Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Известно, что в частотной области выход системы на частоте 1 равен г (1): (5. 101) У(У) оо ОУ)Л У), 319 5.3. Описание свертки где Н( Г') — частотная характеристика системы на частоте 1', Х( Г') — Фурье-образ входа х(й). Кроме топ>, можно показать, что Н(() — Фурье-образ 6(1). Применяя обратное преобразование Фурье к обеим частям уравнения (5.101), получаем Г '[У(й:--- Р(г) —.— р '[НУ)ХЖ. (5. 102) Объединяя уравнсния (5.96) и (5.102), получаем, что р(1):=:= х(Л)6(1 — Л)г)Л вЂ”:- х(1) ® 6(В) ==- Г '[Н(г )Х(г')1.
(5,103) Таким образом, видно, что свсртка двух сигналов во временной области эквивалентна применению обратного преобразования Фурье к произведению Фурье-образов двух сигналов. Данный полезный факт часто формулируют в сокращенной форме: свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной. Существует соотношение, дуальное приведенному, т.е.
свертка в частотной области эквивалентна умножению во временной. Таким образом, можно показать [10), что 1 1' (ш) = — / Х(ш — н)Н(ц)аи — ХО) К Н(1) =— 2гг,/ (5.104) =- Г[р(1)~ = Г[х(Е)6(В)~. Следовательно, Фурье-образ произведения двух временных последовательностей соответствует свертке Фурье-образов двух последовательностей. Данный результат обычно используется, чтобы объяснить взвешивание данных перед спектральным анализом (см.
главу 11). В данной процедуре оцифрованная последовательность данных точка за точкой умножается на другую последовательность, которая состоит из дискретных значений весовой функции. Этот процесс называется взвешиванием и выполняется для уменьшения ошибок ири вычислении энергетического спектра данных.
После этого к взвешенным данным применяется дискретное преобразование Фурье, цо результату которого вычисляется энергетический спектр. Задачей являегся получение энергетического спектра последовательности данных, но из сказанного выше следует, что в действительности получается спектр последовательности данных, свернутый со сггекчром весовой последовательности. 5.3.1. Свойства свертки 1. Закон ктвимутативности х|Ф ® хг(1) — хгИ) ® х1(1). (5.105) Отметим, что данное выражение идентично следующему: хг(т)хг(1 — т)ат = хг(т)х1(1 — твайт. зго Глава 5. Корреляция и свертка 2.
Закон дистрибутивности х,«) Е[хя(у)+х,(Г)1 =*,«) Сйхя«)+х,«) б хзЯ. (5.10б) 3. Закон ассоииативности х1(~) ® [х.«) ~ хз«)1 =- [х1 «) ~З хз«)! ® хз«) (5.107) Данные свойства можно доказать, либо расписав соответствующие интегралы, либо рассмотрсв свертку как взаимную корреляцию одной последовательности с обращен- ной во времени другой. 5.3.2. Круговая свертка 5.3.3. ИдентиФикация систем В уравнении (5.95) представлена связь между входом системы х(п) и ее выходом у(п). Термином идентификация системы обозначают опрсдслснис характеристики 6(п), если она неизвестна. Если на вход системы подать пробный сигнал х(п) и измерить выход у(п), характеристику 6(п) можно определить следующим образом (также можно использовать метод„описанный в разделе 5.2.2.4). Из уравнспи» (5.91) следует; что у(п) = 6(0)х(п) + 6(1)х(п — 1) +...
+ 6(п)х(0). При п = 0 у(0) = 6(0)х(0), поэтому 6(0) =- ' х(0) (5.108) Далее, расписывая и переупорядочивая уравнение (5.93), получаем: у(п) =- 6(п)х(0) 1- ~~~ 6(гп)х(п — тп), п ) 1. (5.109) и,=в Из сказанного в разделе 5.2.1 следует, что результат корреляции двух периолических последовательностей неравной длины — это циклическая послсдоватсльпостть период которой равен периоду меньшей последовательности, что, таким образом, является неверным результатом.
Поскольку свертка эквивалента взаимной корреляции одной последовательности с обращенной во времени второй, сказанное справедливо и для свертки. Следовательно, как и в случае с корреляцией, при свсрткс нсобходимо, чтобы две последовательности были равной длины. Итак, если длины последовательностей равны Х1 и Яз, то к первой из них следует добавить Хз — 1 нулей, а ко второй— 6Г, — 1 нУлей. После этого обо последовательности полУчат РавпУю длинУ Х, + Хз — 1, и будет вычислено правильное значение линейной свертки при выполнении других необходимых условий, указанных в разделе, посвященном корреляции.
5.3. Описание свертки 321 поэтому у(п) — 2, 6(т)х(п — т) 6(п)— х(0) п > 1, х(0) ф О. (5.110) Используя уравнения (5.108) и (5.110), можно вычислить 6(п). Пример 5.8 6(0):== === — =-- 1. х(0) 1 Используя уравнение (5.110), находим и — 1 у(п.) — 2 6(т)х(п — т) 6(п)— Для 6(Ц получаем следующее выражение: у(Ц вЂ” Е 6( )х(1 — ) 6(0) 61 — 3 х(0) х(0) 1 Для 6(2) результаты таковьп у(2) — ); 6(т)х(2 — т) ш.= О у(2) — 6(0)х(2) — 6(Цх(Ц х(0) х (0) 8 — 1х1 — Зх1 — 1 1 Для 6(3) получаем следующее выражение: „„о у(3) — 6(0)х(3) — 6(Цх(2) — 6(2)х(Ц х(0) 10 — 1хΠ— Зх1 — 4х1 — 3.
1 х(0) Пробный сигнал т(п) -= (1;1; Ц подается на вход системы с неизвестной импульсной характеристикой 6(п). На входе системы наблюдается последовательность у(п) = 11:,4;8;10:,8:,4. ;Ц. Определите 6(п). Из уравнения (5.108) 322 Глава 5. Корреляция и свертка Для 6(4) вычисляем: з у(4) — 2 6(тп)х(4 — ш) 6(4)--- х(0) у(4) — 6(0) х(4) — 6(1) х(3) — 6(2) х(2) — 6(3) х(1) х(0) 8 — 1хΠ— ЗхΠ— 4х1 — Зх1 — 1.
1 Для 6(5) получаем следуютцсе выражение: у(4) — 'т 6(пг)х(4 — ш) 6(4) == ' О, у(4) — 6(0) х(4) — 6(1) х(З) — 6(2) х(2) — 6(3) х(1) х(0) 8 †!хΠ— ЗхΠ— 4х! — Зх1 1. Фактически 6(п) = 0 для и ) 5. Следовательно, 6(п) = (1;3;4;3:1). 5.3.4. Обращение свертки у(п) =- 6(0)х(п) .+ ~~к 6(ш)х(н — тп). ш:.. т (5. 11 1) При и:-- 0 у(0) =:= 6(0)х(0).
Следовательно, у(0) 6(0)' (5.112) Из уравнения (5.111) получаем у(п) — 2 6(т)х(тг — ш) 6(0) (5.113) Уравнения (5.112) и (5.113) подобны уравнениям (5.108) и (5.110), так что пропедура расчета х(п) аналогична процедуре расчета 6(п,). Если импульсная характеристика и выход системы извсстпы, то для поиска нсизвестного входа применяется обращение свертки. Обратить свертку можно с помощью процедуры, подобной описанной в разделе 5.3.3 для идентификации системы. Расгтисьтвая и переупорядочивая уравнение (5.93), получаем 5.3. Описание свертки 323 Пример 5.9 Для системы, использованной в примере 5.8, вычислите вход х(п) по данным 6(п) (1:3;1;3; Ц ну(п) = (1;4;8;10;8;4;Ц.
Из уравнения (5.112) вычисляем: у(0) 1 (0) 6(0) 1 Из уравнения (5.113) получаем: — 6(1)ж(0) 4 — 3 х 1 6(0) 1 — 1 — 6(1)ж(1) — 6(2)т(0) 8 — 3 х 1 — 4 х 1 6(0) 1 :::= 1 — 6(1)т(2) — 6(2)ж(1) 10 — 3 х 1 — 4 х 1 — 3 х 1 — О. у(2) за) — ' у(3) 6(0) Для и > 3 х(тт) = О. Следовательно, т(тт) ..=- (1; 1; Ц, что согласуется со значениями, использованными в примере 5.8.
5.3.5. Слепое обращение свертки и(п) =,т ти(т)1 (и — тп), что можно записать в альтернативной матричной форме (5.114) Процесс определения входного сипила по выходному при неизвестной импульсной характеристике системы называется слепы обрии1вниюи свертки. Описанный ниже метод его выполнения основан на разработке Белла и Сежновски (2]. Задача и ее решение иллюстрируется на рис. 5.23. На рис. 5.23, а требуемый неизвестный исходный сигнал х(п,) передается через систему с импульсной характеристикой 6(п), в результате чего получается измеренный выходной сигнал ! (и).
Сигнал 5" (тт) представляет собой результат свертки 6(п) с ж(п) (6(п) ® х(п)), следовательно, искажается запаздывающей копией т(п). В задаче требуется вычислить сигнал и(п), являющийся хорошей аппроксимацией х(п). Следовательно, как показано на рис. 5.23, б, требуется причинный фильтр и~(тт), которой при свертке входного сигнала с 5"(и) даст необходимый выход и(п). В качестве такого фильтра можно использовать трансверсальный фильтр, изображенный на рис.
5.24 (сравните с рис. 1.4, а). Выход зтого фильтра равен 324 Глава 5. Корреляция и свертка Сметена Пв) Вбй ))а) — В)а) З цы а) 1)а) б) Рнс. 5.23. Слепое обращение сварное Рнс. 5.24. Трансверсальный фильтр ю)о) ллв слепой свертки где 1) =- (и10), и(1)...., и)ге') )т, ю(1) 0 . 0 .
0 ю(А — 1) ю(Т,) . О О ю(1) ю(2) ю(Л) .. 0 ю11) ° ° ю(ь) Р = (,) (О), 1 (1),..., 1 '1)т')) ', 11) — чиСлО ЭлсмснтОв вО врсмЕннпм рядЕ, В работе 12) использовался принцип максимизации информации, на основе которого выводился алгоритм адаптивного вычисления весовых коэффициентов т\). Следовательно, авторы проводили настройку, снижая статистическую корреляцию между точками и())). Этот подход известен как отбеливание и(п)„поскольку выборки в последовательности белого шума статистически независимы.
Чтобы достичь этого, необходимо устранить статистические корреляции высоких порядков. Для этого и(т)) подается в систему с нелинейной передаточной функцией д)и()т)) и максимизируется инфор- 5.3. Описание свертки 325 мация на выходе системы у(п) =- д(и(п)~. Обновление коэффициентов происходит по следующим формулам: 1 Лщ(Л вЂ” 7) сс ~~~ ( — 2х(п)у(п)) щ(Ь) (5.115) Лш(Ь вЂ” Я сс ~ ( — 2х(п — 1)д(п)). (5.116) Алгоритм продолжает выполняться, пока Ьи (7.) и Лш(Ь вЂ” Я не станет малым. Затем с использованием найденных весовых коэффициентов задержек и данных, подлежащих обработке, реализуется соответствующий филыр. 5.3.6.
Быстрая линейная свертка В разделе 5.2.3, было показано, что вычисление свертки можно ускорить с помощью теоремы о корреляции. Существует также подобная теорема о свертке. Итак, используя дискретную терминологию и временную обласгхь можно записать х1 (1) ® хя(г) -- Гп1 (Х1 (А )Хз ((с)~ ° (5.117) 5.3.6.1.
Доказательство теоремы о свертке Доказательство данной теоремы практически идентично доказательству теоремы о корреляции, приведенному в разделе 5.2.3. При свертке одна из послеловательностей данных обращена, так что вместо уравнения (5.65) применяется сопряженное: Х (~„) к~) ~, (() 12лнжк — м1 (5. К) ые при этом уравнение (5.66) остается без изменений: (5.119) Следовательно, повторно определив хз(и) как периодическую последовательность дли- ны Я с ДПФ-образом Хз(1), Хз((с) можно записать как (5.120) Уравнение (5.117) является формулировкой теоремы о свертке, где Г,,' обозначает обратное дискретное преобразование Фурье, Х, ® — ДПФ-образ х, (1), Х, ((к) — ДПФ- образ х;(г). Как и в разделе 5.2.3, х,(() и х,(г) — периодические последовательности длины Ж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
