Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 41
Текст из файла (страница 41)
0 0 Е= ' ' ' Н= ., (8.66) — а„— а, — а„ йт Фильтруемый процесс Х(() при таком подходе является первой компонентой х~ (() векторного процесса х(г) и связан с ним соотношением Х(() =х, (() =схх (г), где сх — и-мерный вектор-строка вида с х =() 000... 0). Если в уравнении (8.59) коэффициенты Ьь Ьт,..., Ьм отличны от нуля, то представление сго в виде системы уравнений первого порядка с белыми шумами в правых частях усложняется, так как при замене перемевных (8.62) в последнем уравнении системы появляются производные белого шума. Один из способов, позволяющих избежать появления производных белого шума, описан в гл.
7. Еще один из таких способов состоит в следующем, Вводится новая переменная х,(1), связанная с Х(Г) соотношением ЛН) = Б(р) х,(1). (8.66) После подстановки (8.66) в уравнение (8.59) оно записывается в виде А(р) х (1) = йз н (1), (8.67) т. е. сводится к рассмотренному ранее случаю В(р) =1. Уравнение (8.67) может быть представлено в виде вскторного уравнения [8.64), где матрица Г н вектор-столбец Н по-прежвему определяются выражениями (8.65). Б отличие от предыдущего случая процесс Х(1) при рассматриваемом способе замены переменных выражается, как следует из (8.66), (8.62), через несколько комин. иент векторного процесса х(Г). Так, например, если Б (д) = 1 + р Тт, то Ь (О = х, (1) + Т, х, (О.
Связь между процессом ь(1) и л-мерным вектором х(1) устанавливается в данном случае выражением Х(1) =пах(1), где с — вектор-строка вида с х ь= =[1 7, о... 9). Еще один способ перехода от уравнения (8.59), в котором коэффициенты Ьь Ьь ..., Ь отличны от нуля, к системе уравнений первого порядка с воздействиями в виде белого шума описан в (20). Проведенное рассмотрение показывает, что для широкого круга задач фильтруемый процесс Х(() можно представить в виде отдельной компоненты или линейной комбинации нескольких компонент векторного марковского процесса. На практике возникают также задачи, в которых фильтруемый процесс (задающее воздействие) описывается дифференциальным уравнением' или системой дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. При синтезе сглаживающих цепей слож- 173 ных следящих систем, имеющих несколько чувствительных элементов, например измерители угла и угловой скорости, на входы оптимизпруемого фильтра поступают в смеси с шумом несколько компонент фильтруемого процесса илн фильтруемый процесс в смеси с различными помехами.
Чтобы охватить этн, а также другие возможные случаи, постановка задачи синтеза оптимального линейного фильтра методом пространства состояний формулируется следующим образом. Постановка задачи. Предполагается, что векторный процесс ь(1), описывающий фильтруемый процесс ),(1) в п-мерном пространстве состояний, удовлетворяет векторному дифференциальному уравнению (хда=р(1) х(1)+Н(1) х(1), (8.б8) где х(Г) — вектор-функция, содергкащая и компонент; Г(1) квадратная матрица размером пХп, зависящая в общем случае от временн; х(1) — вектор формирующих белых шумов, состоящий из 1 компонент; П(1) — матрица размером пХ1.
Корреляционная матрица шумов х(1) имеет внд й„(С О) = М (х (1) х' (О)) = 0 (1) б (1 — О), (8.б9) где ь)(Г) — квадратная матрица размером 1Х1; т — знак транспоннровапия. Как видно из (8.б9), шум х(1) в общем случае предполагается нестационарным. Процесс 1,(1) связан с вектором х(1) соотношением 7.(1) =схх(1), где сь — вектор-строка, содержащая п элементов. Синтезируемый фильтр в общем случае имеет несколько входов, на которые могут поступать в смеси с шумом процессы, являющиеся компонентамн вектора х(1). Совокупность процессов на т входах фильтров образует векторный наблюдаемый процесс г (1) = С (1) х (1) + п (г), (8,70) где г(1) — вектор-функция, состоящая из т элементов; С(г)— матрица размера тХп; п(1) — т-мерный вектор белых шумов (помех) с корреляционной матрицей К(1, О) =К(1) б(1 — 9), (8.71) где К(1) — пологкительно определенная квадратная матрица размером тХт„характеризующая интенсивность и взаимную корреляцию помех на входах фильтра.
Во многих случаях процесс г(1) скалярный и представляет собой аддитивную смесь фнльтруемого процесса 7,(1) и помехи, являющейся белым шумом. В этом случае С(1) — матрица размером 1Хп, т. е. вектор-строка, совпадающий с сх. Наблюдаемый процесс г(г) поступает на вход фильтра, начиная с момента 1=0. Процесс х(г) и помеха п(1) полагаются независимыми. Фильтр должен обеспечить выделение процесса Х(1) 174 с минимальной среднеквадратической ошибкой в любой момент времени ?~0, Уравнения оптимального фильтра. Уравнения, определяющие структуру и характеристики оптимального фильтра при рассматриваемой постановке задачи, могут быть получены различными способами [42, 45).
Так как вывод их оказывается весьма громоздким, ограничимся здесь обсуждением конечных результатов. Структура оптимального фильтра описывается векторным дифференциальным уравнением >>х,~й= Г(~) х,(~)+ К,(~) [г(~) — С(~) х,(~)), (8.72) где х,(1) — векторный процесс на выходе оптимального фильтра, воспроизводящий с некоторой ошибкой процесс х(1), начальное значение х„(0) процесса х,(1) принимается равным нулю; К,(1)— матрица переменных коэффициентов.
Входящая в уравнение (8,72) матрица К,(1) определяется выра>кением К ()) = 0 Р) С' К (~), (8.73) где К вЂ” '(>) — матрица, обратная матрице К(г); 0(1) — матрица дисперсий ошибок фильтрации, равная 0 (~) = М ([х ф — х, (~)) [х(1) — х„(1))' ), (8,74) Матрица 0(1) — квадратная, симметрическая, размером пХп. Ее элементами являются дисперсии к взаимные дисперсии ошибок фильтрации отдельных составляющих вектора х(~). Иногда 0(1) называют матрицей ковариаций. Изменение матрицы 0(1) во времени описывается следующим уравнением: >4 О/й = г (~) 0 ф + 0 ф г' (~) + Н (1) 0 (~) Н' (~) — 0 (1) С' (~) К >,(~) Х Х С(1) 0(1). (8.?5) Уравнение (8.75) является матричным нелинейным дифференциальным уравнением Риккати, Для его решения необходимо задать начальное значение матрицы дисперсий ошибок.
Так как в момент ~=0 процесс х,(0) на ныходе фильтра равен нулю, то, как видно из (8.74), матрица 0(0) равна матрице дисперсий компонент фильтруемого процесса х(1) в момент ~=0, т. е, 0(0) = =М(х(0)х'(0)). Значение этой матрицы при синтезе оптимального фильтра известно. Совокупность выражений (8.72), (8.73), (8.75) полностью определяет структуру и параметры оптимального фильтра. Обобщенная структурная схема такого фильтра, построенная по уравнению (8.72), изобра>кена на рис. 8.6. Двойными линиями на этом рисунке обозначены связи между векторными процессами. Оптимальная оценка 7,(~) процесса 7,(1) связана с вектором х,(С) соотношением >„(г) =с„х,(1), Синтезированный оптимальный фильтр, как видно из рис.
8.6, является следящей системой. Это весьма удобно для последующего отыскания оптимального фильтра, ко- 175 торый включается в контуре следящей системы на выходегдискриминатора. При решении конкретных задач уравнение (8.72) целесообразно представить в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка. По этой системе уравнений легко определяется, как показано ниже на примерах, структура оптимального фильтра. еймсни1 Рис.
В,б Один из возможных способов аналитического решения етого уравнения, являющегося нелинейным дифференциальным уравнением с матрицей размером луги, основан на замене его системой линейных дифференциальных уравнений, зквивалеитиых линейному матричному дифференциальному уравнению с матрицей размером 2л)ейл.
Указанный переход выполняется путем представления 0(1) в виде тх (т) = 0 (г) тз (8 (8.76) где т~(Г) н те[1) — л-мерные векторы, удовлетворяющие уравнениям о вз/Ж = Р вз + Н()Н вз, о ез/ог — С К . Сит — Р тз. Чтобы убедиться в справедливости выполняемого (8.77), учитывая (8.76), в виде 0 (Г) вз (1) + 0 (1) вз (1) = Г0 (1) тз (Г) + Н()ит вз (1) .
(8,79) Заменив тз(Г) в (8.79), в соответствии с (8.78) получим (0(1) — Р0(Г) — 0(1) Г~ + 0 (1) С К С0 (Г) — Н()Н~) чз (Г) = О. (ВВО) При выполнении уравнения Риккати уравнение (8.80) удовлетворяется тождественно, что и доказывает правомерность представления (8.80). Выразим мат- 176 (8.77) (8.78) перехода, представим Решение уравнения (8.75) позволяет не только найти с помощью соотношения (8.73) матрицу К, (1) переменных коэффициентов оптимального фильтра, но и определить точность фильтрации, характеризуемую матрицей 0(1). Заметим, что задача синтеза оптимального фильтра может быть сформулирована и решена в более общем, чем это описано выше, случае, а именно, при действии на входах фильтра коррелированных помех, а также при наличии корреляции между этими помехами и формирующими шумами и(().
Соответствуюпцге уравнения оптимальных фильтров приведены в [45). Решение уравнений Риккати. Наиболее сложным этапом синтеза оптимальных фильтров рассматриваемым методом является решение уравнения Риккати (8.75), Как правило, оно требует применения ЭВМ. рицу дисперсией В(!) через ее начальное значение и переходную матрицу 6Я системы уравнений (8,?7), (8.78). Матрица 6(!) устанавливает следующую связь: й~~1= 221 (8.8!) представив матрицу 6(1) размером 2лзс2л в виде блочной матрицы, элементы которой являются матрицами размером пЗСп, 6(!) = ..1 6ы (6 6„(!)1 6„(!) 6„(4' запишем на основании (8.81) чг(!) = 6гт(!)'тг (О)+ 6тг(!) тг(0), чг(!) = 6гг Я тг(0) + 6гг(!) тг(0). Отсюда следует, что Вм(!) хц(0)+6„(!) т,(0) = В(!) [6„(!) т,(0)+6„(!) ч, (0)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
