Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 55
Текст из файла (страница 55)
дг (5.84) При удалении среднего значение функции взаимной корреляции становится равным ХО„®, где О % — 1 ггп(к) =-- —,~ [Х1(п) — Х1(1с)[[Х1(11) — ХО®[, п:.-. О (5.85) что можно упростить до г . (Й) = гсс(1с) — х1®хс(к). (5.86) Объединяя уравнения (5.80) и (5.83), получаем 1 гьв(7с) =- гся((с — 1) + — [х1(й)хз()с) — х1((с — Дг)хз(1с — 1У)[. (5.87) 1У Из уравнения (5.81) х,()с) = х, ()с — 1) + — [х, (А) — х,(А — 1У)[ 1У (5.88) 1 хя((с) —.: х (~ — 1) + — [хс(~) — ХО% 'У)[. Ж (5.89) 5.3. Описание свертки Свертка, помимо прочего, описывает, как выход системы определяется взаимодействием входа с самой системой.
Обычно выход системы является запаздывающей и подавленной или усиленной версией входа. В этой связи особенно полезно рассмотреть Уравнения (5.86) — (5.89) составляют рекурсивный алгоритм, который объединяет вычитание среднего из данных с вычислением взаимной корреляции. Каждое вычисление требует только трех умножений, четырех вычитаний, трех сложений и четырех делений. Специалисты-практики отмечают, что при изменении средних значений данных следует аккуратно выбирать Ь', в противном случае можно получить неточные резулыаты. 312 Глава 5. Корреляция и свертка Входя!и) Выход Я!ы) Ы3) 8!2) Ы1) ЫО) и=о 1 2 3 4 5 6 7 8 Рис.
5ЛВ. Входиоа импульс и соответствующая импудьоиая характеристика системы выход системы, порожденный импульсным входом. Зто объясняется тем, что любой вход можно представить как последовательность импульсов разной мощности. Итак, выход системы, инициированный импульсным входом, не будет соответствующим импульсом, а будет меняться со временем, в некоторый момент достигая максимальноп) значения, как показано на рис. 5.18. Из данного рисунка видно, что в момент взятия выборки гп выход, порожденный единичным импульсом, поданным в момент О, равен 6(гн). Данная величина называется импульсной характеут!стикой системы или ес ил!лульсным откликом. Рассмотрим подачу на вход системы последовательности импульсов т(т) в моменты времени пи В контексте рис. 5.! 9 выход в момент времени 0 равен р(0), причем р(О) =- 6(0)к(0).
В дискретный момент времени 7п --- 1 выход равен 6(0)щ(1) (влияние текущего входа щ(1)) плюс 6(1)58(0) (запаздывающее влияние входа, поданного в момент пт =- 0). Следовательно, и=о ! ! ! ! ! ! ! ! 3 4 5 6 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 8 ! ! ! ! ! ! ! ! 5.3. Описание свертки 313 Вход х(т) м=п 1 2 3 4 5 6 7 8 Выход!(т) и!)х(0) 3 3 3 Ь(!)х(1), ят 3 и 3 )50 3 3 3 3(0) т=о 1 2 3 4 5 б 7 8 ! Ь(0)х(1) Ь(о)М2) Рис. 5.!9. Подашия иа вход импульсная последояатель3тость и харак- теристика системы, полученная иа отдельных импульсных откликов у(2) =- 6(2)х(0) + 6(1)х(1) + 6(0)х(2) у(3) ==.
6(3)х(0) + 6(2)х(Я) + 6(1)х(2) (- 6(0)х(3) (5.90) у(71) =- 6(п)х(0) + 6(71 — 1)х(Ц +... + 6(0)х(п). Если система линейна, выход можно записать как линейную сумму влияния предыдущих входов. Выход линейной системы первого порядка описывается уравнением (5.90). Изучая приведенные выражения, находим, ч!о выход получается умножением входной последовательности на соответствующие точки обращенной во времени функции импульсной характеристики. Альтернативный вариант — записать уравнение (5.90) в таком виде: у(п) = 6(0)х(71) + 6(1)х(т! — 1) + ...
+ 6(п)х(0) (5.91) и рассматривать выход как произведение соответствующих пар точек в функции им- пульсной характеристики и обращенной во времени входной последовательности. Сле- довательно, сверточная сумма эквивалента взаимной корреляции одной последователь- ности и обращенной во времени другой. 3 3 3 1 яй) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Ь(2)х(0) 3 3 Таким образом, послелующие выходы запишутся так: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 Ь(пв 3 3 Ь(я3 — и 3 33(и — 2) 3 3 3 314 Глава 5. Корреляция и свертка Уравнения (5.90) и (5.91) можно записать компактно: у(п) =- Л 6(п — гп)х(гп) я,=в (5.92) у(п) = — ~ь Ц7п)х(п — 77т).
ж=в (5.93) Данные Функции называются сверточными суммами входов с импульсной характеристикой, а выход находится как свертка входа с импульсной характеристикой системы. Уравнения (5.92) и (5.93) можно расширить на сигналы бесконечной длительности, записав их следующим образом: у(п) = ~ х(т))6(п — гп) = х(п) Ю 6(п) (5.94) у(п) =- ~ 6(гп)х(п — гп) = 6(п) Ж х(п). (5.95) В приведенных уравнениях символ "®" обозначает операцию свертки.
Если вход состоит из непрерывной последовательности импульсов, приведенную выше сумму можно заменить интегралом, например, уравнение (5.94) при этом приводится к виду у(1) х(Л)6(Х вЂ” Л)дЛ, (5.96) что называется интегралом свертки. До этого момента термином свертка назывался резулыат свертки импульсной характеристики системы со входом системы. В то же время, данную концепцию можно расширить на свертку любых двух наборов данных и рассматривать термин в более широком смысле.
В качестве примера свернем две псриодичсские во времени последователь~ости (4,3,2, 1) (6(гп)) и (1. 2,3, Ц (х(гп)). На рис. 5.20, а показана периодическая последовательность (4,3,2, 1) (6(т)), а на рис. 5.20, б — обращенная во времени последовательность (6( — гп)), (1, 2, 3, 4). (Напомним, что сверточная сумма требует, чтобы одна из последовательностей умножалась на обращенную во времени вторую последовательность, т.е.
свертка соответствует взаимной корреляции одной последовательности с обращенной во времени второй.) На рисунке также показано окно, ширина которого равна одному периоду. по которому выполняется свертка. Очевидно, что полученный результат будет периодическим, как и при нахождении взаимной корреляции (раздел 5.2.1), так что необходимо найти только свертку по выделенному интервалу. На рис. 5.20, е для справки показана вторая последовательность (1, 2, 3, 4) (х(гп)).
5.3. Описание свертки )кщ) = )4,3,25 а) б) а=о в) а=! а=3 х<м) = Р Д 3 В е) Выходках) 1 )дм) — ь(п) эша) ~ Рпс. 5.20. Свертка у(тп) последовательностей )Но) н х(о): а) перподнчсская последовательность )и'то); б) обрашснная во времени последовательность а) — хо); в) — д] копии Ы,— та), последовательно смещаомыс вправо; е) последовательность х(т); ж) выходная последователыюсть у) ап) = а(н) 9 х)т~) З15 Глава 5. Корреляция и свертка При и = 0 уравнение (5.92) переходит в следующее: у(0) = ~~г 6( — т)т(ггз).
кк=о Согласно этой формуле взаимная корреляция данных в окне на рис. 5.20, б н е равна у(0)::=. 4 х 1 + 1 х 2+ 2 х 3+ 3 х 4 --- 24. При и = 1 уравнение (5.92) переходит в следующее: у(1) = ~~к 6(1 — т)х(т), и согласно зной формуле взаимная корреляция данных в окне на рис. 5.20, в и е равна у(1) = — 3 х 1 1- 4 х 2 1 1 х 3 1 2 х 4 = 22.
Следовательно, У(2) = 2 х 1 + 3 х 2 4 1 х 3 4 1 х 4 = 24 у(3) = 1 х 1 + 2 х 2+ 3 х 3+ 4 х 4 = — 30. Далее выходная последовательность (см. рис. 5.20, ж) циклично повторяется. Если сигналы поддаются строгому математическому описанию, свертку можно выполнить аналитически. Чтобы лучше понять процесс свертки, рассмотрим подобный пример и проиллюстрируем необходимые этапы графически. Пример 5.7 Найдем аналитически свертку сигналов ж(1) и 6®„изображенных на рис. 5.21, а. Пусть интеграл свертки записывается как уЯ):=- х(1) гйг 6(1) =-- х(т)6(1 — т)г4т. (5.97) Уравнение (5.97) соответствует уравнению (5.96), в котором переменную Л заменили на т, чтобы указать, что теперь рассматривается задача с задержками.
Интеграл свертки зависит ог переменной т, так что рис. 5.21, а нужно заменить на рис. 5.э1, б. Далее необходимо обратить во времени сигнал 6(т), как показано на рис. 5,21, в. Далее 6( — т) смещается относительно л(т) в положительном направлении т. Получающийся в результате сигнал 6(1 — т) накладывается на х(т) за пять отдельных этапов, проиллюстрнрованных на рис.
5.21, г — з. Для каждого из этих этапов существует соответствуюгций интеграл свертки. Следовательно, т(г) Я 6(1) существует в пяти отдельных непрерывных областях. 5.3. Описание свертки 317 м 3 ям Ит) о 2 т о 3 т О 2 б) О т -2 о 3 т т=о т=т т=3 т О т=2 3 т л3 13 лг Нлложонн Нлложон н о 4 3 3 — т-2 — т — 2 [ — Нхижтнно т=б Нлл конно Рис. 5,2П Лнатитглческая сырка: а) сигиаты х(О) и 6(О); б) х(т) и 61т); в) И( — т); г) 6(2 — т) и х)т); 2 < О, сигнал 6(2 — т) не накладывается на х(тй д) и13 — т') и х(т); О < о < 2, первое частичное начоткснне И(à — т) и х(т); с) 6(2 — т) и х(т) Г = 2, конец первого частичного наложения; ж) Рт(à — т) и х(т); 2 < 2 < 3, полное наложение )т(2 — т) н х(т): 3) )т(à — т) н х(т), 3 < О < о, второе частичное наложение 6(à — т) и х(т); н) 6(2 — т) и х( ); 2 > 3, наложения 6(à — т) и к~ т) нег ° Этагг 1.
1 < О и 6(х — т) не накладывается на х(т) (рис. 5.21, г). Поскольку функции не перекрываются, х(т) 6(1 — т) =- О для всех 2 и не дает вклада в интеграл свертки. ° Этан 2. О < И < 2 и существует частичное наложение 6(1 — т) и х(т) (рис. 5.21, д). В этой области р(1) =:= х(т)6(И вЂ” т)г)т ж (3) х (2)б(т (5.98) т-:.о т:.. О д(2) = б[т[© — ОИ. О < 1 < 2 Как показано на рис. 5.21, е, данный этап завершается в момент 1 =- 2. ° Энгал 3.
2 < 1 < 3 и сигналы 6(С вЂ” т) и х(т) полностью перекрываются (рис. 5.21, ж). В этой области р(И) = (3) х (2)Й. = 6[т], '2 (5.99) з1в Глава 5. Корреляция и свертка тСО 12 СО о О 1 2 3 Ф 5 Рис. 5.22. Зависимость сверпси в11) = а 69 св 610 от С ° Этап 4. 3 < С < 5. Еще одна область частичного наложения, показанная на рис. 5.21, з: т=в 1211) = (3) х ~2)с1т — 6)т)~ = 616 — С)3 — 61. (5.100) ° Этссп 5. г > 5. Как показано на Рис. 5.21, Ро это втоРаЯ область без наложениЯ, которая также нс даст вклада в интеграт1 свертки.
Таким образом, вклад в интегра21 свертки дают этапы 2 — 4, причем эти вклады выражаются следующим образом: 0<2<2 д® о.бС, 2<1<3 у®=12, 3 < С < б д12) о- 30 — 61. Из этих выражений можно получить зависимость у(т), изображенную на рис. 5.22. Приведем повторно уравнения (5.94) и (5.96) и продолжим наше обсуждение. оо у(п) оо ~~) х(тп)12(п — гп) -=- х(п) ® Б,(п) у(с) х(Л)11Сс — Л)с1Л. Изучая эти уравнения, следует помнить, что свертка выполняется во времени — возникает так называемая свертка во временной ооласти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
