Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 53
Текст из файла (страница 53)
с (5.35) При Х вЂ” сс, (1/Х~) 2 с'д(ЛЛ'„) — О, следовательно, зла(0) — а(0). Подобным образом, для других значений 1 1 гм( — 1) =: — — ~~> (а(п) +д(п))д((п, — 1) — йД1р1, А: ==-. 0,1,2, а п.=с в результате также подавляется шум и находятся значения а(и) для и = 1, 2,.... Сле- довательно, из уравнения (5.33) получаем гяа(-г) --: а(0),а(1),...,а(К вЂ” 1), г::: 0,1,2,..., что и является требуемым сигналом.
Таким образом, сигнал, затерянный в зашумленном сигнале, можно оценить следующим образом: 1) найти автокорреляцию сигнала и определить его период; 2) найти взаимную корреляцию сигнала с периодической серией импульсов, период которой равен периоду сигнала; в ходе этой процедуры серия импульсов смещается вправо опюсительно сигнала. 5.2. Описание корреляции кк) а) Рис. 5.12.
Сигнал — 8-битовое кодовое слово РСМ (панель и). Импульсная харакгернсп)ка соогвсг- ствукядего согласованного филыра (панель о) 5.2.2.3. Реализация корреляционного детектирования — согласованный фильтр Корреляция также применяется для реализации корреляционного детектирования с помощью согпасованноп) фильтра. Согласованным называется филыр, максимизирующий отношение сигнал-шум на выходе. Импульсная характеристика согласованного фильтра записывается следующим образом' [13): 6(1)сб,(Т вЂ” (), (5.36) где с — произвольная константа, я,(г) — входной сигнал (без шума), который выражается следующим образом: з,((), для О < ( < Т; <и) О, для зл < ( < О.
Здесь Т вЂ” момент времени, в который выполняется дискретизация выхода. Видно, что импульсная характеристика получена путем обращения сигнала во времени с последующим перемещением его на Т(я) вдоль временной оси. В качестве примера на рис. 5.12, а показан сигнал, являющийся 8-битовым словом в кодировке РСМ, а на рис. 5.12, б показана импульсная характеристика согласованного фильтра, максимизирующего детектирование сигнала, гФармула (5.3б) верна талька для детерминированных снгпалов.
те. таких, о изторых извеспю все, в там числе и момент времени Т, Рели сигнал имеет слу ейную компоненту (хотя бы фазовую, те. время его появления), то формула (5.3б) прннлипиавьна неверна. В этом случае для построения согласованнога фильтра следует воспользовагъся теоремой Винера-Хинчина. -- Прим ре) зоо Глава 5. Корреляция и свертка Теперь можно показатть что детектирование с помощью согласовашюго фильтра эквивалентно корреляции, Выход фильтра у(с) вначале выражается через свертку его входа а(~) с его импульсной характеристикой (свертка рассмотрена в разделе 5.3): у(1) ==-. а(т)6(е — т)с)т, (5.37) где а(1):=- ат (Е) + д®.
(5.38) Здесь т — задержка, с7® обозначает шумовой компонент. Подставляя уравнение (5.38) в (5.37),получаем У(1):=.- [ас(т) + с)(т)16(1 — т) (т:=: [ат(т)6(1 — т)с(т 1 9(т))6(1 — т)сЕт. т Второй член правой части стремится к нулю, поскольку д(т) — случайный сигнал, который це коррелирует с 6(с — т). Следовательно, у(1) = а,(т)6(с — т)с1т. (5.39) Далее из уравнения (5.3б) получаем 6(1 — т) = сат(Т вЂ” 1 р т). (5.40) Объединяя уравнения (5.39) и (5.40), получаем уЯ вЂ” ас(т)вас(Т вЂ” 1 + т)с)т.
(5.41) Если этот выход дискрстизуется в момент времени ~ = Т, го у(с) — а~(т)са,(т)Ыт— (5.42) ьс~(т)с)т = а~Яс(с = г„(0), если с = 1. 301 5.2. Описание корреляции Интегратор дл Локыьнатя копия сагаева и (т) Рис. 5.13. Схематическое изображение коррелянионного детектора тк а я ж тт Веста Лтс~ Рис.
5.14. Детектор кодовых слов РСМ, основанный на коррелянионном дегскторе Таким образом, 1дТ) — автокорреляппонная функция сигнала нт® с нулевой задержкой, которую можно палучиттн найдя взаимную корреляцию зашумлешюго входа с локально генерируемым бесшумным сигналом. На основе данного принципа н построен корреляппонный детектор, схематическое изображение которого приведено на рис. 5.13. Например, на рис. 5.14 изображен детектор кодовых слов РСМ, содержащий корреляционный детектор для каждого кодового слова. В цифровом детекторе си-битовых кодовых слов хранятся кодовые слова, которые в процессе детектирования умножаются на т поступающих битов.
Максимальное значение будет получено, если 1) ш входных битов точно соответствуют ш-битовому кодовому слову, или если 2) т входных битов случайно равны т-битовому кодовому слову. Второй вариант крайне нежелателен. Он возможен, если два соседних кодовых слова содержат последовательность битов, идентичную требуемому ти-битовому кодовому слову, или если кодовое слово было повреждено. Следовательно, необходимо так упорядочить входной поток, чтобы была возможна синхронизация слов, а также битовая синхронизация в корреляционном приемнике. Таким образом, нужна синхронизация кодовых слов, при которой выполняются следующие требования: 1) корреляция мала для момстггов взятия выборок 1 ~ Т; 2) корреляция велика для выборок, взятых в моменты 1 = Т.
Кодовое слово с такими свойствами дает боттьш)ло автокорреляцию при нулевой задержке и малую — при других задержках. Следовательно, детектирование больших 302 Гпава 5. Корреляция и свертка Ниератор тактовых импульсов Рнс. 5.15. Трехкаскадный генератор псевдослучайной последовательности Рис. 5лб. Автокорреляционпая функция биполярного сигнала трехкаскадного генератора псевдослучайное последователытосги значений функции взаимной корреляции в приемнике укажет расположение входных кодовых слов относительно записанного слова.
Таким образом синхронизнруется приемник. Далее отметим, что случайные сигналы имеют указанное выше автокорреляционное свойство, и их можно реализовать в цифровом приемнике с помощью псевдослучайной последовательности, которую легко генерировать, используя регистр сдвига с отводами.
В качестве примера на рис. 5.15 показан трехкаскадный генератор псевдослучайной последовательности. Генератор производит последовательность 1, 1, 1, О, О, 1, О, которая затем повторяется. Генерируемая автокорреляпионная функция при биполярном сигнале на входе представлена на рис. 5. 16. Ниже указаны некоторыс свойства псевдослучайных последовательностей. 1. Кодовые ти-би'ювыс слова порождают последова1сльность длины 2"" — 1. 2. Максимальпыс значения равны 2 — 1. 3. Автокорреляцпонная функция равна — 1 везде, кроме максимумов. 4.
Выходная послсдоватслыюсть содержит 2™ т единиц и 2"" — 1 нулей. 5. Спектральная плотность мощности равномерна, так что описанные генераторы можно использовать как источники белого шума. Последнее свойство означает, что псевдослучайные последовательности также применяются в качестве источников белого шума. 5.2. Описание корреляции 303 5.2.2.4. Опредепение импульсной характеристики эпектрических систем 1 Г г, = 1ип — / г1Яу(т+ т)<И =- '-'- Т,/ о (5.43) 1 =- 11ш — д(Ь)Й1 6(е)ц(1 — п+ т)Г(н, ь.сю Т (5.44) поскольку у(г) — свертка входа с импульсной характеристикой: уИ) 6(о)ЧИ вЂ” пМ '. (5.45) Меняя в уравнении (5.44) порядок интегрирования, получаем 1 Г т к(т) =- 6(р)й 1ш1 — / д(1)д(1 — и+ т):11=- т Т (5.4б) 6Яг „(т — п)дн. (5.47) Теперь г (т — ц) аппроксимируется о-функцией, поскольку это автокорреляционная функция псевдослучайной последовательности. Следовательно, уравнение (5.47) мож- но переписать в виде г к(1) = К 6(и)Ь(т — п)сХо = К6(т), (5.48) Дальнейшее приложение корреляции и псевдослучайных последовательностей лежит в определении импульсной характеристики электрических систем.
Например, рассмотрим системы импульсного тестирования. При наличии шума малые импульсы могут маскироваться шумом, а болыпие — вызывать переполнение системы. Кроме того, используя единственный импуш с, сложно поддерживать равномерную спектральную плотность энергии по полосе. При этом, как объяснялось выше, псевдослучайная последовательность имеет равномерный энергетический спектр. Кроме того, если время измерения кратно длине последовательности, дисперсия измеренных значений будет равна нулю, в результате время измерения будет малым, а точность высокой.
Основная идея метода — подать псевдослучайную последовательность на вход системы. Далее через взаимную корреляцию поданной последовательности ц выхода находится импульсная характеристика системы. Доказательство сказанного приводится ниже. Пусть д(~) — входная псевдослучайная последовательность, а у(т) — выход системы с импульсной характеристикой 6(г). Тогда 304 Глава 5. Корреляция и свертка сггг Псевдослучайная последов, с- »с =йый Рис. 5.17. Определенно импульсной харякгерисгнкн электрической систелгы где 11 — площадь импульсной функции, равная среднеквадратическому значению шума [1]. Схема описываемой структуры изображена на рис. 5.17.
Метод подвержен определенным опшбкам, и, чтобы их избежать, следует принимать определенные меры предосторожности. 5.2.2.5. Определение отношения сигнап-шум дпя периодического зашумленного сигнала Измеряя коэффициент корреляции зашумленного периодического сигнала, можно определить его отношение сигнал-шум, а также мощность сигнала и шума [9).
Вывод соответствующих выражений приводится ниже. Для нахождения периода зашумленных сигналов можно использовать метод, описанный в подразделе 5.2.2.2. Запишем сигнал как )гв(г), шум — как 1н(т), зашумленный сигнал 1'(г) выражается следующим образом: ~г'(г) = Ъг,(г) + 1~ (1). (5.49) В таком случае периодический сигнал с периодом и интервалов дискретизации запишется как 1г(г) = — Ъ'(1 Г и). (5.50) Ковариация (второй момент) )г'(г) определяется следующим образом: 1 сон [1г(г)) --.: сок[)г(г).
1г(г + гг)) '::- — ~[()г(у) — 1Г(г))1)г(г + гг) — (г(г + п)Я, (5 51) Х г:=1 где — 1 )г(г) = —, ~ 1г(г)— среднее 1г (т). Таким образом, видно, что сон[1'(1)) — автокорреляционная функпия 1'(г) с нулевым средним с задержкой и. Далее обычным образом определяется коэффициент автокоррсляции Г(г,): сон[1 (г)) р[1 (г)) (5.52) сон[1' (г)) 305 5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
