Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Решение уравнения (9,8) и структура системы фильтрации при этом упрощаются, Если выполняются перечисленные условия, а формирование сообщения описывается линейным дифференциалы>ым уравнением, то оптимальиу>о систему нелинейной фильтрации, как следует из (9.7), (9.8), можно представить в виде одпоконтуряой следящей системы, состоящей из дискриминатора (Дис) и линейного фильтра (Ф) (рис. 9.1). Дискримнпатор оптимальной системы выполняет нелинейное преобразование входного сигнала, в результате которого формируется напряжение ия(1), описываемое выражением () д0(х,0/ (9.11) ах 1ь=ь, ' где Х, — оценка информационного параметра сигнала.
Так как в> соотвстствин с (9.11) производная дЯ/д1, вычисляется в точке: Х=Х„к дискриминатору подводится также оценка Х„, Отметим;, что понятие дискриминатора в теории нелинейной фильтрации не- иг„й1 ид1Г1 дас сколько отличается от того, которое использовано при описании ти- Лз повой радиотехнической следящей системы в гл. 2.
Определяемый вы- Рис. У.! ра>кением (9.11) дискриминатор объединяет два элемента системы, показанной на рис. 2.28, — дискриминатор и генератор опорного сигнала. Фильтр Ф оптимальной системы (рис. 9.1) является в общем случае нестационарным. Он совпадает с оптимальным фильтром в контуре следящей системы, синтезируемым с помощью рассмотренной в гл. 8 теории оптимальной линейной фильтрации, если крутизну дискриминатора 5„и спектральную плотность шума нв выходе дискриминатора принять равными 5„= К,5>(а>) =5> (0) = К, (9.12) где К= — д'®дХ',; д>Я/дХ', — вторая производная функции Я(х„ /), усредненная на интервале Л/ и вычисленная при совпадении истинного значения информационного параметра сигнала н его оценки, В рассматриваемых условиях систему нелинейной фильтрации можно либо синтезировать целиком, используя уравнения (9.7), (9.8), либо синтезировать отдельно с помощью соотношения (9.11) дискриминатор, а затем найти входящий в систему оптимальный линейный фильтр.
Раздельный синтез дискриминатора и фильтра имеет определенное удобство. При изменении статистических характеристик сообщения дискриминатор оптимальной системы оста- 7» 196 ется неизменным н заново приходится искать только оптимальный линейный фильтр. В сложных случаях синтез этого фильтра целесообразно проводить методом пространства состояний. В более простых случаях, когда фильтр является стационарным н имеет невысокий порядок, его синтез можно выполнить с помощью соотношений (8.38), (8.3), не требующих марковского описания сообщения. Представление системы нелинейной фильтрации в виде еднокентурпой следящей системы, состоящей нз дискриминатора и фильтра, возможна и в случае, когда неиифсрмационные параметры сигнала веизвсстпы, пе флюктуируют бы. стро, и времи их кпррсляцив много меньше, чем время корреляции сообщения, Прн этом отличие ет предыдущего случая, когда неипформацновпые параметры палагались нзвестпымн, состоит в замене функцви Я(х, !) на функцию ()~(Л, (), опредсляемую соотношением ()~ (ла„, Л, !) и! = (п Р (нэх), г-ь и где Р (ичх) — функция правдапедебня, т, е, зависимость мнегемернай плот- Л носта вероятности реализации владаете процесса иьх(!), рассыатрнваемей па интервале времени а!ь ет величины Л.
Интервал бб выбирается значительно большим, чем время корреляции неинфермаципнных параметров, ие значительно меньшим, чем время корреляции информационного параметра сигнала. Функция правдоподобия Рь(и «) вычисляется путем усреднения функции правдепедебня, записанной для сигнала, все параметры которого, креме Л, известны точно. усреднение проводится пе всем возможным значениям неинфбрмацнониых параметров с учетам их априорной плотнасти вераятнастн.
Примеры апре. деления фуикпии правдапедпбия Рь(н„) при наличии быстрых амплитудных и фазавых флюктуаций сигнала описаны в [!6). В тех случаях, когда удается найти функцию правдоподобия Рь(нчх), отказ ет сценки быстра меняющихся иеинфермациеиных параметров сигнала приводит к значительному упрощению оптимальной системы нелинейной фильтрации без сннхгения точности фильтрации. 9.2.
Примеры синтеза радиотехнических следящих систем Рассмотрим несколько примеров применения теория оптимальной нелинейной фильтрации для синтеза радиотехнических следя,щих систем. Хотя применение этой теории позволило к настоятцему времени решить ряд достаточно сложных задач, для того чтобы избежать громоздких выкладок, остановимся на обсуждения сравнительно простых случаев. Пример 9.1. Система слежения за фазой радиосигнала. Рассмотрим случай, когда на входе системы действует напряжение и„(()=и,(!)+и (!)=()ссоз( с(+грс(!))+и ((), (9.13) где ер,(!) — фаза сигнала, являющаяся его информационным параметром, несущим сообщение; (т'„ш, — постоянные н известные амплитуда н средняя частота, являющиеся неннформацноннымн параметрами сигнала; и (!) — нормальный белый шум с функцией корреляции 0,5 Лей(т).
Синтезируем оптимальную следящую систему, выделяющую в УКаэаППЫХ УСЛОВИЯХ ПРОЦЕСС Фс(!) С МИНИМаЛЬНОй СРЕДНЕКВаДРа- Жб а (~р„) — — —, фсс д а (~рсс) 1 Тф д срсс Тф (9. 18) Функция Я(х, /) на основании (9.5) и (9.13) записывается в виде СС (Х„Г) = 1С (<Р„ /) =- — — (и„(1) — Ус СОЗ (Са, /+ ~Рс (/)))'. При этом ее производные, входящие в (9.16) н (9.17), равны д00Рсс 0= ' и„(1) Ц,З1П(Е,/+ д срсс Ус + асс) + — ' з)п 2 (са, /+ сасс), (9.19) /се = — — асс (/) (/с сов(сас/1+ ф.,)+ д лясс а'с + — ' соз 2 (са. /+ <рсс).
Как видно из (9.16), (9.17), в процессе формирования ф,с(/) и' 0(1) фУЯкции дЯ/д~Р„и дзЯ/дсР'сс подвеРгаютсЯ интегРиРова- 197 (9.20) тической погрешностью. Положим, что спектральная плотность 3(са) процесса ср,(/) описывается выражением 3 (сс) = 2 рос/(сас+ р'). (9. 14) В этом случае, как показано в примере 8.2, процесс ф,(/) является марковским и его формирование описывается уравнением " 'рс (') = ' р, (/) + (9.15) дС Тф ' Тф где Тф=!/1с; к1(/) — формирующий белый шум с двусторонней спектральной плотностью Яш (О) =2ос/1с. В рассматриваемой задаче единственный яеизвестный параметр сигнала ~р,(/) является одномерным марковским процессом.
Поэтому процесс х(/) в данной задаче скалярный и его единственная компояепта совпадает с срс(/), т. е. х(1) =срс(/). Для нахождения структуры и параметров оптимальной системы обратимся к общим уравнениям (9.7), (9.8). Для скалярного процесса х(/) = = ~рс (с) они принимают вид с( срсс/с(/ = а(~рс )+ О дЯ(ср„, 1)/дф„, (9. 16) с( О/д/ = 0~ 5 й/х+ 2 Р д с' (срсс)/д срсс+ 0' дс 1„'1 (срсс, /)/д срссс~ (9 17) где ф„— формируемая системой оценка фазы сигнала; О(/)— дисперсия ошибки фильтрации (слежения). Из сопоставления уравнения (9.15) с общим уравнением (9.2), описывающим формирование вектора х(/), следует, что в данной задаче нию, Вторые слагаемые в выражениях (9.19), (9.20) изменяются во времени с удноенной частотой сигнала.
Поэтому эффект их интегрироваяия за время М, при котором бгва»1, весьма мал и этими слагаемыми можно пренебречь. В результате соотношения (9.!9) и (9.20) принимают вид дЯ!д<р„= — — и,„(г) У,яп(в„.г+~р„), 2 (9.21) о д'Я/д ср'„= — и„(г) У,сов(в,г+ср„). (9.22) Уо Подставив соотношения (9.21), (9.22), (9.18) в (9.16), (9.17), получим следующую систему уравнений; 2и, " = — — %со — Р— 'и, (г) з)п(в,г+~рсо), (9.23) т„" Вг, игг д,2 и, 2 㻠— ' — Р' — ' и,„(г) соз (в, г+ ср„) — — .
(9.24) На рис. 9.2 показана схема синтезированной системы, описываемой уравнениями (9.23), (9.24). Верхняя часть ее представляет собой следящую систему (систему фазовой автоподстройки), в которой формируется оценка фазы сигнала. !1ижняя часть схемы слугкнт для определения дисперсии Р(г) ошибки выделения фазы ~р,(г). В зависимости от величины Р(г) изменяется коэффициент передачи одного из блоков и полоса пропускания системы фазовой автоподстройки. Работа синтезированной следящей системы осуществляется следующим образом., Входное напряжение и,„(г) поступает на два перемцо>кителя, в качестве которых используются фазовые детекторы. Оценка 9~СО(г) фазы сигнала, сформированная на выходе интеграто- 1!г, ра, подается на фаза- х -гирг, х и й1 9 й! вый модулятор (ФМ), на второй вход которого поступает опорное аа(од йд М" иаВ НаПряжЕНИЕ ян Вс(г) ° Полученное в резульх 'ы!" !'%) тате фазовой модуля- хзгг ции напряжение гг!l"п и гг рй! яп(всг+<рсо(1)1 пере- мно>кается с входным ВВ гЯ напряжением ивх(г)- Напряжение соз(в~!+ р .дг +<р„(г) 1 образуется сдвигом по фазе напряжения з!п1в,г+ср„(г)1 в фазовращателе (ФВ).
Оно используется для перемножения с входным напряжением в канале оценки дисперсии Р(г). Блок КВ в схеме на рис. 9,2 является квадратором. Для нормальной работы системы необходимо правильно установить начальные значения напряжений на выходах интеграторов. 198 Если значение напряжения на выходе интегратора в канале измерения фазы при 1=0 принимается равным нулю, то начальное значение дисперсии 0(1) ошибки фильтрации равно дисперсии о' процесса Ч~,(1). Оно и должно быть установлено в качестве начального значения напряжения на выходе интегратора в нижнем канале.
Прн большом отношении сигнал-шум система, показанная на рис. 9.2, для установившегося режима может быть существенно упрощена. Действительно, подставив в (9.22) выражение (9.13) для входного сигнала и отбросив слагаемое с удвоенной частотой сигнала, получим д'0 2 Ус!0с = — — ' ~ — ' соз (срс„— ~р,)+ч (1)~, (9. 25) д <рост тто ~ 2 где т(1) =и (1)соз(озс1+срсо). Так как при большом отношении сигнал-шум разность сосо — 9~с в установившемся режиме мала, то можно принять соэ ('Рсо — %с) Уравнение (9.24) при этом приобретает вид — = — — О+ и — Оо — '! — '+т(1) ~ .
(9 27) Ш Тф 2 2 ь2 На рис. 9.3 показана структурная схема системы, решающей уравнение (9.27). На ее входы поступают постоянные воздействия (7,/2, Л~и 12 и широкополосный шум т(1). В инерционном звене с постоянной времени Тф12 происходит эффективное подавление (9.26) Рис. У.З широкополосного шума. Поэтому при большом отношении сигнал-шум роль напряжения т(1) в формировании процесса 0(1) по сравнению с постоянными воздействиями (7'с12 и 1т1,/2 мала и его для упрощения можно не учитывать. При этом в установившемся режиме дисперсия О=сопз1. Ее величина 17,с, при сделанных упрощеннях определяется вытекающим нз (9.27) уравнением 1.1 ист(7 с1Л~о+ 2 Отст1Тф й1и12 и равна Вост= И/!+2 Ь о' — 1)1Ь, (9.28) где Ь=Ю,Тф777о — отношение сигнал-шум; а'=й иТф74=8„,(0)72Тф — дисперсия фазы сигнала, создаваемая полезной модуляцией. Заметим, что отбрасывание шума т(1) соответствует усреднению 199 производной дзя/дф„ по времени, в результате которого она при учете (9.25), (9.26) оказывается равной а 9/Д р „= — и,/й/,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
