Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В простейшем случае процесс Л,р(() совпадает с Л((). Первоначально теория оптимальной линейной фильтрации была разработана А. Н. Колмогоровым и Н, Винером для случая, когда процессы Л(() и п(() являются стационарными, стационарно связанными случайными процессамн и имеют нулевое математическое ожидание [39). Фильтр полагался стационарным и предназначенным для выделения процесса Л(г) с минимальной ошибкой в установившемся режиме.
В дальнейшем теория оптимальной линейной фильтрации была существенно развита и рассматривает теперь выделяемые процсссы Л(() и помехи, описываемые как стационарными, так и нестационарными случайными процессами, учитывает требование конечной длительности переходного процесса в фильтре, требование получения минимума среднего квадрата ошибки в любой момент времени после начала фильтрации и ряд других факторов. В настоящее время в этой теории сложились два основных подхода. Один из них основан на выводе и последующем решении интегральных уравнений для импульсной переходной функции оптимального фильтра Этот подход рассматривается в 9 8.2, 8,3 данной главы. Второй подход, связанный с использованием метода пространства состояний, обсуждается в 9 8.4, 8.5.
В связи с тем, что прн нспользоаанин теории оптимальной линейной фильтрации оптимальный фильтр н контуре следящей системы ищется а классе линейных устройств, отметим следующее. если процессы л(г) и а(г) имеют нормальный закон распределения, то, как показано а (40), оптимальный фильтр, еыделяющнй процесс л(г) из смеси г(г) с минимальной срелнекяалратнческой ошибкой, является линейным. Для его нахождения достаточно знать корреляционные функции н математические откилаиия процессов Л(8 и л[Г). Если законы распределения процессов Л(Г) и л(Г) отличаются от нормального, то оптимальный фильтр может быть нелинейным.
Однако лля его синтеза необходимо знать моментные функции процессов л(г) и п(г) третьего и более аысокнх порядков. Часто при проектираяании известны лишь корреляционные функции и математические ожидания выделяемого процесса Л(Г) и помехи п(Г), При такой ограниченной информации о статистических характеристиках процессон Л(Г) и а[Г) синтез оптимального фильтра может быть проведен только а рамках теории оптимальной линейной фильтрации. 8.2. Интегральные уравнения оптимальных фильтров Познакомимся с выводом интегрального уравнения для импульсной переходной функции оптимального фильтра, приняв следующие условия его работы.
Пусть на вход фильтра поступает аддитнвная смесь г((), описываемая выражением (8.1), Процесс Л(() и помеха п(1) являются стационарными и стационарно связанными случайными процессами с нулевыми математическими ожиданиями и известными корреляционными функциями. Рассмотрим !59 случай, когда оптимальный фильтр должен выделять из смеси г(г) с минимальной средпеквадратической ошибкой в установившемся режиме сам процесс Л(1). В рассматриваемых условиях оптимальный фильтр оказывается стационарным и может быть описав импульсной переходной функцией п,(т), которая для физически реализуемого фильтра удовлетворяет условшо п„(т) =0 при т<0.
Выведем уравнение, определяющее функцию д,(т). В установившемся режиме процесс у(1) на выходе произвольного, физически реализуемого фильтра с импульспой переходиой функцией д(т), вызванный воздействием г(Г), определяется соот- ношением (8.6) р(() =) г(1 — т) п(т) Нт, (8.5) о Так как математические ожидания процессов Л(1) и у(1) равны нулю, то дисперсии ошибки фильтрации о'„= М ((у (~) — Л (~))'), Подставляя (8.5) в (8.5), получаем ~,=-м фх (!)) — 2м (1(ч ~ (! — )~( )и ) ~ Ь 1' О +М ~)'г(( — с)д(т) дт (г(( — 0) п(0) ЙО(, о 'о ! Внося функцию Л(~) под знак интеграла, меняя местами операции интегрирования и вычисления математического ожидания и учи- тывая стационарность процессов Л(~), г(1) и равенство нулю их математических ожиданий, находим выражение для дисперсии и', ошибки фильтрации а'„=- ох — 2 ( И,, х (т) д (т) г( т+ ~ д (т) !' Й„(т — О) д(0) г(0 г( т, (87) 'о 'о 'о где о'„=Их (О) =М(Л'"(~)) — дисперсия процесса Л(~); Д„„(т) =М(г(~ — т) Л(1)); Р„(т — 9):=М (г(~ — т) г(~ — 0)); Рх (т), Я,(т), Й,х(т) — соответственно корреляционные и взаимпо- корреляционные функции процессов Л(Е) и г(~).
Для определения импульсной переходной функции я,(т) опти- мального фильтра, которая мипимизирует величину о'„обратвм- ся к методам вариациоиного исчисления. Введем вариацию им- пульсной переходной функции д(т) п представим ее в виде а (т) = а, (т) + у „(~), (8.8) где я„(1) — произвольная функция того же класса, что и дЪ(т); у — множитель Лаграажа, ве зависящий от к„(т). Подставив (8.8) в (8.7), получим пзх= О =Па — 2777 +у'Оа (8.9) шо где 0 о с,=(,,п!(я„!ч — !я,! н)х.(е)зв) з; (здз! о Р, = ) х„(т) )" )т„( — О) х„(0) г( 0 г( т; (8.11) о а Ро=аз„я, — значение о'„при у=О, т.
е. при импульсной переходной функции фильтра, равной йг,(т). Оптимальная импульсная переходная функция до(т), которой соответствует минимум дисперсии о',, должна удовлетворять при произвольной функции х,(т) следующим условиям, вытекающим из правил вариационного исчисления: с(Р/г(у! в= О, с(з Руг(тз'(т о)0. Продифферепцировав (8.9) по у и положив (8.12) и (8.13) в форме (8. 12) (8.13) у= О, представим Р,=О, (8.14) Р, >О. (8.15) Записывая выражение (8.11) для Рх в виде Р, = М ~ (' х„(т) г (1 — т) с( т (, )2 й убеждаемся, что соотношение (8.15) выполняется при любой функции х,(т) и не предъявляет каких-либо требований к импульсной пеРеходной фУнкции йо(т) оптимального фильтРа.
Из (8.10) следует, что равенство (8.14) имеет место при произвольной функции х,(т), если выполняется условие И,л(т) = (Р,(т — О) дс(9) с(9 при т > О. (8.19) 6 Выражение (8.10) является интегральным уравнением, получившим название уравнения Вивера. Его решение определяет импульсную переходную функцию оптимального фильтра. .'У гл(т) =)'и,( — 6)д.(6)б(6), о (т)~ г сь О.
!6! (8.17) 6 — !8 При изменении требований к фильтру и при изменении статистических свойств процесса Л(Г) и помехи и(!) интегральное уравнение для импульсной переходной функции оптимального фильтра также изменяется. В некоторых случаях требуют, чтобы длительность переходного процесса в оптимальном фильтре пе превышала время гп Импульсная переходная функция такого фильтра должна удовлетворять соотношению яь(т) =О при т)!т. Интегральное уравнение для импульсной переходной функции оптимального фильтра с ограниченной длительностью переходиога процесса выводится аналогично (8.16) и в случае отсутствия корреляции между сообщением и помехой имеет вид Если процесс (1) н помеха а(1) являются нсстационарными случайными процессами или требуется обеспечить минимум среднего квадрата ошибки выделения процесса л(1) в любой момент времени после подачи смеси г(1) иа вход фильтра, то оптимальный фильтр оказывается нсстационарвым. Процесс на выходе линейного пестацноиарпого фильтра описывается соотношением рР) = ( г(8)д(1, 8) И8, (8.18) Ь где д(й 0] — импульсная переходная функцив нсстационарного фильтра.
Заменив выражение (8.5) па (8.18) и проведя выкладки, аналогичные выполненным ранее, получим интегральное уравнение с пгх(т, О=('д,(1, 8)п„(т, 8)пп, 8~ ~1, 8~8~1, (ззй) б где )1,(т, 8), е1„(т, г) — корреляционная и взаимная корреляционная функция нестациопарных процессов г(1) и Х(1). Напомним, что импульсная переходная функция йе,(й 8) оптимального нестационариого фильтра в контуре следящей системы связана с функцией й,(й 8), определяемой (8 19), интегральным уравнением (8.4) . Найти решение интегральных уравнений для импульсной переходной функции оптнмалыюго фильтра в общем случае нелегко.
В 5 8,3 рассматривается ряд важных частных случаев, когда это удается сделать успешно. 8.3. Синтез оптимальных линейных фильтров на основе решения интегральных уравнений Оптимальный нереализуемый физически фильтр. Решение интегрального уравнения (8.16), определяющее импульсную переходную функцию физически реализуемого оптимального фильтра с постоянными параметрами и неограниченной длительностью переходного процесса, связано с определенными трудностями. Значительно проще найти характеристики оптимального фильтра, к которому нс предъявляется требование физической реализуемости, т.
е. нереализуемого физически фильтра. Хотя такой фильтр нс может быть осуществлен на практике, тем не менее нахождение его характеристик представляет определенный интерес. Действительно, оптимальный физически реализуемый фильтр ищется в более узком классе устройств, чем нереализуемый. Поэтому соответствующая ему дисперсия ошибки не может быть сделана меньшей, чем в нереализуемом физически фильтре. Величина дисперсии, найденная для нереализуемого фильтра, может быть полезной для практики оценкой снизу для дисперсии ошибки в реализуемом оптимальном фильтре. Процесс у()) на выходе фильтра, к которому не предъявляется требование физической реализуемости, описывается выражением (8.20) у(1) = )' г(1 — т)д(т) йт.
162 Если процессы Х(!) и'и(!) не коррелированы, то Я„л (в) = 8л„(в) = О и 8, (в)=3л(в),8,(в)=8л(в)+8 (в). (8,24) Подставив (8.24) в (8.23), найдем комплексный коэффициент передачи оптимального нереализуемого физически фильтра для рассматриваемого случая ~л (в) Ф(!в) = л лл(в)+ о„(в) (8.25) Оптимальный фильтр, как следует из (8.25), должен иметь больший коэффициент передачи на частотах, где спектральная плотность помехи относительно мала, и уменьшаться на частотах, где ояа велика. Оптимальный физически реализуемый фильтр. Комплексный коэффициент передачи оптимального физически реализуемого фильтра, импульсная переходная функция которого удовлетворяет уравнению (8.16), как показано ниже, описывается выражением (в) Ф(!в)= — )' е-! ' — ~' " е« '«(в«1т, (8,26) "~(!в)о — з" — Ч'( !«о) 6 шз Путем замены в проведенных ранее выкладках (8.5) на (8,20) нетрудно убедиться, что интегральное уравнение для импульсной характеристики нереализуемого физически оптимального фильтра с постоянными параметрами имеет внд Я„л(т) = ) Я„(т — О) л«о(О) ЫО,— оо( т(оо.
(8,21) Уравнение (8.2!) в отличие от (8.16) должно удовлетворяться не только при положительных, но и при отрицательных значениях т. Уравнение (8.21) решается значительно проще, чем (8.16). Для получения решения преобразуем обе части этого уравнения по Фурье. Приняв во внимание, что правая часть уравнения представляет собой свертку функций !«,(т) и д (т) н ее изображение равно произведению изображений этих функций, получим 8, (в)=8,(в)«Р(! ), (8.22) где 5„л (в) — взаимная спектральная плотность процессов г(!) и Х(!); Ф(!в) — комплексный коэффвцяент передачи нереализуемого физически оптимального фильтра. Из (8.22) вытекает выражение для Ф(!в): Ф (! в) игл (в)!8г (в) (8.23) В общем случае входящие в (8.23) спектральные плотности опредсля«отся выражениями; 8„л (в) = 8л (в) + 8„л (в), 5, (в) = 8л ( ) + 5,л (в) + 5 „( ) + 5, (в) где !Ч" (!' )Г=~.( )1 (8.27) Ч'((ю) — функция, все нули и полюсы-которой лежат в верхней полуплоскости комплексной переменной ю; Ч" ( — )хв) — функция, комплексно-сопряженная 'Р((ю), все нули н полюсы которой лежат в нижней полуплоскости комплексной переменной ю.
Формула (8.26) выводится следующим образом. Уравнение (8.16) для импульсной переходной функции оптимального физически реализуемого фильтра решалось бы очень просто, если бы смесь г(!) была белым шумам с функцией корреляции )Г,(т) =6(т). В этом случае Яа (т) = Ргх(т) при т)~ 0 и да(т) = 0 при т(0. Учитывая зто, представим оптимальный фильтр в виде последовательного соединения двух фильтров (рнс. 8.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
