) дает смещенные оценки. Несмещенные оценки получаются путем замены гУ на 1У вЂ” 1. Отметим также, что такие члены, как о'[);(1)) — у '„).(('.(гИ' = ка [('.г(г)) зов Глава 5. Корреляция и свертка ,9 = р[Г(г)[тат[1" (з)[ (5.60) Ь' =- (1 — р[)'(з)1)лат[1'(з)1. (5.61) Отметим, что уравнение (5.58) применяется для оценки производительности каналов магнитной записи с точки зрения их отношений сигнал-шум [9). 5.2.3. Быстрая корреляция Расчет корреляции можно ускорить, используя тсорему о корреляции, которая обычно формулируется следующим образом: ггл(з) = Г' '[Х;()с)Хз(А)[, (5.62) хотя корректной является такая формулировка: 1 1 г12О) " КГ13 [Х (' )Хзм (5.63) где Го" обозначает обратное дискретное нрсобразованис Фурье.
Данный нодход требует выполнения двух дискретных преобразований Фурье (ДПФ) и одного обратного ДПФ, что легче всего сделать, используя алгоритм БПФ (см. главу 3). Если чцсло членов в последовательностях достаточно велико, данный метод БПФ дает результат быстрее, чем непосредственный расчет взаимной корреляции.
Доказательство теоремы о корреляции Пусть х~(1), х,(г) и хз(п) — периодические последовательности длины зз, и пусть их ДПФ-образы равны соответственно Х, ®, Хл(А) и Х,(Й). Более того, пусть Хз(1)" Л1(к)Хв(к). (5.64) В этом случае Х,"® — '~ ч(1)е~'= ~ д" (5.65) и Х;(Л;) = Е (1) ~2"игкд — 'ю (5.66) Подставляя уравнения (5.65) и (5.66) в (5.64), получаем ьл — 1 Х Ж) = Е (1) ы~*Су~ц Ехи( ) .~втчьд-'и (5.67) 1дс Я и Зз' представляют мощность сигнала и шума соответственно. Иснользуя уравне- нви (5.56) и (5.59), можно получить выражения для Я и Х: 307 5.2. Описание корреляции Л-1Н-1 (Е) ( ) 1зл ~Ел'811 — тм 1=О =О (5.68) Далее (5.69) Таким образом, подставляя уравнение (5.68) в (5.69), получаем 1 Л' — 1Л' — 1 М вЂ” 1 хз(11) 2~» 2~~ 2~~ х1(Е)хз(1)е дГ 1.::О 1.—.О =О (5.70) М.-1 Л -1 Х-1 — х (Е) у тз(г) ~1 е 1=О '=о 1=О При и = и + Е выражение в квадратных скобках равно 1"31.
При 1 ф п + Е его можно рассматривать как геометрическую прогрессию вида ах", сумма которой по Л1 членам равна а(1 — хл) 1 — х В нашем случае сумма равна: 1[1 — е~~ '1~10 "'"1~Е 1 — сР"1!л'81 ' "О (5.71) 1 Л-1 Л-1 х3(п): — ~ х1(Е) ~ хз(г)11 о(Š— г + ьз) Ь (5.72) 1 — — о 1=О где Ь(Š— 1 + и) = 1 при г = и+ Е и д(Š— г + и) = 0 при г ~ п + Е. Положив 1' = и + Е и упростив, получаем: хз(п) — ~~» х1 (Е)хз(Е + и) (5.73) 1-О или Л вЂ” 1 — х,(п) ==: —, ~ х1(Е)хз(Е+ и).
Х Х (5.74) 1=О Правая часть данного выражения эквивалентна взаимной корреляции х<н) и х (и), и, как легко видеть, она равна (1Езт')хз(п). Из уравнения (5.69) получаем (5.75) Показатель экспоненты в числителе всегда кратен 2к, так что ее значение равно 1. Та- ким образом, сумма равна нулю при г /- и + Е.
Следовательно, уравнение (5.70) можно переписать как зов Гпава 5. Корреляция и свертка Далее, объединяя уравнения (5.74),(5.75) и (5.63),получаем ~п (Хз(~ )1 ~ гг(тг) ~о (Хг (к)хг(ЖИ. (5,76) Наконец, заменяя тг на 7, получаем ггг(1):: — — г'тг [Хг (к)хг(г')1. (5.77) Пример 5.6 Используем вначале теорему о корреляции (уравнение (5.77)). В разделе 3.5 было по- казано, что Хг(lт) равно Х~(1т) = 2;1 Г г;0;1 — г, так что Х,"((г) = 2;1 — г; О;1+ г. Для получения Хя(1к) проще всего использовать алгоритм БПФ, приведенный в разде- ле 3.5. Таким образом, при хс ----- О, 5, хг --- 1, хг --- 1 и хз ----- О, 5 получаем Хтц(0) = х, + х, = 1, 5, Хгц(1) == хс — х, -= — 0,5, Хгв(0) =- хг + хз — 1, 5, Хгг(1) —:. тг — хз ==-- 0,5., л„(о) = х,(о) + х (о) = 3, Х,г(1) .-: Хц(1) + ( — г)хгг(1):.—. — О, 5 — О, 5г, х (2) =х (о) — х (о) =о,.
Хц(3) = Хгп(1) — ( — г)Лвг(1) =- — 0,5+ 0,5г. Собирая значения БПФ, получаем Х;(1с) = 2;1 — г;0;1+ г, Хг (й) = = 3; — О, 5 — О, 5г; 0; — О, 5 + О. 5г. Используя теорему о корреляции, найдем взаимную корреляцию двух последовательностей х,(~г) и х,(п). зов 5.2. Описание корреляции Так что Х,*(0)Хг(0) = 2 х 3 — 6, Х," ( 1) Хг (1) --=- (1 — г ) ( — О, 5 — О, 5г):=. — 1, Х; (2)Хг (2) =- 0 х 0 = О, Х;(3)Хг(3) = 0,5(1+ г)( — 1 1- д) = — 1.
Следовательно, [Х;(й)Х~(1:)) =-- 6; — 1; О; — 1. Теперь необходимо к этому результату применить обратное ДПФ. Как объясняется в разделе 3.6, обратное ДПФ получается путем замены знаков экспонент (в весовых коэффициентах И'ьч) приведенного выше алпдритма БПФ и деления результата ца Лд. Следовательно, получаем такой результап Хгд(О) = зо + 'г = 6, Хм(1) .= хо — тг -'-' 6; Хгг(0) = хд + г:з = — — 2, Х г(1) -= гд — хз ---- О, Хн (О) = Хдц (О) + Хгг(0) = 4, Хдд(1) = Х д(1) + гХгг(1) — 6, Лц(2) = Хдц(0) — Хгг(0) = 8, Хдд (3): Хгд (1) — дХгг(1): 6. Компоненты 7г~'[Хд*(А:)Хг(й)) получаются делением значений Лц(0), Лц(1), Хдд(2) и Х„(3) на Ю -= 4.
Таким образом, 7гр'[Х;(1о)Хг(к)) -- 1;1,5;2„1,5, Далее из уравнения (5.77) определяем 1 д д.„(г) = — Гп ' [Х;Хг (Л:)] = 10, 25: О, 375; О, 5; О, 375). (5.78) Эта корреляция будет круговой, поскольку все данные периодичны с периодом Лд. Если непосредственно посчитать взаимную корреляцию гдг(г), то получатся такие значения: ддг(0) .:-.
(1 х 0,5+ 0+ 0+ 1 х 0,5)дд4:.. 0,25, гдг(1) — (1 х 1 1 0+ 0+ 1 х 0 бд)дд4 — 0,375, г„(2) = (1 х 1+ 0+ О+ 1 х 1)д4 =- О, 5, гдг(3) -=-. (1 х О, 5 + 0 + 0 + 1 х 1) /4: - О, 375. з1о Глава 5. Корреляция и свертка Расчет взаимной корреляции также можно ускорить, реализовав его рекурсивно. Проиллюстрируем это на примере с нулевой задержкой. Взаимная корреляция при нулевой задержке двух дискретных сигналов я,(п) и жэ(п) равна ю- г гг (0) =.- — 1 хг(гг)хз(тг). Х (5.79) Эта операция включает вычглсление Х проглзведений, гтг — 1 суммы и одного деления и может требовать чрезмерного времени при реализации в реальном времени, когда пары новых данных поступают с частотой дискретизации.
Расчет необходимо повторять при поступлении следующей пары данных. Новые вычислсюгя будут отличаться от предыдущих только тем, что к сумме пар произведений будет прибавлено произведение новой пары и первое произведение вычтется. Итак, для каждой взаимной корреляции (новое значение) =-(предыдущее значение) .1- 1 1.
— (ггрогтэведенг!е двух новых данных) — (5 80) Лг 1 — — (произведение первых двух данных). гтг Это выраженгле — основа рекурсивного алгоритма. Каждая взаимная корреляцгля теперь требует только одного умножения, одного вычитания, одного сложения и одного леления прн условии, что в памяти хранятся произведения пар данных. Для гтг-точечной корреляции рекурсивный подход дает правильные значения после вычисления первых (Х вЂ” 1) точек. Во многих приложениях требуется, чтобы среднее данных было равно нулю, например, для устранения постоянного тока из электрических сигналов. При этом нсобходимо рассчитать среднее значенгле сигнала и вычесть его из всех дискретных значенглй. Это означает, что расчет среднего значения также можно провести рекурсивно, поскольку для каждой новой пары данных новое среднее = предыдущее среднее 1.
1 (5.81) + — (новый элемент данных — первый элемент данных). гу Следующее значение г„(4) снова равно О, 2бг, и последовательность периодически повторястся. Данный рсзулыат согласуется с данными, получснными выше с помощью теоремы о корреляции. Как объясняется в разделе 5.2.1, теорему о корреляции можно использовать для получения линейной корреляции путем добавления к двум последовательностям дополняющих нулей. Следовательно, еслгл последовательность т, (и,) имеет ДлинУ Х„а послеДоватсльпосгь тэ(п) — Хз, го гвг(гц) ДополнЯетсЯ (Хз — 1) нУлЯми, а х,(п) — (гт'г — 1) нулями. Далее на основе двух расширенных последовательностей рассчитывается взаимная корреляция.
Этот метод вычисления взаимной корреляции с помощью тсорсмы о корреляции и БПФ называется быстрой корршгяг1ией. 5.3. Описание свертки 311 Кроме того, вычитание среднего уровня и расчет взаимной корреляции можно обьеди- нить в один рекурсивный аси оритм. Рассмотрим величины М 1 х1(к1) =- — ~ х1(п) дс (5.82) М -1 хз((с) = — ~> хя(п). М п=О (5.83) Значение функции взаимной корреляции к-го набора из 1У точек равно 1 м-1 г1т(Л) = — ,'1 х,(11)х,(11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
