Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Не удивительно, что область сходимости определяется свойствами х(л), или (эквивалентно) свойствами Х(д), что иллюстрируется ниже на примерах. При)иьейг 4Л Найдите х-преобразование и область сходимости всех последовательностей дискретного времени, приведенных на рис. 4.1. 1. Последовательность на рис. 4.1, а непричинна, поскольку х(л) не равно нулю при л < О, но она имеет конечную длину Значения последовательности х( — 6) = О, 2ЗЗ 4.2. г-преобразование х( — 5) = 1, х( — 4) = 3, х( — 3) = 5, х( — 2) = 3, х( — 1) = 1 и х(0) = О.
Согласно уравнению (4.6) г-преобразование задается как Х1(г) = ~~~ х(п)х "= зз + Зх4 + 5зз + Зхз + г Несложно доказать, что значение Х(х) становится равным бесконечности при г = оо. Следовательно, областью сходимости будет вся плоскость х, кроме г = ~ю. 2. Последовательность на рис. 4.1, б также непричинна. Она двусторонняя и имеет конечную длину. Значения последовательности х( — 3) = О, х( — 2) = 1, х( — 1) = 3, х(0) = 5, х(1) = 3, х(2) = 1 и х(3) = О.
Согласно уравнению (4.6) х-преобразование задается как Хз(х) = ~~~ х(п)е = 2 +За+5+За '+ г Очевидно, что значение Х(г) равно бесконечности при г = 0 илн г = оо. Следовательно, в область сходимостн не входят только точки х = 0 и х = оо. 3. На рис. 4.1, е представлена причинная последовательность конечной длины со значениями х(0) = О, х(1) = 1, х(2) = 3, х(3) = 5, х(4) = 3, х(5) = 1 и х(6) = О. Ее г-преобразование задается как Хз(2) = ~> х(п)г г-1 + Зх-в + 5г — з + Зх — 4 + г-з В этом случае Х(п) = со при з = О. Следовательно, в область сходимости не входит только точка г = О. 4.
Изображенная на рис. 4.1, г дискретная во времени последовательность математически определяется как ( =1 0<пйсо ( =о в<о Понятно, что это причинная последовательность бесконечной длины. Согласно урав- нению (4.6) г-преобразование этой последовательности задается как Х(г) = ~ ~х(п)г г =1+а +г + л=е Глава 4, Применение г-преобразования и обработке сигналов и хю Рис.
4.2. Область схопимости сигиапоа гпримср 4.1, п. 4) Это геометрическая прогрессия с общим знаменателем и '. Прогрессия сходится, если ~п ') < 1 или, что эквивалентно, если ф > 1. Таким образом, Х(п) можно выразить в аналитичесюм виде, предположив, что ф > 1: Х(п) = 1+2 '+ и 2+... = 1/(1 — и ') = и/(и — 1). (4.8) В этом случае г-преобразование действительно везде за пределами круга единичного радиуса с центром в начале координат (область сходимости; см.
рис. 4,2). Можно легко доказать, что если (и! > 1 Х(п) сходится, а при (и( < 1 Х(п) расходится. Например, если и = 2 (за пределами единичного круга), то прогрессия из правой части уравнения (4.8) при сложении даст 2: Х(п) = 1 + 1/2 + (1/2) + (1/2)з +... = 2/(2 — 1) = 2, поскольку очевидно, что зто геометрическая прогрессия с общим знаменателем 1/2 и первым членом 1, сумма членов юторой равна 2/(2 — 1) = 2. С другой стороны, если и = 1/2 (внутри единичного круга), прогрессия уравнения (4.8) приобретает таюй вид: Х(п) = 1+ 1/О, 5 + (1/О, 5)2 + (1/О, 5) +... = 1 + 2+ 4+ 8+..., и видно, что она расходится. На рис. 4.2 видно, что область сходимости (заштрихована) ограничена окружностью ~п! = 1, радиус которой равен значению полюса функции Х(п).
Значения и, для которых Х(п) = оо, называются полюсамн функции Х(п). Значения и, для которых Х(п) = О, называются пулями функции Х(п). 2ЗЗ 4.2. «-преобразование Из вышеприведенных примеров можно сделать вывод о том, что для причинных последовательностей конечной длины «-преобразование сходится везде, кроме точки « = О. Для причинных последовательностей бесконечной длины «-преобразование сходится везде за пределами наибольшего круга, ограниченного радиусом, равным полюсу функции.
Область сходимости устойчивых причинных систем всегда представляет собой круг единичного радиуса (это очень важно, поскольку позволяет описывать системы их частотными характеристиками). В обычных последовательностях «-преобразования часто приводятся в аналитическом виде, например, в виде таблиц, таких как табл. 4.1. Подобные таблицы полезны также при поиске обратною «-преобразования. Таблица 4.1. Примеры «-образов некоторых распространенных последовательностей Здесь Ь и а — постоянные, с — комплексное число. Глава 4. Применение г-преобразования в обработке сигналов 214 4.3.
Обраатное,:г-.'преобрааоатание ';..= - -'::,;::-;-='= -::.=:--:— :.':::,:'-::=: '::;-"=.:-,:-,='::::::;;:-.:-." Обратное г-преобразование (г ') позволяет восстанавливать последовательность дискретного времени х(л) по ее г-образу.
г ' особенно полезно в операциях ЦОС, например, при поиске импульсной характеристики цифровых фильтров. В символической форме обратное г-преобразование можно определить как х(п) = «з 'гХ(г)), (4.9) где Х(г) — зто г-образ последовательности х(п), а Е ' — символ, обозначающий обратное г-преобразование. Предположив, что последовательность причинна, г-образ Х(г) из уравнения (4.7) можно разложить в степенной ряд как Х(г) = ~~ х(л)г "= (4.10) «=0 = х(0) + х(1) г ' + х(2) г г + х(3) г з + Видно, что значения последовательности х(п) — это коэффициенты г " (и = О, 1,...), и поэтому их можно найти непосредственно. На практике Х(г) часто выражается через отношение двух многочленов от г ' или, что эквивалентно, от г; Ьс+ Ь,г '+Ь,г '+... + Ьггг ~ Х(г)— ос+ а,г '+ агг г+ ..
+ а„гг (4.1 1) В этом виде обратное г-преобразование х(п) можно найти с помощью одного из многих методов, например: а) метода разложения в степенной ряд; б) метода разложены на элементарные дроби; в) метода вычетов. У каждого метода есть свои преимущества и недостатки. С точки зрения математической строгости метод вычетов, возможно, самый элегантный. Однако метод степенных рядов лучше всего подходит для компьютерных расчетов.
В следующих разделах с помощью численных примеров, иллюстрирующих принцип их действия, описаны все указанные методы. В приложении описывается ряд программ на языке С, которые применяются для оценки обратного г-преобразования для методов а и б. Приводятся иллюстративные численные примеры использования этих программ. 4.3. Обратное г-преобразование 215 41.3,1.'".- Метод степенных рядов Ьо + Ь,г ' + Ьгг г + ...
+ Ьь я ~ Х(з)— ао+а,г 3+ ага г+... +амг х(0) + х(1)з-г + х(2)г-г + х(3)г з + (4.12) В этом методе числитель и знаменатель функции Х(г) сперва выражаются либо через уменьшающийся показатель степени з, либо через увеличивающейся показатель сте- пени з ', а затем путем деления в столбик находится частное. Проиллюстрируем этот метод на примере. Пример 4.2 Дан следующий г-образ причинной ЛИВ-системы: 1+2г '+г ' 1 — г '+0,3561г ' Найдите его з ', разложив в степенной ряд путем деления в столбик.
Решение Вначале разложим Х(г) в степенной ряд с числителем и знаменателем в виде многочленов с увеличивающейся степенью з ', а затем выполним обычное деление в столбик. 1+2з '+ з г Я- ',-0 3561 1 — * ' 49 3561* 1 + Зг-3 + 3 6439г-г + 2 5756з-з + 3* ';.0,6439* Зз ' — Зг г+ 1 0633з 3 3 6439г-г 1 0663г-3 3 6439з-г 3 6439з-з + 1 2975927з 2 5756з-з 1 2975927з-0 Другой способ: выразить числитель и знаменатель через положительный показатель степени г в порядке уменьшения, а затем выполнить деление в столбик -т*-Я вЂ вЂ” ;-,: 33+1 а~+ 2з+1 96 3561 — *-.'-0 3561 1 + Зг-8 + 3 6439з-г + 2 5756з-з + 3*-;- О, 6439 3* — 34.1 0683 3, 6439 — 1, 0683 3 6439 — 3 64391з ' + 1 2975927~ ' 2,5756з ' — 1,2975927г ' Если дано з-преобразование Х(з) причинной последовательности (уравнение (3.! 1)). его можно разложить в бесконечный ряд относительно г ' или г путем деления в столбик (иногда его называнп синлгетическим делением): Глава 4.
Применение г-преобразования а обработке сигналов 216 В любом случае з-образ раскладывается в знакомый степенной ряд, т.е. Х(г) = 1 + Зх ~ + 3, 6439з з + 2, 5756з з +... Теперь можно непосредственно записать обратное з-преобразование: х(0) = 1;х(1) = 3;х(2) = 3, 6439;х(4) = 2, 5756;.. х(0) = Ь,/ас, х(1) = (Ьт — х(0)аг~/ас, х(2) = [Ьз — х(1)аг — х(О)аз)/ао, (4.13, а) е х(и) = ܄— ~ х(п — г)а, ао, и = 1,2, «=1 где х(0) = Ь,/ао.
Ниже данный пример повторяется для иллюстрации рекурсивного метода. (4.13, б) ЙримероФЛ,:. Рекурсивным способом найдите первые четыре члена обратного х-преобразования х(п). Пусть з-образ Х(з) таюй же, как и в примере 4.2, т.е. 1+2з т+» з 1 — з '+ 0,3561г з Решение Сравнив вышеприведенные юэффициеиты Х(з) с юэффициентами общего преобразования из уравнения (4.12), получим аз — — 1, а, = 2, аз =- 1, Ьз — — 1, Ьг — — — 1, Ьз — — О, 3561, АГ = М = 2 Метод деления в столбик можно сформулировать иначе (см. приложение 4А), так что значения последовательности х(и) будут получаться рекурсивно: 4.3.
Обратное г-преобразование 217 Из уравнений (4.13) получим: .т(0) = Ьо/ао — — 1, х(1) = [Ьт — х(0)ат[/ао = [2 — 1 х (-1)[ = 3, х(2) = [Ьз — х(1)ат — х(0)аз]/ае —— 1 — 3 х ( — 1) — 1 х О, 3561 = 3, 6439, х(3) = [Ьз — х(2)аг — х(1)аз + х(О)аз[ = 0 — х(2)ат — х(1)аз —— = 0 — 3, 6439 х ( — 1) — 3 х О, 3561 = 2, 5756. Следовательно, имеем первые четыре значения обратного г-преобразования: х(0) = 1;х(1) = 3;х(2) = 3,6439;х(4) = 2,5756.
Видно, что оба способа (рекурсивный и прямой) деления в столбик дают одинаковые решения. Рекурсию в формуле (4.13) несложно реализовать на компьютере, как показано в следующем фрагменте кода на языке С. х[0] В[0]/А(0]; тот(п 1;и<-про>нп)( зив 0; х и; 11(п>М) к м~ гог(1 1ю1< Аз++1)( зив зшп+х[п-).]*А(1]; ) х[п] (В[п]-зив)/А[0]> В этом коде М вЂ” порядок многочлена знаменателя, а пра — количество точек данных для з '. Предполагается, что в многочленах числителя и знаменателя степень х ' возрастает.
Программы на языке С, основанные на вышеприведенном коде, а также программы МАТЬАВ для оценки з ' даны в приложениях 4Б и 4Г соответственно. ) 4;::3~~$(г[ Метод разложения на элементарные дроби В этом методе х-преобразование вначале раскладывается на сумму простых дробей. Затем по таблицам, подобным табл. 4.[, находится обратное з-преобразование каждой элементарной дроби. Эти образы суммируются, и получается общее обратное з-преобразование. На практике во многих случаях г-преобразование задается как отношение многочленов по е или е ' и имеет уже знавэмый вид Ье+Ьгз т+Ьза з+...+Ььа ао + а,г-' + азз-з +... + амг™ = х(0) ++х(1)з ' + х(2)з ~+ х(3)з з+... Глава 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
