Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Для пояснения этой процедуры обратимся к обобщенной структурной схеме радиотехнической следящей системы (рис. 2.29). Пусть изучаемым случайным .процессом является ошибка слежения. Ее изменение во времени описывается стохастическим дифференциальным уравнением (2.33). Запишем его в виде х(«) =Х(«) — К(р) [«'(х)-[-$(«, х)[, (7.28) где К(р)=Ь,В(р)7А(р)«р=«1««1«; В(р)=Ь„,р +Ьт ~р — '+ ... +1; А(р) =р" +а„,р" — '+ ... +аз. Положим, что воздействие «(«) описывается детерминированной функцией. Ширина спектра помехи з(й х) обычно значительно превышает полосу пропускания следящей системы, .поэтому помеху $(«, х) можно аппроксимировать белым шумом. Для того чтобы описать поведение ошибки слежения х(«) марковским процессом, необходимо заменить уравнение (7.28) системой уравнений вида (7.22), т. е.
системой уравнений первого порядка, в которых случайныс воздействия являются белыми шумами. Входящие в эти уравнения переменные х;(«) являются компонентами марковского процесса. Если В['р) =1, то указанный переход удобно выполнить с помощью замены переменных 140 с(х,/(/=- х, (/), г/хв/с(/ = хз (/) (7.29) ~/Ха зИ! Хп (/) г где х! ('/) =х('!).
Уравнение (7.28) в новых переменных записывается в виде г/х„/г/!= — а„,хо — , — аох,— /гав(х) — /з,й(1, х„). (7.30) Совокупность компонент х1(/), хз(/),, хп(/), удовлетворяющих уравнениям (7.29), (7.30), образует многомерный марковский процесс. Если.в (7.28) коэффициенты Ь„Ьз,, Ь отлиьны от нуля, то представление сто в виде системы уравнений первого порядка с белыми шумами в правых частях несколько усложняется. Замена переменных (7.29) в этом случае неприемлема, так как при ес использовании в последнее уравнение системы, получаемое подстановкой (7.29) в (7.28), входит не только белый шум, но и его производныс.
Известно несколько способов перехода к системам уравнений (7.22) в рассматриваемом случае (20, 341. Познакомимся с одним из пвз на примере системы с интегратором и пропорционально-интегрирующим фильтром, в которой К(р)=й„(1+рТ,)/р(1+рТ,), а шум й(!) не зависит от ошибки слежения х. Уравнение (7.28) при этом записывается в виде озх г!х с/зЛ дЛ Т, — + — =- Т, — + — ' — йя (Д (. ) + 3 (!))— ига Ш Л/з Д! и' — /гп Т,— (д(х)+ $(0). (7.31) Для перехода к системе уравнений первого порядка введем переменные х~(1) п хз(1) твк, что хт !!) = х(Г), Лхь и! = хв+ с (Р(х) + 2(!)), (7.32) где с — постоянная, подлежащая дальнейшему уто пшникь Продифференцировав (7.32) по времена и подставив выражеаия для произ- водных пзх/г!Р к г/х/о! в исходное ураввенве (7.3!), получвм второе уравнение дхз 1 ЛзЛ 1 ЛЛ вЂ” = — — х,+ — + — —— г)! Т ' и!з Т Л! — (Г (х) + Ц (1)) — с + — — (Р (х) + $ (!)). Т, / г/1 Для устранения в нем производной белого шума необходима выбрать с = — /г,г~/Тз.
В результате система уравнений первого порядка, эквивалентная уравнение (7.31), примет вид — — (Т (х) + й «)), л! т, Ь. ! йи 7 Т о'аЛ ! о'7. — = — — х — — ~ ! — — /(г (х)+З(1))+ + — —. и! Т, * ТЛ Т) о/а Т о'1 141 (7.35) П,= А (х) ш — — [В(х) ш). д дх Потоку плотности вероятности П, в силу указанной аналогии соответствует поток частиц, движущихся под действием детермини- 142 Переменные х~(Г) и хт(Г), определяемые этими уравнениями, являются компонентами двумерного марковского процесса.
Ошибка слежения х(Г) совпадает с компонентой х~(1) этого процесса. Определение стационарного распределения ошибки слежения. После того как система стохастических дифференциальных уравнений для компонент марковского процесса найдена, можно записать уравнение Фоккера — Планка (7.23) для их плотности вероятности.
Решение уравнений Фоккера — Планка позволяет найти ряд важных характеристик нелинейных следящих систем. Оно позволяет, в частности, определить плотность вероятности го(х) ошибки слежения с учетом нелинейности характеристики дискриминатора и зависимости спектральной плотности шума на выходе дискриминатора от ошибки слежения. Покажем это на примере следящей системы, в цепь обратной связи которой включен интегратор, и, следовательно, К(р)=й,/р.
Рассматриваемая система описывается стохастическим дифференциальным уравнением первого порядка г(х/й = йн )о (х) + г() /Й вЂ” /гн)г Л е (х)/Л/вт $з (()~ (7 33) где ~~(() — белый шум с единичной спектральной плотностью д/е, =1 1/Гц; Мо(х) — спектральная плотность шума $(й х). Плотность вероятности гв(х, () ошибки слежения удовлетворяет .при этом одномерному уравнению Фоккера — Планка. В соответствии с (7.23) оно имеет вид — = — [А(х)в) + — — [В(х)гв). дю д дв (7.34) дг дк дхв Коэффициенты А(х) и В(х) уравнения (7.34) в данном случае, согласно (7.24), (7.25), (7.33), равны А (х) = — /гн Р (х) + И ) /г(/+ — йвя г(й/е (х)/г(х, В (х) = й нь/е(х) 1 4 Известно, что уравнение Фоккера — Планка (7.34) описывает также распределение координат броуновоких частиц, движущихся в вязкой среде. Поэтому при изучении нелинейных следящих систем с помощью этих уравнений удобно использовать аналогию между величиной ошибки слежения и координатой броуновской частицы.
Уравнение (7.34) можно, записать в компактной форме д ш/д(+дПв/дх= О, используя понятие потока плотности вероятности вдоль осн х, равного гв„(х) = — ехр [ — г(д [ "А(у) В(х) [ь В(у) (7,38) Если вероятность срыва слежения мала, то постоянную с в (7.38) можно найти из условия нормировки плотности вероятности гв„(х) на интервале — х„(х 'х„, где — хг, х,— крайние точки апертуры дискриминатора (рис.
7.10). Это условие записывается так: кг ~ ш(х, () г(х=1. — к г Выражение (7.38) для плотности вероятности и('х) позволяет найти в нелинейной системе такие менее полные, но часто применяемые для оценки точности слежения характеристики, как математическое ожидание и дисперсия ошибки слежения. Пользуясь соотношением (7,38), можно также выяснить, ка~к влияет на точность слежения зависимость спектральной плотности шума на выходе дискриминатора от ошибки слежения. Рост спектральной плотности Уг(х) и коэффициента В(х) при увеличении ошибки слежения х приводит к изменению экспоненциального множителя в (7.38) и повышению плотности вероятности гв(х) при 143 рованной силы А/х) и флюктуационных возмущений, интенсивность которых характеризуется величиной В/х). Коэффициенты Л(х) и В(х) в уравнении (7.34), следуя той же аналогии, часто называют коэффициентами сноса и диффузии.
Для того чтобы найти стационарное распределение гв„/х), в уравнении (7.34) следует положить дгв/д(=0. Заметим, что одним из условий существования стационарного распределения ш„(х) является постоянство коэффициентов А/х) и В(х) во времени. Как видно из (7.35), производная Ж/Ж при этом должна быть, постоянной. Положив в (7.34) дш/д/=О, получим А (х) шгк(х) — — [В (х) ш„(х)) = сопИ= П,. (7.36) л г(х Но из условия нормировки стационарной плотности вероятности, О имеюШего вид ( гв„(х)йх=1, и неотрицательности плотности ве- О роятпости ш(х) следует, что при х-+-.+со плотность вероятности ш„(х)-+О.
Производная Иш„(х)/йх при х-+-+-со также стремится к нулю. В результате постоянная П„равная значению потока плотности вероятности в стационарном:режиме, оказывается равной нулю и уравнение (7.36) принимает вид Л (х) ш„(х) — — [В (х) ш„(х)] = О. (7.37) г(х Проинтегрировав (7.37), найдем выражение для плотности вероятности ошибки слежения в системе, описываемой уравнением первого порядка: больших значениях х. Дисперсия ошибки слежения при этом также увеличивается. В нелинейных следящих системах, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка, найти стационарное распределение ошибки слежения путем аналитического решения уравнения Фоккера — Планка удается в тех случаях, когда в числителе коэффициента передачи фильтра К(Р) отсутствует оператор р.
Этому условию удовлетворяют фильтры с коэффициентами передачи К(р) =/г„/Р(1+ РТэ) н К(р) =lг/(1+РТд) (1+РТг). В более слож- ных случаях для решения г(х) уравнений Фоккера — Планка можно использовать ЭВМ. Однако объем требуемых вычислений при поК0 к~ к, г вышении размерности уравнения резко увеличивается. Поэтому даже при нспольРис 7.ш зовании ЦВМ обычно ограничиваются решением уравнений Фоккера — Планка для систем, описываемых дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Определение вероятности срыва слежения. Важным показателем качества работы нелинейной следящей системы является вероятность срыва слежения.
При выходе ошибки за пределы апертуры дискриминатора на его выходе исчезает напряжение, зависящее от величины ошибки, и происходит размыкание системы регулирования. Через некоторое время ошибка слежения под действием флюктуацнй может вновь оказаться в лределах апертуры дискриминатора. Однако такое возвращение носит случайный характер, а продолжительность выходов может быть значительной. Поэтому выход ошибки за пределы апертуры дискриминатора можно рассматривать как срыв сопровождения. Вероятность Р,р срыва слежения, понимаемого как первый выход ошибки слежения за пределы апертуры дискриминатора, описывается выражением Р,„(1) == 1 — ~ш (х, 1) 3х, (7.39) г где ш(х, 1) — плотность вероятности компонент марковского процесса, являющаяся решением уравнения Фоккера — Планка (7.23) при наличии поглонгающих границ, расположенных на краях апертуры дискриминатора, т, е.
в точках х~=х„и х,= — х„à — область изменения переменных х;(1), удовлетворяющая условию — х„( (х,(х,. Значение интеграла в (7.39) равно вероятности того, что за время Г ошибка слежения ни разу не достигнет границ апертуры дискриминатора. Математические условия поглощения, исключающие из дальнейшего рассмотрения те реализации изменения ошибки слежения, в которых достигается граница апертуры дис- 14ч криминатора, зависят от типа фильтра в цепи обратной связи следяшей системы, Подробнее обсуждение,записи граничных условий можно найти в [38]. Для всех фильтров первого порядка и тех фильтров второго порядка, числитель операторного коэффициента передачи которых содержит символ р=гцЖ, условие поглощепня записывается в виде ш(х, г) ~, „=-О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
