Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Лииеаризованиая система ока. зывается при этом системой с переменными параметрами. Анализ такой системы является более сложной задачей. Он может быть успешно выполнен путем интегрирования на ЭВМ уравнений для моментпых функций. Анализ стационарных режимов следящих систем методом ста-тистической линеаризации. Рассмотрим применение метода стати«стической линеаризагдии для анализа стационарного режима ра- диотехнических следящих систем. 1(с) Обобщенная структурная схема лш х таких систем, учитывающая ие.
линейность характеристики дисх(с) \. криминатора, показана на рис. 7.12. Предполонсим, что в резульРис. 7.12 тате анализа необходимо найти среднее значение т„и дисперсию а'„ошибки слежения. В соответствии с методом статистической линеаризации заменим нелинейный элемент Р(х) линейным эквивалентом с коэффициентом передачи йз и й~ для математического ожидания и центрированной случайной составляющей соответственно. В стационарном режиме величины лс„и яв(т„, о,) постоянны во времени.
В линеаризованной следящей системе -связь между математическими ожиданиями задающего воздейст.вия й(1) и ошибки слежения х(1) определяется уравнением лс. (1) = Кх. (р) лс (1), (7.58) где К,„(р) = 1/[1+йр(пс„, а„) К (р)). Заметим, что, как следует из гл. 4, установление стационарното режима в следящей системе при описании математического ожидания воздействия полиномом вида псх(1)=па+а~1+ ...
+щ1' возможно, если степень 1 не превосходит порядок астатизма сиютемы. Так, например, в системе с одним интегратором, обладающей астатизмом первого порядка, стационарный режим устанавливается при тх (1) =ав+аА Применив для решения уравнения (7.58) метод преобразовахсия Лапласа, найдем ЗМх(Б) пс„=11ш зКх„(з) Мх(з) =11щ ", (7 59), ь-а в-в ! + «о(лсх ох) К(8) 150 где М„Гз/ — преобразованный по Лапласу процесс тх(/).
Выражение (7.59) представляет собой первое алгебраическое уравнение, связывающее значения гп„, о„в стационарном режиме работы рассматриваемой следящей системы. Обратимся теперь к анализу случайной составляющей ошибки слежения. Положим, что воздействие 1.(/) является детерминированным процессом. Тогда единственным случайным воздействием в системе является шум В1/).
Заменив нелинейный элемент Р!х) линейным эквивалентом с,коэффициентом передачи /г! и использовав результаты, полученные в гл. 6 для линейной следящей системы, запишем следующее выражение для дисперсии ошибки слежения: ! = — ~Ж(м)~Кг (/м)Рг( = 2п = — Яз (») !К(/м) !" Им 2п, 1!+ гт(!в~, вх) Кцм) !~ (7.60) Коэфф!гциепт й! в (7.60) зависит от математического ожидания пг„и дисперсии аз, ошибки слежения, поэтому соотношение. (7.60) представляет собой второе алгебраическое уравнение, связывающее т„и о . для определения среднего значения гп, и дисперсии ох в установившемся режиме необходимо решить полученную систему алгебраических уравнений (7.59), (7.60).
Иногда это удается сделать аналитически. Так, если в системе, изображенной на рис. 7.12, Х(/) =аз, К(р) =к„~р, Р(х) =А з1дпх, 31(гв) =51(0), то, нахо' дя математическое ожидание и!„по формулам (7.59), (7.56), по- лучаем !з! т, =11ш аа = О. (7.61) я-О !+во(~х ц„)1,и!8 Вычисление дисперсии ошибки слежения по формуле (7.60) с учетом (7.57), (7.61) дает следующий результат: 51(0) Хы 51(0) ~!и У2л ох М,~ (!в ., в„) 4Д откуда следует, что в,=51(0) й„/1.6 А.
В общем случае система уравнений (7.59), (7.60) решается либо методом последовательных приближвчий, либо графически. Пример 7.2. Рассмотрим один из возможных путей графического решения системы уравнений (7.59), (7.60) на примере анализа системы углового сопровождения, структурная схема которой показана на рис. 7А2. Положим, что Ц/) =а!О а!=3 град/с.
К(/!)=йа/р(1+рГф), /г„=2 град/(с В), Тф=1 с, Р(х) — нелинейная характеристика дискриминатора вида Р(х) =А з(п ах, а=0,1 1/град, А=4 В, в(/) — белый шум со спектральной плотностью Я! (0) =10 Вз/Гц. Конкретизируем уравнения (7.59) и (7.60), решение которых определяет математическое ожидание и дисперсию ошибки слежения. Изображение математического ожидания воздействия в рассматриваемом случае равно Мх (з) = а,/з', (7.62) Подставляя (7.62) в (7.59) и учитывая выраженно для коэффициента К(р) анализируемой системы, находим, что в,рассматриваемом примере уравнение (7.59) приобретает впд т,=аг//гэ(гп„ а,)/г„, Для последующего решения удобно записать это уравнение в форме т,/го(ги„, а„) =я,//г„=!,5 В.
(7.63) Уравнение (7.60) в рассматриваемом примере. конкретизирустся следующим образом: ! /г211 5$ (0) Д гг аг =.— )' г (764) 2н //а(1+/ гэТф)+/гг (т„., а,) Ф„З* Вычисляя интеграл (?.64) по методике, изложенной в гл. 6, нахо. д~м аг„/51(0) =й„/2/г, (ик, ах). (7.65) Графическое рсшеппс полученной системы уравнений (7.63), (7.65) проведем следующим образом, Для заданного типа нелинейности Р(х) построим семейство кривых т„=гп,й,(гп,, а„) для ряда фиксированных значений а„. При этом учтем, что для синусоидальнон характеристики г (х) коэффициент /гг определяется формулой (7.52). Полученное семейство кривых показано на рис.
7.13. На том же рисунке проведем прямую /, соответствующую уравненпк (7.63). Точки пересечения прямой / с указанным семейством кринагх т„=т„(т,.) определяют зависимостью о„= у(т„), (7.66) которая связывает между собой значения т, и а„, удовлетворяющие уравнению (7.63). На рис. 7.13 зависимость (7.66) показана в координатах гп„, а„штриховой линней. Для нахождения значений гп„, а„, одновременно удовлетворягощих уравнениям (7,63) и (7.65), поступим далее следующим образом, Введем вспомогательную переменную 8 и представим уравненис (7.65) в виде системы из двух уравнений р =- а'„./31 (0), (7.67) ()=й„/2А, (и„, а„) (7.68) Первое отображает левую часть уравнения (7.65), второе — правую.
Вычислив коэффициент /гг(гп„, а„) для значений гп„, аэ, связанных соотношением (7.66), построим на основании (7.68) зависимость () от а„, На рис. 7.14 эта зависимость показана кривой .~. 152 На том же рисунке проведем через начало координат прямую Б, соответствующую уравнению (7.67). В точке пересечения прямой Б и кривой А правая часть уравнения (7.65) совпадает с левой. Поэтому соответствующее этой точке значение о =о„, и связанное с иим соотношением (7.66) значение гп,=пг, удовлетворяют бс и'и !г 4 1 !О ~ ю„,град Рис. 7.И Рис.
7.14 уравнению (7.65). Так как кривая А построена для значений !п„и о,„удовлетворяющих уравнению (7.63), то величины т„! и о,, удовлетворяют одновременно уравнениям (7.65) и (7.63). Найденные значения ш„~ и о,! являются решением рассматриваемой задачи. В нашем примере они равны т„~=4,75 град, о„,=5,6 град. Рассмотренный метод статистической линеаризации является приближенным.
Кроме отмеченного ранее допущения о нормальности закона распределения процесса на входе нелинейного эле мента, источником погрешностей этого метода является неточное воспроизведение спектральных хара~ктеристик процесса на выходе нелинейного элемента. Функция корреляции случайного процесса на выходе линеаризоваиного элемента совпадает по форме с корреляционной функцией, процесса на его входе. То же можно сказать и о спектральной плотности рассматриваемых процессов, связанной с корреляционной функцией преобразованием Фурье. В то же время физически совершенно очевидно, что при прохождении через нелинейный элемент спектральная плотность и функция корреляции случайного процесса изменяются. Наличие указанных погрешностей несколько снижает точность метода статистической линеаризации.
Однако, как показывает сопоставление результатов, полученных данным методом и методом решения уравнения Фоккера — Планка, она во многих случаях приемлема для инженерных расчетов. Применение метода статистической линеаризации для анализа условий срыва слежения. Срыв сопровождения в следящей системе носит случайный характер. Поэтому наиболее полной ха- !за рактеристикой возможности срыва является вероятность Р,э(1) его возникновения за время и Однако теоретическое определение точного, значения Р,р® даже для систем, описываемых дифференциальным уравнением невысокого порядка, как следует из 3 7.3, оказывается достаточно сложной задачей. Трудность ее решения резко возрастает при повышении, порядка дифференциального уравнения системы, В то же время многочисленные теоретические и экспериментальные исследования показывают, что зависимость вероятности срыва от интенсивности помех и динамических воздействий носит, как правило, ярко выраженный пороговый характер.
Поэтому для приближенных расчетов часто бывает достаточным найти критические значения интенсивности помех и воздействий, превышение которых делает режим слежения невозможным. Метод статистической линеаризации позволяет определить эти значения. Иногда это удается сделать аналитическим путем. Однако часто аналитический путь приводит ас громоздким выкладкам и тогда удобнее прибегнуть к графическому построению. Чтобы познакомиться с пим, вернемся вновь к графическому определению стационарных значений математичеакого ожидания и дисперсии ошибки слежения методом статистической лииеаризации (рис. 7.13 и 7.14). При увеличении спектральной, плотности 54 (О) помехи наклон прямой Б на рис.
7.14, как следует из (7.67), уменьшается и значение дисперсии о'„, возрастает. При больших значениях 54 (О) прямая Б может не пересекаться с,кривой А. Совместное решение уравнений (7.63) и (7.65) при этом отсутствует. Такое положение соответствует неограниченному возрастанию о„и л1„и означает срыв режима сопровождения. Условием для определения критического значения спектральной плотности помехи 5,р(0) при таком подходе является касание кривой А и прямой Б. Для того чтобы найти величину 5„р(0), достаточно построить по описанной ранее методике кривую Л и провести через начало ~координат касательную к ней. На рис.
7.14 касательная показана пунктиром. Тангенс угла ее наклона,~как следует из (7.67), равен )акр(0). Критическая величина 5„р(0) интенсивности помехи зависит от параметров системы и задающего воздействия Л(1), При увеличении математического ожидания ошибки слежения срыв возникает при меньших значениях 5,р(0). На рис, 7.14 кривая Л при этом смещается вверх и наклон касательной к ней увеличивается.
Если математическое ожидание т„в установившемся режиме равно нулю, то процедура отыскания значения 5,р(0) упрощается, так как значительно упрощается построение кривой А на рис. 7.14. Неограниченное увеличение дисперсии ошибки слежения при превышении спектральной плотностью помехи некоторого критического значения характерно для,большинства радиотехнических следящих систем. Отличительным признаком систем, обладающих 154 таким свойством, является обращение в бесконечность дисперсии ошибки слежения, если положить дискриминационную характеристику тождественно равной нулю. Это имеет место, в частности, при действии помехи й(г) на выходе дискриминатора (рис. 7.12) во всех астатических следящих системах. В статических следящих системах дисперсия ошибки слежения остается конечной при любом конечном значении спектральной плотности 51 (О) белого шума $(1) на выходе дискриминатора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
