Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Решение В этом примере функция Н(«) имеет единственный полюс и единственный нуль, как показано на диаграмме нулей и полюсов на рис. 4,10, а. Согласно уравнению (4.44) характеристика при частоте ы задается как У~0 е 'т+ 1 1+ соз(ьгТ) + тз1п(огТ) 1'сф е""т — О, 7071 соз(гоТ) — О, 7071 + т ап(гоТ) На постоянной составляющей сгТ = О, а векторы полюсов и нулей до точки « = 0 равны 2«'.О' и О, 2929«'.О'.
Следовательно, частотная характеристика задается как Н(е-') = 2/0,2929 = 6,828ЛО'. При ог = нг,/8 шТ = го,/8Г, = я/4. Векторы полюсов и нулей в этом случае показаны на рис. 4.10, б. Далее воспользуемся не действительными измерениями углов и длин векторов, а явным выражением из правой части уравнения (4.46). Таким образом, 1 + соа(я/4) + т гйп(я/4) соз(я/4) — О, 7071 + т сйп(я/4) = 2, 61311 — 67, 5'. 1, 8477с22, 5' О, 7071с 90' Ниже приведены характеристики при остальных частотах, полученные аналогичным образом, а соответствующие векторы даны на рис.
4.10, е — д. Глава 4. Применение г-преобразования в обработке сигналов 2за и у=в и му=о б) от к Рис. 4ЛВ. Оценка чаеготиой характеристики с помощью геометрического метода и диаграмма нулей и полюсои цг (в рад/с) огТ (в рад) 1Н(е )1 к'.Н(е' ) (в градусах) 0 и./4 а/2 Зя/4 Схематическое изображение амплитудной и фазовой характеристики показано на рис. 4.11. Следует отметить один важный момент — амплитудная характеристика 1Н(е' т)( симметрична относительно половины частоты дискретизации (частоты Найк- виста), а фазовая характеристика антисимметрична относительно этой же частоты. Это всегда так, когда коэффициенты аа и Ьа системы дискретного времени действительные.
Более того, частотная характеристика таких систем периодична с периодом цг, (частота дискретизации). Отметим, что такое поведение согласуется с теоремой о дискретном представлении. '~-,,",,4.о.4,:: Непосредственный компьютерный расчет частотной характеристики Геометрический расчет частотной характеристики дает нам представление о частотной характеристике, но понятно, что он может оказаться очень трудоемким, если нужно знать точную характеристику на многих частотах. Несмотря на то что этот процесс 0 цг,/8 ы,/4 Зы,/8 цг,/2 6, 828 2,6131 1, 1547 О, 4840 0 0 — 67,5 — 80, 26 -85, 93 0 239 4.б. Некоторые области применения г-преобразования в обработке сигналов ве Слгс'"'1 Е -100 Рис. 4.11.
Схематическое изебражение частотной характеристики си- стемы дискретного времени из примера 4.11 можно автоматизировать, его пригодность ограничивает сложность определения положения полюсов и нулей, Если необходимо знать полную частотную характеристику, как правило, в передаточную функцию непосредственно подставляют значение з = е т и вычисляют получающееся в результате этого выражение: Ье+Ьтх 1+...+Ьхе ао+ азз '+...
+ амз аг,,з т (4.47) Ь +Ь и-' т+ .1 Ьме-'гг"т во+ азе ' т+... + аме 'и"'т (4.48) Ье + Ь,(сов(шТ) — з в1п(11ГгоТ)) +... + Ьгг(сов(ХогТ) — т взп(изТ)) ао + а,(соз( Т) — т взп(гыТ)) +... + ом(сов(МозТ) — т впт(МигТ)) Реализация уравнения (4.48) на языке С обсуждается в приложении 4Б.
Программа вычисляет Н(еа т )! на отрезке (О < иг < иг,/2). В приложении 4Г описано использование программного пакета МАТЬАВ с примерами вычисления частотной характеристики. Глава 4. Применение г-преобразования е обработке сигналов 240 4.6.5:з Вычисление частотной характеристики с помощью БПФ Для оценки частотной характеристики систем дискретного времени также можно использовать БПФ. Для БИХ-систем это делается следующим образом; сперва находится импульсная характеристика системы, например, методом разложения в степенной ряд, а затем вычисляется БПФ импульсной характеристики, Такая последовательность действий связана непосредственно с уравнением (4.42, б), которое показывает, что частотная характеристика системы дискретного времени — это просто Фурье-образ ее импульсной характеристики.
Чтобы частотная характеристика получилась гладкой, прежде, чем искать БПФ, важно взять достаточное количество значений импульсной характеристики и/или дополнить значения импульсной характеристики нулями. Реализации этого алгоритма на языке С и в программном пакете МАТЬАВ обсуждаются в приложениях к данной главе.
Альтернативный метод — вначале дополнить нулями числитель и знаменатель, например, (Ь(п)) = (Ьс,Ь„Ьз,...,Ьм,0,0,...,0), (а(н) ) = (ао, а„аз,, ал, О, О,..., О), (4.49) а затем найти БПФ последовательностей (Ь(н)) и (а(п)), А(и) и В(й) соответственно. Отношение этих двух БПФ и даст частотную характеристику: Н(е' т) А(Ь)/В(Ь) Ь 0 1 Аг/2 (4.50) 4.5.6. Единицы измерения частоты, которые используются в системах дискретного времени Системы или сигналы непрерывного времени, как правило, описываются с помощью преобразования Лапласа. Следовательно, частотная характеристика системы непрерывного времени традиционно оценивается путем подстановки з = и в передаточную функцию системы Н(з), где з — комплексная переменная Лапласа, В ЦОС мы имеем дело с системами и сигналами дискретного времени.
В этом случае частотную характеристику ищут путем подстановки з = е™т и последующего вычисления функции г-преобразования Н(з) на отрезке 0 < ы < ог,/2. Здесь стоит остановиться на ключевом моменте систем дискретного времени — зависимости эффективного интервала частот от частоты дискретизации ы,, В табл. 4.3 показано, как изменяются ыТ и з при изменении ы ог 0 до ы,. Можно показать, что если угол ыТ пробегает значения от 0 до 2я, то значение з изменяется от 1 до т и обратно до 1. Эту информацию в графическом виде можно найти на рис.
4.12. Из рисунка также очевидно, что частотная характеристика системы дискретного времени цикзична: если пройти полный круг один или несколько раз, то значения з будут просто повторяться. Как правило, для описания частотной характеристики систем дискретного времени пользуются двумя единицами измерения частоты — ы (рагггс) и ) (Гц). Если частота измеряется в рад/с, частотная характеристика пробегает значения от ы = 0 до ы = 4,0. Некоторые области применения г-преобразования в обработке сигналов 241 Таблица 4.3. Единицы частоты, которые используютсд в системах дискретного времени, и их сввзь с точками иа единичной окружности з — е* т / (Ги) ыТ (род) т", = 1/Т вЂ” частота дискретизации в Гц; Т вЂ” период дискретизации, и, = 2п/Т вЂ” частота дискретизации в рад/с.
оз,/2 или, что эквивалентно, от оз = О до оз = п/Т (поскольку ю, = 2пт', = 2п/Т). Если пользоваться стандартной единицей измерения частоты, которая выражается в герцах, частотный диапазон будет от О до зс',/2, или от О до 1/2Т. Обе эти единицы измерения частоты можно записать в нормированном виде, т.е. при Т = 1 или, что эквивалентно, т', = 1. Взаимосвязь между этими двумя единицами измерения частоты показана в табл. 4.3. Следовательно, представляющие интерес частотные интервалы можно выразить одним из шести следующих эквивалентных способов: 0<ы<ы,/2 О Е ьз < и/Т О < ьз < и (4.51) О < / < т,/2 0</<1/2Т 0 < / < 1/2 (4.52) Рис. 4.12.
Едквичназ окружность з-пвоеюсти, на ю- торой показаны критические точки частоты 0 зК А тйа а р. в 4 з в з з а в з з з ьз 4 з з; 4 зт 3 4 з з т 4 2п (рак/с) (радус) (нормированный) (Гц) (Гц) (нормированный) 1 ~а+ ~з — — + — 3 /2 па з з -1 1 Глава 4. Применение жпреобразования в обработке сигналов 242 Измерение частоты в герцах больше привлекает (и меньше запутывает), если пользоваться графиками частотной характеристики или спецификацией системы дискретного времени. Однако при оценке численных математических формул в ЦОС удобнее пользоваться величинами, выраженными в рад/с.
Пример 4.12 Дано описание частотной характеристики полосового фильтра дискретного времени в виде полоса пропускания 6-10 кГц, пблосы подавления 0-4 и 12 — 16 кГц, частота дискретизации 32 кГц. А. Выразите спецификацию через нормированную частоту 1. Б. Переведите спецификацию из стандартных единиц (Гц) в рад/с. В. Переведите спецификацию из рад/с (п. Б) в нормированную частоту ы, Решение 1. Граничные частоты, которые измеряются в Гц, можно записать в нормированном виде, просто разделив каждую из них на частоту дискретизации. Таким образом, спецификация в нормированном виде будет выглядеть так: полоса пропускания 0,1875-0,3125, полосы подавления 0-0,125 и 0,375-0,5, частота дискретизации !.
2. Поскольку ы = 2я /, для того, чтобы перейти к рад/с, каждая граничная частота просто умножается на 2к. Теперь спецификация частотной характеристики будет следующей: полоса пропускания 12000к-20000я рад/с, полосы подавления 0-8000я и 24000к — 32000я рад/с, частота дискретизации 84000к рад/с. 3. Граничные частоты из п. Б можно записать в нормированном виде, разделив каждую из них на 32 кГц (частоту дискретизации), например, 12000я Зк 12000я— 32000 8 Таким образом, спецификация приводится к виду; полоса пропускания Зя,/8-5я/8, полосы подавления 0-4 я и Зк/4 — я, частота дискретизации 2я. 4ЬЛ.
Исследование устойчивости Зачастую для разработки систем дискретного времени необходим анализ устойчивости. Полезный достаточный критерий устойчивости ЛИВ-систем можно сформулировать так: все ограниченные входные сигналы должны давать ограниченные выходные О.б. Некаторыв области применения г-преобрвлоавния в обработке сигналов 243 а 0,5 а -099 а 1,5 а=! о,аею -оо 1, авххи 401 5,00000е+00 2,50000сьОО 1,29)ООс+00 6,25000с.а) 3,12500е-а) 1,56250с-а) 7,В)250с-02 ЗДМЭЯ -Оз О,ОООО!М4ОО ),ооаю о! 9,90000ссаа 9,6010М400 9,70299ссаа 9,60596с+ОО 9,9)990есоо 9,4!4ВОссоо 9,32065с+ОО 9,22745есоо о,ооаю ню ),ааааа 401 ),ааааа нп ),ооию +о! ЬЮООО 401 цюооа м ),ааааа о! ),ааакмьа) ),аюви+о! ),ааааа +о! о,аоаю +ао ),ооаю +о! 1,50000е+01 2,25адмеа) 3,27500м-а! 5,06250сса) 7,59375с+О1 ЭДЗН)ос+02 1,70659еь02 2,562соссаз 6) Рис.
4.13. Иллюьтраииа поведения импульсной характеристики системы при различных с!еленах устойчивости: е — импульсная хараатериатика; б — диврамма нулей и попиков в е-плосизсгн; собрав системы равен 10с Э/(1 — ае !). !. При а = 0,5 система устойчива.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
