Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Ширина полосы сигнала равна 10 — ! 9 (Гц). Значит; принята этгсргия 10 х 9 = 90 (Дж). 5.5.2. Свертка 5.5.2А. БИХ- и КИХ-фильтры Работа трансвсрсальных фильтров (КИХ- и БИХ-) является хорошим практическим примером свертки [5, 13). Эти фнлыры можтю спроектировать так, чтобы они выполняли свертку последовательностей или более общую цифровую фильтрацию, например, двумерную фильтрацию, используемую в сфере обработки изображений [б) с целью подавления шума, очистки изображений и распознавания шаблонов. Рассмотрим линейную независимую от времени систему, которую можно описать следующим образом: р(п) = ~~> акр(п — гс) ~. ~г Бьх(п — Й), (5.126) я:..о 345 5.5.
Примеры применения х)п-1 х)п — П л)п — 2 х!и) Пп) )тп) Ьпл!п) с Ь,х)п — 1) Ьгл)п) и Ь,л!и — ! ) -'; Ьлх)п — 2) Рис. 5.3К Представление нерсвурсивного фильтра в диаграммной форме гле р(г!) представляет выходную, а х(п) — входную последовательность. Видно, что выход зависит от текущего входа, а также от предыдущих входов и выходов. В приведенном соотношении аа и бв — действительные константы, 6! — порядок уравнения, который указывает, какое число предыдущих выходов нужно рассматривать. Поскольку текущий выход зависит от предыдущих выходов, система рекурсивна.
Если выход системы зависит только ог предыдущих входов, говорят, что система нерекурсивна, и ее можно описать следующим образом: (5.127) д(п) === ) бвх(п — Й) (данное уравнение описывает трансверсальный фильтр, или линию задержки с отводами). На рис. 5.38 показано описание системы, ог)ределясмой уравнением (5.127), в форме диаграммы. Члены суммы, представляющие выход системы, получаются путем суммирования задержанных и взвешенных значений входов. Предположим, что вход х(и)— это единичный импульс 6(п), гле 1, н — — О, т.с. х(О) .= ж(п) = б(п) О, и р' О, те. х(п р' 0) ==. О Соответствующий выход — импульсная характеристика 6(п).
Подставляя последовательные входные значения в уравнение (5.127), получаем у(0) = 6(0) = б,х(0) +Ь, х 0 = бо х 1 — бо, у(1) = 6(1) = 1)и х 0 ф б,х(0) ф б, х 0 = б, х 1 = б„ р(Ь) = Цй) = б, х 0 1- О+ 0+... + 0 + Ьь х 1 = бтл Следовательно, 6(т)) —. ~бо, бн, бь), (5. 128) откуда видно, что весовые коэффициенты на диаграмме системы соответствуют коэффициентам ее импульсной характеристики.
Подобные системы называются сбилыпрами с конечной шит)тесной характеристикой (КИХ-фильтрами). 346 Глава 5. Корреляция и свертка Рассмотрим теперь выход, соответствующий входной последовательности общего вида х(гг). Подставляя последовательные значения в уравнение (5.127), получаем у(п) =- Ьох(п) ~ Ь,х(п — 1) 1 ... ~- Ь„х(0) = (5.129) = 6(0)х(п) + Б(1)х(и — 1) +...
+ Ьг(тг) х(0), что, как и следовало ожидать, можно записать как свертку входа с выходом. Следовательно, КИХ-фильтры можно также рассматривать как конвольверы (устройства выполнения свертки), в которых весовые коэффициенты соотвстствугог коэффициентам их импульсной характеристики. Аналогичное соотношение существует и для БИХ-фильтров. Рассмотрим рекурсивный фильтр первого порядка, описываемый уравнением у(п) = агу(и — 1) + бох(п). Легко показать, что для единичного импульса на входе у(п) = 6(тг) = — Ьоа",, п ) О.
(5.130) (5.131) Для произвольной входной последовательности х(п), предполагая, что у( — 1) =- О, мож- но записать у(1) = а,бох(0) + Ь (1), У(2) = агбох(0) + агбох(1) + Ьох(2), у(гг) --: агбох(0) + а", 'Ьох(!) -1 ... 1 а,бох(гг — 1) + Ьох(гг)).
Подставляя известные значения весовых коэффициентов из уравнения (5.131), получаем у( ) = Ь( )х(О) б Ь( — 1)х(1) б ... + Ь(О)х(п). (5.132) 5.5.2.2. Сверточное кодирование Сверточные коды позволяют исправлять пакеты ошибок путем введения в код цифр контроля четности 113, 15]. Выходы триггеров регистра сдвига обеспечивают задержки и подаются в отводы, после чспг соответствующим образом объединяются с использованием сумматоров по модулю 2.
В результате получается несколько выходов, которые последовательно считываются в каждом такте (рис. 5.39). Система является причинной и нерекурсивной, производит выход, который зависит от ее предыдущих входов, и сворачивает новые входные данные со своей импульсной характеристикой. Из уравнений (5.131) и (5.132) следует, что БИХ-фильтр, соответствующий системе первого порядка, — это конвольвер, коэффипиенты импульсной характеристики которого равны 6(и) = Ьоа",.
КИХ-фильтры используют в обработке речи, для получения кодов РСМ со сниженной шириной полосы, в субполосных кодерах, для параметрического спектрального анализа и в вокодерах с линейным предсказанием 16). 347 5.6. Резюме Кодовое окова РВЕ. Гйэро СВЕртавемй КОдЕр 5.5.2.3. Обращение свертки Вход всех систем сворачивается с импульсной характеристикой системы и может искажать выход. Это происходит, например, в системах телекоммуникапий и может принуждать использовать эквалайзер — линейный фильтр, который по выходу восстанавливает исходный сигнал. Перед тем как разрабатывать подобный фильтр, необходимо определить импульсную характеристику системы (иденл1ифицировить спстгеиу).
Тема идентификации системы подробно рассмотрена в работе [11~. 5.5.2.4. Речь Тема анализа и кодирования речи в сферах взаимодействия человека с машиной и сжатия данных довольно интересна. Иногда при этом используется тот факт, что речевой сигнал можно смоделировать как свертку серии импульсов, представляющих осповныс тоны, активирующих импульсов и импульсной характеристики речевого тракта [121. Получающуюся тройную свертку можно легко обратить в форму, подходящую для линейной независимой от времени системы. Более подробно использование КИХ- фильтров в сфере обработки речи освещено в разделе 5.5.2.1.
5.6. Резюме В данной главе подробно рассмотрены темы корреляции и свертки, а также их взаимосвязь. В рамках темы корреляции изучены процедуры нормировки и подходы, позволяющие избежать краевых эффектов. Описаны эффекгы корреляции зашумленных сигналов и идентификация сигналов в шуме с помощью корреляции. Представлены техники быстрой корреляции и свертки, основанные на теоремах о корреляции и свертке и использовании БПФ, также показано, как получить линейную свертку. Вывсдены быстрые методы наложения-сложения и наложения-записи, позволяющие получать свертку болыпих последовательностей данных. Кроме того, описаны средства дальнейшего двукратного ускорения вычисления Лля действительных данных на основе использования действительной и мнимой частей БПФ, 348 Глава 5.
Корреляция и свертка Задачи 5.1. Две последовательности да!шых равной длины записаны по периодической серии импульсов, которая передана по зашумленному каналу. Мгновенные значения напряжения приведены в табл. 5.4. 1. Определите величину задержки между двумя записями и период сигнала. 2.
Определите периодический сигнал. Таблица 5.4. Мгновенные значения напряжения (вольт) двух разных записей состояния одного канала Запись ! Запись 2 5.2. Определите функции взаимной корреляции записей 1 и 2 (табл. 5.4) с учетом и без учета краевого эффекта. Оцените ошибки, возникшие вследствие краевого эффскга. 5.3. ь1ему равна корреляция (в процентах) между записями 1 и 2 (табл. 5.4) при нулевой задержке? Корреляция в процентах определяется как коэффициент корреляции, умноженный на 100с4.
5.4. В табл. 5.5 представлены зашумленные значения напряжения. Используя метод взаимной корреляции с шаблонным сигналом, определите точную форму присутствующего периодичсского сипшла. Проверьте результат с помощью другого метода. Таблица 5.5. Значения напряжения для зашумленного сигнала -7,99; 3,31; -8,59; -1,68; 3,01: 12,21; -2,'38; 7,46; 1.48; 1,1; -1,8; 5,48; 8,93; 0; -9,36; -10,11! 3,36: -4,86; 6,27 — 7,37; — 9,84; 1,61; 6,02 8,9:3 — 8,34 5,43 — 8. 73 1,69 5 55 — 0,78 1,88 4,23 — 3,7 6,62 9,67 — 65 0,74 7,25 — 9,87 — 5,98 — 7,20 9,22 — 9,88 3,50 4,64 — 0,06 — 8,24 7,27 — 0,92 2,99 5 — 2,64 — 8,55 3,64 — 3,87 2,93 — 3,62 7,92 — 0,82 — 2,65 — 1,!3 — 3,18 — 8,49 6,65 — 0,37 — 5,98 — 5,33 — 0,72 2. 08 — 3,08 — 8,!9 — 4,09 — 4,42 — 8,29 — 7,96 '3, 23 — 3,7 0,79 — 8,85 — 4,66 — 8,00 2,71 — 3,97 9,01 — 5,27 — 5 08 — 91 4,18 — 3,50 8.
03 — 8,21 — 0,78 1,44 9,5! 9,83 8,2! — 8,84 -9,2! 4,63 9,11 9,23 3,8! — 2,6 — 3 58 8,1! 6чп 3,61 — 7,04 349 Задачи 5.5. Рассчитайтс автокорреляционную функцию периодического сигнала из примера 5.4 а) численно, б) аналитически. Сравните решения между собой и с авто- корреляционной функцией зашумленного сигнала. Объясните отличия от предполагаемых результатов. 5.6. Цифровой сигнал выбирается и днскретизуется. Оцифрованные значения напряжения предс1авлсны в табл. 5.6.
Определите, можно ли считать сигнал случайным. Предполагая, что интервал дискретизации равен 1 мс, и присутствует периодический компонент с периодом 4 мс, оцените и изобразите периодический сигнал. Таблица 5.6. Оцифрованные значения напряжения 0,92; -3,71; 3,11; -0,24; 4,65, 0,84; -2,98; -3,94; -4,03; -2,51; 0,17; 3 85 2 58 0 38 4.58 3,4 -3 46 5.7. Сравните отношения сигнал-шум в следующих случаях: 1) зашумленный периодический сигнал — запись 1 в табл. 5.4; 2) автокоррсляционная функция записи 1 в табл. 5.4; 3) функция взаимной корреляции записей 1 и 2 в табл.
5.4. 5.8. Рассчитайтс теоретические отношения сипзюз-шум в предстащзенпых ниже задачах. 1. Периодический сигнал, полученный по данным записи 1 в табл. 5.4 путем нахождения взаимной корреляции с подходящей серией импульсов. 2. Автокорреляционная функция записи 1 в табл. 5.4, при условии, что, вопервых, отношение сигнал-шум 1:э7Х),е автокорреляционной функции зазпумленного синусоидального сигнала выражается так: Ф7')У). = 1 + 8,7 (ф) + 2,1 ® где Х вЂ” число данных, Я; — мощность сигнала, Х, — мощность шума, и что, во-вторых, отношение сигнал-шум 1'э/Я)3 взаимной корреляции зашумлсшюго синусоидальпого сигнала с серией импульсов, имеющей такой же период, что и сигнал, равно 5.9. Сравните результаты, полученные при решении задач 5.7 и 5.8.
5.10. Согласованный фильтр, используемый для детектирования постушгсния на приемник из зашумленного канала соогвегствующего сигнала, имеет импульсную характеристику 11, — 1, — 1, 1, 1, — 1, 1). В табл. 5.7 приведены значения выборок сигнала, представляющие элементы серии биполярных импульсов с амплитудами ~1, б В и шириной 1 мкс. Определите время поступления сигнала и значение константы согласованного фильтра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
