Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 50
Текст из файла (страница 50)
4Г.2. Глава 4. Применение 2-преобразования в обработке сиги (О 2 б о с с о к -10 а -20 Ф с -ЗО о 250 зю мо 50 Частота (Лт! (ОО 5О а о -50 -1ОО 0 250 50 150 100 Частота(тц) Рис. 4Г.2 Корреляция и свертка В данной главе объясняется природа процесса корреляции, которая затем иппюстрируется на примерах вычисления функций взаимной корреляции и автокоррепяции.
Описано подавление шумовой составляющей сигнала с помощью корреляции и техника быстрой корреляции с использованием БПФ. Тема свертки рассматривается примерно по той же схеме, что и тема коррепяции. В описание включены круговая и линейная свертка, быстрая линейная свертка и метод сегментов (напожениесложение, наложение-запись), необходимый при обработке значительных массивов входных данных. Кроме того, рассматривается обращенная свертка, устанавливается связь между корреляцией и сверткой.
В завершение главы рассказано о реализации корреляции и свертки и разобрано несколько примеров применения этих процедур. 5.1. Введение г1асто бываег необходимо опрсдс:шть степень независимости одного процесса от другого или установить сходство одного набора данных с другим. Другими словами, искомой является корреляция процессов или данных, которую можно определить математически и измерить. Вообще, процесс корреляции занимает значительное место в обрабогке сигналов. Этот математический аппарат нашел применение в обработке изображений в сфере компьютерного зрения или дистанционного зондирования со спутников, в которых сравниваются данные с различных изображений, в радарных или гидроакустических установках для дальпометрии и местоопределения (пеленгации), в которых сравниваются переданные и отраженные сигналы.
Он используется в детектировании и идентификации сигналов в шуме, в организации технического кон~роля для наблюдения за влиянием входа на выход, в идентификации двоичных кодовых 5.1. Введение 5.2. Описание корреляции 5.3. Описание свертки 5.4. Реализация корреляции и свертки 5.5. Примеры применения 5.6. Резюме Задачи Литература Приложение 281 282 311 339 339 347 348 353 354 282 Глава 5. Корреляция и свертка слов в системе с импульсно-кодовой модуляцией, в обычных схемах оценки по методу наименьших квадратов и во многих других областях, например, в климатологии.
Корреляция также является неотъемлемой частью процесса свертки, который, по сути, — та же корреляция двух последовательностей данных, при вычислении которой одна из последовательностей обращена во времени. Это означает, что для вычисления корреляции и свертки могут использоваться одни и те жс а:поритмы, только в случае свертки одна из последовательностей обращается. Отметим также, что спектр записанного сигнала состоит из свертки спектра сигнала со спектром вырезающей функции. Определение импульсной характеристики неизвестной системы называется идентигрикацией системы.
Определение неизвестного выхода по импульсной характеристике системы и выходу называется обращением свертки (нахождением оригинала функции). Если импульсная характеристика неизвестна, определение искомого входного сигнала называется слепым ооращением свертки (Ышг) г)есопчо1пйоп). Все эти важпыс гомы рассмотрены ниже. 5.2. Описание корреляции Рассмотрим, как можно сравнить две последовательности данных, состоящие из значений, одновременно выбираемых из двух соответствующих сигналов.
Если два сигнала похоже меняются при переходе от точки к точке, то меру их корреляции можно вычислить, взяв сумму произведений соответствующих пар точек. Данное предложение становится более аргументированным, если рассмотреть две независимые и случайные последовательности данных. В этом случае сумма произведений стремится к исчезающе малому случайному числу по мере увеличения пар точек. Это объясняется тем, что все числа, положительные и отрицательные, равновероятны, так что пары произведений компенсируются при сложении.
В 'то жс время, если сумма конечна, зчо указывает на наличие корреляции. Отрицательная сумма указывает на отрицательную корреляцию, т.е. увеличение одной переменной связано с уменьшением другой. Таким образом, взаимную корреляцию г„(п) двух последовательностей данных х, (п) и хз (и), содержащих по гч элементов, можно записать как н-1 г„= 2 х,(п)хз(п). Впрочем, такое определение взаимной корреляции дает результат, который зависит от числа взятых точек. Чтобы это исправить, результат нормируется на число точек (делится на Л"). Данную операцию можно также рассматривать как усреднение суммы произведений.
Итак, получаем следующее улучшенное определение: 283 5.2. Описание корреляции Х,(П) хз(п) Рпс. 5.П Сигналы со 100%-пой корреляцией, идущие не в фазе, -- прн нущевой задержке корреляция равна нулю Пример 5.1 Ниже иллюстрируется расчет и,;. Число точек данных в последовательности равно и, используются последовательности хз и хщ ц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 х, 4 2 — 1 3 — 2 — 6 — 5 4 5 хл — 4 1 3 7 .1 — 2 — 8 — 2 1 1 г„— — (4 х ( — 4) + 2 х 1+ ( — 1) х 3+ 3 х 7+ ( — 2) х 4+ ( — 6) х ( — 2)+ 9 +(-5) х(-8) 64х( — 2)+5х1) = Впрочем, чтобы данное определение можно было использовать, его также нужно модифицировать.
В некоторых случаях корреляция, определенная указанным выше способом, может быль нулевой, хотя две последовательности коррелируют на 100%. Это может произойти, например, когда два сигнала идут не в фазе (как часто и бывает). Данная ситуация иллюстрируются сигналами на рис. 5.1. На рисунке показано, что каждая пара произведений в функции корреляции равна нулю, следовательно, вся корреляция равна нулю, поскольку нулю всегда равно одно из значений х, или х,. Впрочем, очевидно, что сигналы сильно коррелируют, хотя и идут не в фазе. Разность фаз может, например, объясняться тем, что хз — некий эталонный сигнал, а хл — запаздывающий выход схемы.
Чтобы преодолеть подобный сдвиг фаз, необходимо сдвинуть (или задержать) один из сигналов относительно другого. Обычно, чтобы выровнять сигналы перед определением корреляции, хя смещается влево. Как показано на рис. 5.2, это эквивалентно замене хя()г) на х (ц 4 1), где У пРедставлает величинУ задеРжки— число точек выборки, на которос хи смещаегся влево.
Альтернативной и эю)ивалентной процедурой является смещение х, вправо. В результате получаем такую формулу для взаимной корреляции: 284 Гпаиа 5. Корреляция и свертка а= а ау в;=а Рис. 5.2. Сигнал гг —.- ег р Л смеШенный па г промежупгов времени влево от сигнала ег Л-1 гг (1): — ~ кт(п)вг(п + лг) Х а=в (5.1) 1 к — 1 =:: тгг( — 1) -= — У" хг(п)х,(п — т).
Х ~ — ' о=о На практике, когда два сигнала коррелируют, их фазовая связь скорее всего неизвест- на, так что корреляцию нужно находить для нескольких различных задержек, чтобы установить наибольшее значение корреляции, которое затем считается истинным. Пример 5.2 Рассмотрим взаимную корреляцию указанных выше двух последовательностей т г (и) и о г(п) с задержкой т' ==: 3, т.е. т„(3). Итак, используются следующие последовательности: и 1 2 3 4 5 6 7 8 9 х, 4 2 — 1 3 — 2 — 6 — 5 4 5 жг 7 4 — 2 — 8 — 2 — 1 так что тдг(3) = — — (4 х 7 4 2 х 4 4 ( — 1) х ( — 2) 1 3 х ( — 8) 1 ( — 2) х ( — 2)+ 9 + ( — 6) х ( — 1)) — 2,667.
1 тгг(т) -- 11гп — хг(1)кг(Е+ т)Й- — т--т,/ ' (5 2) В то же время, если х, (1) и жг(1) — периодические с периодом Т, формула (5.2) упро- щается до торг 1 7 г; (т) =- — / х,(с)кг(с 4 т)11. Т,,/ (5.3) т'о/г Разумеется, также можно рассмотреть корреляцию в непрерывной временной области, и некоторые аналоговые схемы корреляции организованы именно так. В непрерывной области и — 1 и 1 -о т и 5.2. Описание корреляции 285 Вг Вг(О) Рие. 5.З.
Влияние краеною эффекта на взаимную карре инню кю(з1 Если данные — это сигналы с конечной энергией, например, непериодические импульсообразные сигналы, то усреднение по времени Т при Т вЂ” оо не выполняется, поскольку в этом случае было бы 1(Т вЂ” 0 и 1(Т э О, и тгг(т) бььто бы исчезающе малой величиной.
В таком случае используется следующая формула: гя(т):= х,(ф)г,(Г. + т). (5.4) На практике обрабатываться будут записи конечной длины, так что применяются фор- мулы (5.1) или (5.5): 1 Г т„(т) = — ~ х,(1)х,(1+ т)гц. т/ о (5.5) Есть и другая сложность, связанная с нахождением взаимной корреляции последовательностей данных конечной длины. Это иллюстрирует приведенный выше пример, в котором было найдено значение т,к(3) =- 2,667. При смещении хз влево сигналы уже не перекрываются, и данные в конце последовательностей не формируют парные произведения — возникает так называемый краевой эффект.
В рассмотренном примере число пар при задержке 3 уменьшилось с девяти до шести. В результате наблюдалось линейное уменьшение т,з(~) при увеличении з, и получены спорные значения гзз®. Одно из возможных решений возникшей проблемы заключается в том, чтобы длину одной последовательности сделать в два раза больше длины, необходимой для нахождения корреляции. Для этого можно записать больше данных или, если одна из последовательностей псриодична, повторить последовательность (особое внимание следует обратить на согласование краев).
Другое возможное решение — скорректировать все рассчитанные значения. На рис. 5.3 показано уменыпение тгз с ростом у' в результате красвого эффекта, т.с. реальное измспснис Р„Я нс показано. При 1 = О, т,з(Я = т,з(0), что можно вычислить. При у = Х, гзз(Ж) =- О, поскольку сигналы уже не перекрываются. В промежуточных случаях при некоторых значениях задержки у истинное значение г г 0) равно т,з 0) ггн„тогда как действительное значение, искаженное краевым эффектом, равно т,Я)). Далее па основе рисунка получаем тзз(г)ггве тг2(2) т12(0) Х гвв Глава 5. Корреляция и свертка хдпг хкпг 15 хйпг хпгпг Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
