Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 52
Текст из файла (страница 52)
4 15. 12) Член зпт(шт) дает наименьшее значение при шт = ттт, где пт — целое. Следовательно, тп т:= — Т 2 15.13) Теперь следует сделать несколько разумных предположений. Допустим, что условию болыпого Т удовлетворяет Х > 10. Тогда Т > пТр~2 или (5.14) Т > бтр. Из уравнения (5.13) находим, что наибольшее разрешенное значение т для самого низкочастотного компонента тп = 1 удовлетворяет условию т < Тр.
Объединяя неравенства (5.14) и (5.15), получаем т ( Т~'э. (5.15) Это означает; что при нахождении корреляции сигналов ошибки, вызванные конечными длинами последовательностей данных, можно минимизировать следующим образом: 1) гарантировать, что Т > бТр, где Тр соответствует наименьшему значимому частотному компоненту; 2) совмещать данные не более чем на 20'!4 их длины.
293 5.2. Описание корреляции пца — 77лъ г,"~л о — 7ДУ вЂ” 7!л — гр7л' Рнс. 540. Лигокоррс77яцион77ая фу777гция случайного сигнала Таким образом, например, если нужно найти корреляцию телефонного речевого сигнала с полосой 300 — 3400 Гц и того же сигнала, дискретизованного с частотой 40 кГц, Т„-: 1/300 .-:: 3, 3 х 10 ' с. Наименыцая приемлемая длина данных составляет б х 3, 3 х 10 ' с = 16, 7 мс, а максимальное смешение при нахождении корреляции — 3,33 мс, или 133 точки данных. На рис. 5.10 приведен график ргг Ц) коэффициента автокорреляции чисто случайного сигггагга, например, белого шума.
Можно показать, что математическое ожидание ггг(Я равно Е~ггг — 177Х) ~4), где А7 — число точек данных, а дисперсия равна са71т7 „Я = 177%. На рисунке показано математическое ожидание — 177А7, а также доверительные границы по уровню 95% — 17777', равные х277Аг'гг. Значения 7 77(у), которые не входят в эти доверительные пределы, могут быть значительными, т.е. они могут указыватти что сипгал пе совсем случаен.
При этом следует отметить, что одна точка из 20 может выходить за указанные пределы, даже если сигнал абсолютно случаен. Случайный сигнал 7 и (1) должен входить в доверительные границы по уровню 95% за одну-две задержки. Чтобы действительно гарантировать, чп7 сигнал случайный, нужен определенный опыт и некоторые дополнительные действия.
Например, в работе [7) рекомендуется использовать предварительное "отбеливание" данных (устранение белого шума). Автокорреляционная функпия периодического сигнала также является периодиче- ским сипгалом. Данное утверждение легко доказать. Периодический сигнал х(г) с периодом Т удовлетворяет условию х(г) = х(г + 77Т), так что туг 1 т7777,т) = 1пп — / х®х(7.1. т)г11 =- т Т вЂ” тгг 294 Глава 5. Корреляция и свертка туг 1 Г (пп — / х(1)т(1+ т+ ттТ)Ж т'- сю Т (5.1б) — т~г »„(т) =- т„(т+ пТ). е(1) = а(1) + д(1)» (5.17) причем предполагается, что а(Х) и д(1) пе коррелируют. Выборочная автокорреляционная функция т»(1), равная т„.„(7"), записывается следуюшим образом: 1 к — » »..(1) = — ~~» [а(тт) +д(п)[[а(и+ 1) + д(п+ 1)1 =- (5.18) 1 л-» 1 м-» = — ~ а(т»)а(»»+ т) 1 — ) а(п)д(п, +~) + — ~ д(т»)а(т»+7)+ Х Х Ж п=О п=О (5.1 9) 1 М вЂ” 1 + — ~~» д(п)д(п + 7):и Х п=с = ..(1)+Е[ ( )д( +,())+Е[д( )а( +,()1+Е[д( )д( +7)[ = ="' тпв(2) + Е[а(т»)1Е[д(п + Э)[ + Е[д(п)[Е[а(п + Д + Е[д(»г)[Е[д(»т + т)1 г =- т„(2)а(п)д(п) + д(п)а(п) + д(п) —.= г„® + 2яд+д'.
(5.20) Следовательно, сигнал ты (т) периодический по т с периодом Т. Данное свойство полезно, поскольку позволяет детектировать периодические сигналы в шуме при неболыпих отношениях сигнал-шум. Нахождение автокорреляции сигнала обычно снижает шум, при этом проявляя периодическую авп»корреляционную функцию сигнала. При необходимости после детектирования можно выполнять дальнейшую обработку сигнала, чтобы определить его форму.
Из уравнения (5.11) видно, что автокоррсляциопная функция сигнала А а!п(ОМ) равна (Агт»2) сов(шт). Поскольку амплитуда автокорреляпионной функции связана просто с амплитудой сигнала, ее можно использовать для оценки амплитуды сигнала. Приведем другой распространенный пример — прямоугольный сигнал амплитуды А, амплитуда ашокоррсляциопной функции которого равна Аг, а сама функция имеет треугольную форму. Наконец, следует отметить, что автокорреляционные функции не уникальны. Это означает, что различные сигналы могут иметь одинаковые корреляционные функции. Таким образом, по найденной автокорреляционной функции нельзя определить форму сигнала.
Рассмотрим задачу, в которой сигнал е(Е) частично случайный. Итак, изучается зашумленный сигнал, который можно записать как сумму полезного сигнала а(1) и шума д(1). Таким образом, 295 5.2. Описание корреляции «О« Рис. 5ЛП Автокорреляш«оцная функция аашуиленного сии«ала Теперь д — О для больших г"у', для которых и-(Я .аО). (5.21) Пример 5.4 Найдите функцию взаимной корреляции двух зашумленных сигналов. Дано Два сигнала (а, ф+д1 (~)) и 1нг(1)+ ггг(1)). Их выбоРочнаЯ взаимнаЯ коРРелЯциЯ г,г(Я записывается следующим образом: 1 О) =— дг ~, Нн (п) 1 Ч ( ))( г(п -1 у«) + Ы -1 Я! = и=о 1У вЂ” 1 (лг(п)лг(11 +,/) + яг(п)11г(п +,7) + 111(п)Дг(п + „7)1 и=о (5.22) и -1 Х вЂ” 1 — я1(п)дг(п + Я -1 — ~~1 дг(п)яг(п ф г)-1 Х „У 1 + — ~ дг(п) дг(г1 + 1) =- д« и=о ,',О)+ .„,О)+ „.,3 „„О). (5.23) Для меньших 1"1«слагаемые взаимной корреляции в формуле (5.19) и автокорреляпия шумовой составляющей стремятся к н1лю с увеличением задержки ~.
Таким образом, видно, что автокорреляционная функция частично случайного или зашумленного сигнала состоит из автокоррсляционной функции сипшльного компонента, на которую накладывается затухающая шумовая функция, зависящая от случайного компонента и полезного сигнала, и которая затухает до значения 2вд -1 дг. Следовательно, график зависимости га„О) от у отражает периодичность н(1) при условии )г„О)) > )(2нг1 1- д~)) (см. рис. 5.11).
В резулыате получаем метод определения периода сигнала в шуме (см. раздел 5.2.2). гм Глава 5. Корреляция и свертка Как и в предыдущей задачс, последние три члена в правой части уравнения (5.23) затухают до нуля с увеличением задержки тб Для больших Аг уравнение (5.23) записывается следующим образом: тля (т) '==. гни (З) + ят чз + чтв2 + ття2' (5.24) Таким образом, при увеличении Ю г1зО) — г„„(~), функции взаимной корреляции двух сигналов. Проведенный выше анализ дсмопстрируст; что функции взаимной корреляции и автокорреляции позволяют проявить свойства сигнала, снижая шумовую составляющую. 5.2.2.
Применение корреляции 5.2.2.1. Расчет спектральной плотности энергии и энергетического содержимого сигнала Можно показать, что (5.25) Е(ты(т)) == Сл(У), где С н® вЂ” спектральная плотность энергии силуана, т.с. спектральная плотность энергии и автокорреляционная функция являются Фурье-образами друг друга. Далее можно показать, что гп(0) = Е, (5.26) где Š— общая энергия сигнала. Пример 5.5 Найдите связь между корреляционными функциями с нулевой задержкой двух различных сигналов и их общим эпсргстическим содержимым. Обозначим сигналы в,(п) и пя(п), а их сумму — г'(п) .—.: пт(п) + и (и).
Автокорреляционпая функция сил~ада с нулевой задержкой )г(тт) равна и — 1 Ж-1 ,.(О) =Е,= — ~) Я() = — „~(п,() -"И', а=-О и:.О где Еи — энергия сигнала 1г(п). к — 1 Еи = — ~~ (т~~~(п) + ю.'(и) Г 2п1(п)пя(п)) и.=. О Л-1 м-т л-1 =- — ~ 11~ (тт) + — ~ Бз(ю) + — ~ пт(п)пз(17), 1 и=о и=О 5.2. Описание корреляции 297 так что Е„:..: г„,(0):... г,,(0) 1 2г„,„,,(0). (5.27) Полученное уравнение является одной из форм искомого результата. Альтернативным образом результат можно записать так: Е1 = Е„, + Е„, + 21 „„(0). (5.28) Если сигналы п1(и) и и (и) за1пумленные и г1(и)::: о',(и) + 91(и) и 111(11) 1.',(и) + г)з(и), легко показать, что Е1; =- Е,„+ Е, + Ея, + Е„+ и„, „(0).
(5.29) 5.2.2.2. Детектирование и оценка периодических сигналов а шуме Рассмотрим использование взаимной корреляции для детектирования и оценки периодических сигналов в шуме. Известно, что сигнал, спрятанный в шуме, можно оценить, найдя его взаимную корреляцию с настраиваемым шаблош1ым (" эталонным" ) сигналом. Шаблон настраивается методом проб и ошибок с использованием любых предварительных знаний, пока функция взаимной корреляции не достигнет максимального значения.
Для подкрепления этого предложения можно обратиться к уравнению (5.22), предполагая, что для шаблона д (и) = О. При таком условии уравнение (5.23) переходит в следующее: ГГ1О) = Г,,(.1) ! ГК1к,(.)) = (5.30) (5.31) Поскольку д1 — 1 0 при увеличении Л, 112()) ~ 1и81()) (5.32) Очевидно, г„,, ()) имеет максимум при ег(11) —:: я, (и), где г„,, — автокорреляционная функция сигню1а в, (и). Таким образом, меняя форму шаблона яз(и) с целью максимизации функции взаимной корреляции, можно получить «1(и) как оценку з1(и). Оценка сигнала методом подбора шаблона иногда удобна, например, когда форма сигнала приблизительно известна (например, для определенных биомелицинских потенциалов), по есть и более научный подход, который может быть предпочтительнее.
В Итак, энергия сигнала и (и) равна сумме энергий его компонентов плюс 2г„„(и), где Ггп„,,(И) — ФУНКЦИЯ ВЗаИМНОй КОРРЕЛЯЦИИ С НУЛЕВОЙ ЗаДЕРжКОй СнтиаЛОВ Е1(И) И Пз(И). Если г1(и) и ез(и) нс коррелируют, общая энергия является просто суммой энергий компонентов. гвв Глава 5. Корреляция и свертка этом меюде вначале оценивается период сигнала через автокорреляцнонную функцию зашумленного сигнала, а затсм находится взаимная корреляция зашумленного сигнала с периодической серией импульсов, период которой равен периоду сигнала. Получающаяся в результате функция взаимной коррелят1ии считается оценкой сигнала.
Обозначим сигнал с периодом Дтр 'точек (Хр < Дт) через в(и), а шум через д(п), так что зашумленный сигнал равен Ятг) = а(тг) + т1(п). Пусть о(п — ЙДт,,) — периодическая серия импульсов, исподьзуемая для нахождения взаимной корреляции, а Я~ — число импульсов, используемых при нахождении взаимной корреляции. Последняя величина также равна числу псриодов сигнала, за которые находится взаимная коррсляция сигнала с серией импульсов.
Тогда к. 1 гла( — г) = — ~(а(п) + о(п)1б(6 — ЙХр — г), й = О, 1. 2... (5.33) и=:О Для г =: — 0 н учитывая, что д(п — кЖ,,):-= 0 для всех и /= (тХ„, 1 гья(0) = — — [а(0) . р ~1(0) + а(Дтр) + г1(Юр) + а(2Дтр) -р д(2Дтр) +... + а -'- (у~ — (д') ~ (5.34) Далее из-за периодичности сигнала а(п + ЙХр) = а(п) уравнение (5.34) приводится к виду гяк(0) -.= — (Ма(0) + Ч(0) + г1(.Кр) + д(2Жр) +... + д(Л')) Б или 1 М/Ир ггм(0) = а(0) + —,к я(Й1~1р). ~У..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
