Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Связь между сверткой и корреляцией у(тз) — ~ 6(зтг)х(п — т) = 6(0)х(н) + 6(1)х(н — 1) + ... + 6(п)х(О). (5.123) из=О Значение функции взаимной корреляции для сигналов 6(тг) и х(н) для 1-й задерж- ки представлено в формуле (5.1), которая в несколько модифицированном виде выглядит гак: и-1 гь,(Я = — ~ 6(п)хЦ+ зг) = Х (5. 124) п=о —.
— (6(0)х(2) + 6(1)х(7' + 1) +... + 6(М вЂ” 1) х(7' + Х вЂ” 1)(, Х Сравнить д(п) и гл (Я проще всего, если 7 .== О, т.е. при нулевой задержке. В этом случае уравнение (5.124) приводится к такому виду: 1 и-1 7'лп(0) ..-' — )' 6(гт)х(гм) и' дт (5. 125) п=л 1 =- — [6(О)х(0) + 6(1)х(1) +... -1 6(Л' — 1)х(1У вЂ” 1)). Ю Сравнивая уравнения (5.123) и (5.125), находим, что они имеют сходную форму, за исключением того, что последовательность х(н) в функции взаимной корреляции идет в обратном норядке но сравнению с тем, как она идет в свертке. Следовательно, свертка эквивалентна функции взаимной корреляции двух сигналов, в которой одна из исходных последовательностей обращена во времени, а нормировочный коэффициент 17'Х равен единице. Это означает, что свертки и корреляции можно вычислять с помощью одной компьютерной программы, нросто обращая одну из последовательностей.
При свертке значение н-го выхода определяется сверточной суммой, представленной в формуле (5.93): 339 5.5. Примеры применения 5.4. Реализация корреляции и свертки При рассмотрении реализации указанных операций следует помнить, что они тесно связаны. Для двух последовательностей данных можно легко найти их корреляцию или свертку, причем вычисления будут отличаться только порядком одной последовательности. Более того, для более длинных последовательностей данных необходимые операции можно ускорить, используя методы быстрого преобразования Фурье, чтобы получить быструю корреляцию или быструю свертку. Если одна послсдовагелыюсть имеет чересчур большую длину, можно использовать методы наложения-сложения иди наложения-записи; см.
разделы 5.3.9 и 5.3.10 и работы (3, 5, 14]. Свертку или корреляцию можно выполнять, используя, например, КИХ-фильтр, реализуемый с помощью БПФ, а также применяя согласованный фильтр, как показано в разделе 5.2.2 (рис. 5.13). В сфере цифровой обработки для реализации трансверсальных фильтров может использоваться технология приборов с зарядовой связью (ПЗС). Это позволяе г получать линейную фазовую характеристику при скоростях передачи данных, превышающих 100 МГц при стандартных конфигурациях линий задержки [б]. Аналоговую обработку можно выполнять, реализован линии задержки с отводами, используя устройства с поверхностными акустическими волнами (ПАВ) (6]. Эти устройства работают в диапазоне от 2 МГц до 2 ГГц. Другие реализации можно получить ца основе конвольверов и корреляторов, универсальных цифровых процессоров сигналов, стандартных микропроцессоров и транспьютеров.
В качестве примеров последних можно привести системы реального времени для устранения окулярных артефактов из всех 16 каналов ЭКГ человека (8]. Время вычислений, необходимых для быстрой корреляции и свертки, можно дополнительно сократить в два раза (3]. Рассмотрим свертку х(п) и 6(гг). При вычислении Х(6) действительная часть БПФ заполняется четными членами х(п), а мнимая часть — нечетными, и длина БПФ вполовину сокращается. Далее действительная часть (1/Аг)Гп ' 1Х(Й) Н(Ус)] дает четные члены искомой сверткой, а мнимая часть — нечетные.
Аналогично свертку двух последовательностей данных гг(п) и хз(гг) с 6(п) можно вычислить одновременно. Запо.шим действительную часть БПФ элементами последовательности х,(п), а мнимую часть — элементами последовательности х,(н) и вычислим Х'(6), ДействительнаЯ часть (1гдг)Г, '[Х'(6) П(6)] Равна хг (и) ® 6(п), а мнимаЯ часть — тг(п) ггэ 6(п). 5.5. Примеры применения 5.5.1. Коррепяция Пример 5.12 Данный упрощенный пример касается применения теории корреляции для управления положением в пространстве космического аппарата, чтобы солнечная батарея всегда была обращена к солнцу. Ошибки определения положения представлены как 340 Глана 5. Корреляция и свертка и е к .И га а! л к е — а б) Рнс.
5.34. Контроль за положением кослгического аппарата: а) сигнал ошибки, б) конлрольный сигнал многоуровневые импульсы с разрешением уровней а = 0,2 мВ, ширина импульса Т, =: 1 мкс. Изначально контроль за ошибкой положения космического аппарата при наличии 1юложительной ошибки выполняется путем передачи последовательности отрицательных импульсов высоты а.
Система контроля считается удовлетворительной только в том случае, если коэффициент корреляции между ошибкой и контрольными сигналами меньше — 0,5. На рис. 5.34. а показаны три импульса ошибки, а на рис. 5.34, б — соотвстствуюшие импульсы контрольного сипила. В данном примере предполагается, что этих импульсов достаточно и что рассматривать задержку,превышающую т„не нужно. Таким образом задача состоит в том, чтобы определитгп можно ли рассматривать систему как удовлетворительную.
Можно доказать, что ггл(т) ) О, 5 для 0 < т ( Т,. Взаимную корреляцию можно найти, сместив контрольный сигнал вправо, не меняя при этом сигнал ошибки. Это означает, что требуется найти и„( — т). Итак, гга( — т) =- е~(е)ил(! — т)йт, где пг ® — сигнал ошибки, пл(!) — когпрольный сигнал, т, лт, зт. 1 Г, 1 1 тш( — т) =- / За( — а)Й+ / 5а( — а)г!Е+ / 4а( — а)Й зт,/ зт, / зт, / 7; лт, л .(( — Зь)~' + ( — 5!)~ ' + ( — 4!),~') .-- Зта 2 ( — ЗТ, + Зт — 10Т, + 5Тб — 12Т, + 8Т,) =- ал зт, ( — 1.2Т„+ Зт).
341 5.5. Примеры применения Здесь ггг(т) нормировано (принадлежит диапазону — 1 < г гг(г) < 1) путем деления на слсдующий нормировочный коэффициент: ,г1 ° ~, нг1 ) 1 Теперь са т, гт, зг е,Яг11 = (За) ЙЬ+ (5а)"1+ (4а) Йг =- г о т, гг = а'-(~91)о' + )2511г + 116~)г~:,')— -:= а" (УТ, + 25Т, + 16Т,) .=: 50а Т,. Кроме того, оо зт. Г пг(1)гЫ = ( — а) сИ = а ф,г ' — За Т,.
Следовательно, нормировочный коэффициент равен ЗТ, ' ' ЗТ, ~ЯОааТДЗа~Т,))~гг -. 150~г агТ„ и нормированное выражение для гЯ вЂ” т) приводится к такому виду: Зт — 12Т. Зт 12 15017гТ 12 гбТ 12 25 г~Д вЂ” т) = О, 245 х И)~т — О, 98. При т = 0 г ~, (0) =.=- — О, 98. При т:== ! мкс (наибольшее разрешенное значение) гхг(10 е) " 0 735. Следовательно, в рассматриваемом диапазоне ~г~ ( — т) ~ ) ~0, 5~, что согласуется с кри- терием хорошего контроля за положением космического аппарата. 342 Глава 5. Корреляция и свертка Пример 5.13 Для определения расстояния до источника звука лрсбуется гидроакустический комплекс.
Источник широкополосный и гауссов с нулевым средним. Система состоит из двух гидроакустических преобразователей (датчиков), разнесенных на расстояние д, и соответствующей системы обработки сигналов. Датчики Тл и Тл принимают широкополосные шумы 171(1) и 172(1) = А111 (1+ Л1) соответственно, Л1 — временная задержка, порожденная разным расстоянием от датчиков до источника, А — соответствующий коэффициент затухания (в данном случае предполагается, что А .==- 1). Система обработки сигналов вычисляет корреляционную функцию выходов двух датчиков, имеющих равныс длины.
Изобразите и соответствующим образом подпишите блок-схему простой системы, разработанной для получения корреляции в кратчайшие возможные сроки, н объясните принципы, на коп1рых оп основан. Изобразите выходные сигналы датчиков и их функцию взаимной корреляции, отметив важные особенности. Если максимальное значение функции взаимной корреляпии равно 10, а ширина полосы приемника — 1 — 10 Гц, чему равна принятая эпергия7 Решение Блок-схема системы изображена на рис. 5.35. Данная система ускоряет вычисление корреляции путем использования теоремы о корреляции и расчета соответствуюпЛих БПФ.
Такая реализация будет быстрее прямого расчета корреляции, если число точек данных в последовательностях превышает 138. Таким образом, система вычисляет т,г(т), которое выражается так; 112(2) ) лг (~ 1( 1)) 2( Й)). Выход системы Г12(1) равен Х -1 тлгО) = — ,'1 д1 (п)Аул(п, + Ьп + Я. 1"1' Поскольку дл(п) и 172(п) случайные, система даст существенный выход только ппда, когда сигналы так смещены, что идут почти в фазе. Это происходит при 2' =- — Ьп.
В этом случае выход системы равен М.-1 — ~ д,(п) = рлл;, средней мощности .-о Сигналы и их функция взаимной корреляции изображены на рис. 5.36 и 5.37. Взаимная корреляция двух сигналов равна 1 тлг(т) = — / дл(1)дг(1+ т~ЙЕ. т / Г72 344 Глава 5. Корреляция и свертка ПодставлЯЯ выРажснис длЯ г1г(1), полУчасм г/г 1 гтг(т)::.= — / дг(1)Адг(1+ гд1+ т)г11, — тдг что можно записать следующим образом: т/г гтг(г) = — дг(1)дт(1+ т')г(1, где г' = — Ьз 4 г, Т,/ — г,гг Видно, что подынтсгральнос выражение эквивалентно по величине авткоррсляпионной функции дг® при нулевой задержкс и, следовательно, представляет мощность этого сигнала Рят;.
Значит, тгг(т) .:. А Рано(т + гзг), где б представляет дельта-функцию. Видно, что амплитуда ггг(т) равна АРдн. Следо- ватслыю, АРин = 10. Принятую энергию в требуемой полосе можно получтГпь, применив вначале для тюлучсния спектральной плотности энергии теорему Винера — Хинчина (%г(спсг — КЫпгсЫпс). Теорема формулируется следующим образом: Сн(1 ): Еп[ггг~(г)1 Следовательно, [Сь ((') [::::: АРп< ==. 10 Дж Гц '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
