Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Формула (8.38) справедлива при помехе, спектральная плотность которой может зависеть от частоты. Частным, цо весьма важным и распространенным на практике является случай, когда помеха п(1) аппроксимируется белым шумом со спектральной плотностью 5в(оз)=5„(0), а спектральная плотность 5х(а) сообщения описывается дробно-рациональной функцией вида 5„(оз) = =Р(озз)/йй(соз), где порядок степенного полинома Ы(оз') превышает порядок полинома Р(озз). Можно показать (42, 20), что комплексный коэффициент передачи оптимального фильтра в рассматриваемом случае равен Ф(/а) =) — )75з(0)/Ч Цм). (8.43) Упрощение вычисления комплексного коэффициента передачи Ф(/оз)' оптимального фильтра по формуле (8.43) по сравнению с (8.40) состоит в том, что исключается операция разложения отношения 5х(м)/Р( — /оз) на простые дроби.
Применим формулу (8.43) для синтеза фильтра при услоииях, указанных в примере 8.1. Функция Ч" ((ез) в данном случае определяется выражением (840), где с=)г5 (О). Подставив его в (843), получим результат совпадавший с (8.41): с (1 ы + р] 1 2 и оз Ф(/ы) 1 /ос+1 /ос+1 рс+1 /ыс+1 ' Дисперсия ошибки фильтрации при использовании оптимального фильтра определяется выражением (8.7) при замене в нем функции д(т) на а,(т). Внутренний интеграл последнего слагаемого в (8.7) с учетом (8.16) равен К,х (т). Поэтому дисперсия ошибки фильтрации описывается следующими соотношениями: о'„„и„= оах — ) до (т) /7„ь (т)с(т (8.44) о или оз„ „„„ =- оз~ — ( д,(т) (' д, (О) /с„(т — О) й О г( т.
8 о Выразим величину о',,и через спектральные характеристики процессов ).(1), г(1) и комплексный коэффициент передачи Ф(/оз) оптимального физически реализуемого фильтра, связанный с его импульсной переходной функцией д,(т) преобразованием Фурье 0 Ф(/оз) =)" п,(т) е — 1мтс(т. (8.46) о Из результатов, приведенных в предыдущих главах, следует, что м о', = — ~' 5ь(оз)доз, (8.47) 2п /7„(Π— т) = — )" 5,(оз) егм1а — '1с(оз, 2и 169 (8.48) где 8х(в), 5,(в) — спектральные плотности процессов ),(г) н г(с).
Подставив выражения (8.47), (8.48) в (8.45) и изменив порядок интегрирования во втором слагаемом, получим л » о'„„„„= — (' (Вь(в) — 5„(в)(' до(т) е твтс(т х 2п о х )" д, (О) егмо с1 О) с( в. (8.49) о С учетом (8.46) выражение (8 49) преобразуется в следующую формулу для вычисления дисперсии ошибки фильтрации: оа„»»ая= — У' (З (в) — 8,(в)(с)>(1'в)(з) с( .
(8,50) Можно показать, что формула (8.50) справедлива также для нереализуемого физически фильтра. Подставив в (8.50) выражение (8.25) для козффициента передачи такого фильтра, получим лх(в) 3„(в) (8.51) 2 и зх (со)+лл(в) Из формулы (8,51) следует, что предельная погрешность фильтрации тем меньше, чем меньше перекрываются спектры процессов ),(с) и п(1). В распространенном случае, когда оптимальный фильтр должен выделить процесс 7 (с) из смеси с помехой, которая не зависит от ).(1) и является белым шумом со спектральной плотностью 8„(0), дисперсию ошибки можно найти по общей формуле (8.50).
При атом в ней следует положить 5„(в) =5х (в)+5 (О). Однако в рассматриваемом случае более удобно определять величину пол мвн по формуяе озям»»я=5„(0) По (О). (8.52) Формула (8.52) выводится следуюшим образом. В рассматриваемом случае выполняются соотношения: д,(т) = г, (т) + >7.
( ) = >у~ + б л (О) б (т), (8.53) К„ (т) = Р, (т), (8.54) где )7л(т), бл(0) — корреляциоивая фуикция и спектральная плотность помехи п(С). Выражение (8.44) с учетом (8.54] приобретает вид оз„мнн = оа — ) я (т)л (т) с(т. (8.55) о Подставив (8.53), (8.54) в уравнение (8дб), кроме того, получим 0 Л,(т) =а,(т)бл(0)+ ~ )7,(т — 0)Л,(В)Л0. (8.56) 5 Полагая в (8.56) т=о и сравнивая (8.55) и (856), приходим к выражению (8.52). !70 Применим соотношение (8.52) для определения дисперсии ошибки фильтрации в системе с оптимальным фильтром, найденным в примере 8.1.
Значение импульсной переходной функции п,(0) для фильтра с коэффициентом передачи (8.41) равно д,(0)=йш1егГ(г(1ег)=й,~Т,=ц()/1+р — 1). (857)' Подставив в формулу (8.52) вырагкение (8.57) и З„(0) =сз, получим а'„„„„= 2 а'ь!( 1 + )Г1+ р). (8.58) 8.4. Синтез оптимальных линейньгх фильтров методом пространства состояний Для синтеза оптимальных линейных фильтров в настоящее время широко используется методика, предложенная Р. Калманом.
Фильтры, синтезированные на основе этой. методики, часто называют фильтрами Калмана. Синтез фильтров Калмана основан на представлении фнльтруемого процесса Х(1) в виде компоненты или линейной комбинации компонент векторного процесса х(!), отображающего процесс 7.(1) в пространстве, называемом пространством состояний. Поэтому синтез таких фильтров называют также синтезом фильтров методом пространства состояний. Использование метода пространства состояний позволяет синтезировать как стационарные, так и нестационарные оптимальные фильтры.
Напомним, что оптимальный линейный фильтр оказывается нестационарным, если процесс Х(1) или помеха являются нестационарными случайными процессами, а также в тех случаях, когда требуется минимизировать дисперсию ошибки фильтрации не только в установившемся режиме, но и в любой момент времени после начала фильтрации.
Весьма эффективно применение метода пространства состояний при синтезе оптимальных фильтров, имеющих несколько входов. Процесс х(1), используемый при синтезе оптимальных фильтров методом пространства состояний, является многомерным марковским процессом. Поэтому синтез фильтров этим методом тесно смыкается с общей теорией нелинейной фильтрации марковских случайных процессов, разработанной Р.
Л. Стратоновичем (43, 44). В гл. 9 будет показано, что из этой теории вытекают, как частный случай, основные соотношения для оптимальных фильтров Калмана. Описание фильтруемого процесса. Рассмотрение методики синтеза оптимальных линейных фильтров методом пространства состояний начнем с пояснения возможности представления фильтруемого процесса, которым в системах радиоавтоматики является задающее воздействие Х(1), в виде компоненты или линейной комбинации компонент марковского процесса.
Поставив своей задачей правильное отображение статистических свойств процесса Х (1), !7! его можно представить как решение линейного стохастического дифференциального уравнения и-го порядка А (р) Х (/) = й, В (р) н (/), (8.59) где А (р) = р" + а„ю р" ' + + аю ' В(р) =Ь„р +Ь„, р — +...+Ь, р+1; н(/) — белый шум со спектральной плотностью В,(0), ги(и — 1. Уравнение (8.59) описывает модель формирования процесса Х(/), в соответствии с которой процесс /ю(/) образуется на выходе фильтра с коэффициентом передачи К~(р) =й, В(р)!/А(р) (8.60) йрн подаче на его вход формирующего шума н(/).
Представление процесса Х(/) как процесса на выходе формирующего фильтра является достаточно универсальным. Так, если при синтезе оптимального линейного фильтра задана, как это полагалось в $ 8.2, 8.3, спектральная плотйость В„(юю) процесса Х(/), то его можно рассматривать как эффект на выходе формирующего фильтра (8.60) в установившемся режиме.
Для этого достаточно приравнять В,(ы) =.!К,(/ы)ГВ„(0), (8.61) определить нз этого условия комплексный коэффициент передачи Кт(/юю) и восстановить по К/(/юю) дифференциальное уравнение формирующего фильтра. Переход от процесса Х(/), описынаемого уравнением (8.59), к марковскому процессу х(/) аналогичен рассмотренному в гл. 7 представлению процессов в нелинейной следящей системе с помощью марковского процесса. Заменой переменных уравнение (8.59) можно представить в виде системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка, в правые части которых входит белый шум, но не входят его производные.
Если В(р) =1, то указанный переход выполняется с помощью простейшей замены переменных г/х,/Й= х„ ю(хю/а/ = хз (8.62) бх„,/Й = х, (/), где хю (/) = / (/). Уравнение (8.59) в новых переменных записывается в виде дх„/Й= — а„,х„—...— а,х,+й,н(1). (8.63) Совокупность компонент х,(/), хю(/),..., х (/), удовлетворяющих уравнениям (8,62), (8.63), образует вектор-функцию, описываю- 172 щую многомерный марковский процесс х(7) в и-мерном пространстве (пространстве состояний). Систему уравнений (8.62), (8.63) можно записать в векторной форме с( х/Й = Гх (й + Н и ((), (8.64) где х — и-мерный вектор-столбец с компонентами х,((), хз(7),..., хн(7); Г и Н вЂ” соответственно матрица и вектор-столбец вида О!0 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
