Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Первый преобразует смесь г(!) в белый шум г,(!) со спектральной плотностью Яг1(го) =1, втог(н п(т рой оптимальным образом выделяет процесс Х(!) из смеси гг(!). Комплексный коэффициент передачи Ф[!м) оптимальпога фильтра при этом равен произведению коэффициентов передачи первого и Рнс. 8.3 второго фильтрои: Ф (!' е1) = Ф1 (! ю) Фе (! ю). (8.28) Коэффициент передачи Ф~(йе) первого фильтра примем равным Ф! (! м) = 1Л О щ) . (8.29) Из определения функции Ч" (рв) следует, что фильтр с таким коэффициентом передачи устойчив и физически реализуем. Спектральная плотность процесса г,(!) на его выходе равна б (ю) = (Фт(! Н 8 (ю) = 1. Импульсная переходная фупхция нее(т) фильтра Фз описывается уравнением, аналогичным (8.16): 0 Й„,ь(т)=)" йм(т — В)а„(В)нВ при т)0. 'о гак как смесь г~(!) является белым игумом с функпией корреляции гтг1(т — В) = =6(т — В), то аае(т) =)Г„тх(т) при т) 0 и лее(т) =О при т(0.
Следовательно, коэффициент передачи оптимального фильтра Фг равен 0 Фа(!'со) = ) )Г„! (т) е !" от. юх (8.30) Представим взаимную корреляционную функцию )Гмх(т) в виде й„„(~) = М(г,(!) ! (!+т)) = Гм =а ф г — ~г,ы~ ~г ° +ч). й где 81(т) — импульсная переходная функция фильтра Фь Внеся функцию Х(!+т) под знак интеграла и поменяв местами операции интегрирования и вычисления математического ожидания, получим 0 )Г (т) = 1 )Гг х (т + т) Ит(т) " (8.31) е' 164 ВЫраЗИМ фуНКцнЮ )(Ш1(т) ЧЕРЕЗ СПЕКтраЛЬНуЮ ПЛОтиастЬ Ягл(Ю). ПроабраэуЕМ для этого обе части равенства (8.31) по Фурье: М Ф 8 (ю) = )г ~ яд (ч+ т) лг(ч) г)че 1мт от= — 'о = ~лт(ч)егмчич ) Я „[ч+т) е 1~1~+т1дт= Ф ( — /ю)8 (ю).
(8.32) о Взаимная корреляционная функция Яю„(т), связанная с 8„(ю) преобразованием Фурье, с учетом (8.32) и (8.29) записывается в виде "8,.() )(г ь(т) — )г е™того (8.33) гак 2п Чг ( 1 <а) Подстановка в (8.28) соотношений (8.29), (8.30), (8.33) приводит к выражению (8.28). Если сообщение ),(1) и помеха п(1) не коррелированы, то формула (8,26) с учетом (8.24) принимает вид 1 ",' 1, 82 (ю) Ф(/ю) = — ~' е — 1"' — ~' ей г(юг(т, Чг(1 ю) а 2 и — Чг( 1ю) ! Чг (/ю) Р =5„(ю)+ Я„(ю). (8.34) Для проведения практических расчетов форлчулу (8.34) удобно дополнительно преобразовать.
Если отношение Яь(ю)/Ч'( — /ю) не имеет кратных полюсов, то его можно разложить на простые дроби вх(ю) ~ о; +~ Ьг +й (8.35) Чг( — /ю); ю — ч~ г ю — ти где и; — полюсы отношения о„(ю)/Чг( — /ю), расположенные в верхней полуплоскости комплексной переменной ю; т), — полюсы, расположенные в нижней полуплоскости; й — целая часть отношения Яь(ю)/Ч'( †/ю). Коэффициенты а; в разложении (8.35) вычисляются по формуле аз =[(ю — ч;) ок(ю)/Ч" ( — /ю))(„ (8.36) Рассмотрим результат вычисления внутреннего интеграла в формуле (8.34) для каждого слагаемого разлогкения (8.35).
Первая сумма простых дробей представляет собой функцию комплексной переменной, все полюсы которой расположены в верхней полуплоскости. Преобразование Фурье такой функции дает (4Ц временную функцию (м(т), удовлетворяющую условию ()1(т) =0 при т<0. Лналогично преобразование второй суммы Хт дает функцию ()з(т), которая равна нулю при т>0. Преобразование целой части /е формирует дельта-функцию. Если бы пределы внешнего интеграла в (8,34) были равны — оо, оо, то он являлся бы преобразованием Фурье, обратным по отношению 'к внутреннему интегралу, и результат интегрирования 1бб был бы равен 5к (а)/Ч" ( — /а). Так как в действительности внешний интеграл вычисляется в пределах О~т(оо, то фушсция р)а(т) не подвергается интегрированию и результат интегрирования определяется только преобразованием функции [),(т) и дельта- функции.
В итоге Ях («>) [ е-'"' — )' ' и о йгг — м)( !а) >( ' (а ( =~,+й=1 "'"' 1 (8,37) РР ( — /аП+, где операция ( )+ означает, что в разложении 5к (а)/Ч'( — /а) на простые дроби необходимо удержать целую часть и дроби, соот- ветствующие полюсам, расположенным в верхней полуплоскости комплексной переменной в. С учетом (8.37) выра>кение для комплексного коэффициента передачи оптимального фильтра примет вид г)у(/а)= ) х, 1 (8,38) ч'(/а) (чг ( — /а))+ Процедура вычисления Ф(/а) по формулс (8.38), как следует из предыдущего изложения, ск.ладывается из следующих операций: 1.
Записывается спектральная плотность 5„(а) смеси полезного сообщения и помехи. Функция 5,(а) представляется в виде 5,(а) =Ч'(/в) Ч'( — /а). 2. Образуется отношение 5х (а)/Ч'( — /а). Оно разлагается на простые дроби. В полученном разложении удерживается целая часть и дроби, соответствующие полюсам, находящимся в верх- ней полуплоскости комплексной переменной в. Дроби, соответ- ствующие полюсам, расположенным в нижней полуплоскости, отбрасываются.
Выделенная часть обозначается символом [ ]+. 3. Записывается отношение [ )+/Ч'(/а), которое и представляет собой искомый комплексный коэффициент передачи оптимального фильтра. Заметим, что если отношение 8 (м)/гр( — /а) имеет кратные полюсы, то й формула (8.88) остается справедливой. необходимо только учесть, что каждому полюсу кратности к в разложении З„(ю)/Чг( — (а) иа простые дроби соотвегствует сумма вида («> — чг)и где И>-г о (а)' ам= (а — тг)" Рассмотрим пример нахождения оптимальных фильтров. Пример 8.1. Для системы, структурная схема которой показана на рис. 8.4, найдем коэффициент передачи /((/в) оптималь(бб ного фильтра, обеспечивающего минимум дисперсии ошибки еле>кения в установившемся режиме, при выполнении следующих условий: !) крутизна характеристики дискриминатора 5„известна, 2) спектральная плотность задающего воздействия Л(1) равна 5ь (а) =2Иа'ь/(во+И'), 3) помеха $(1) не коррелирована с воздействием Л(1) и аппроксимируется белым шумом со спектральной плотностью 5з (0).
В $8.! показано, что первым шагом решения рассматриваемой задачи является определение оптимального коэффициента передачи Ф(/а) эквивалентного фильтра, выделяющего процесс Л(1) с минимальной ~ Кф) среднеквадратической ошибкой из смеси: г (1) Л (1) + с (1)/5д Л (1) + и (1) Рис. ВА В данной задаче спектральная плотность смеси г(1) равна 2Иао 82(0) о>о со+ И 5„(а) =5,(а)+5„(а) =~+„,+,', = „,+„,, где с'=5„(0) =5; (0)/5>л — спектральная плотность помехи, приведенной ко входУ дискРиминатоРа; 1>=И>со+2Иа'ь.
В соответствии с общей методикой нахождения комплексного коэффициента передачи оптимального фильтра представим 5„(а) в виде произведения функций Ч" (/а) и Ч'( — /а) (8,39) !в+И 1в+И Из (8.39) и определения функций Ч'(/а) и Ч" ( — /а) вытекает, что Ч'(/а)= !,Ч" ( — / а) = !, (840) /в+И вЂ” /в+И Запишем отношение 5 (в) 2Иао ( — /в+И) 2Иао /с Чс( — /в) (во+И)( — ! !ос+1) (в — ! И)(в+1!/с) и разложим его на простые дроби 5„(а)/Ч( — /а)= " + " в — /И в+!!/с Отбрасывая второе слагаемое, соответствующее полюсу, располо>кенному в нижней полуплоскости, и определяя по формуле (8.36), что коэффициент а> — — 2Иаьй //'(Ис+1), получаем Г 5,(в) 1 2Иа', (Ч' ( — ! в)!+ Ис + 1 !в+И Следовательно, (Р(/ )=()+/Ч" 0 ) — ".
' = ~, (8.4!) (Ис+ !) (1' в с + !) ! + / со Т 167 где 1ис+ О1 !+я+ к'1+я 1 ИУ1+р р=2а'х/рс'=5ь (О)/5„(0) — отношение спектральных плотностей процесса Х(/) и помехи и(1). Фильтр с коэффициентом передачи (8.41) может быть выполнен в виде последовательного соединения интегрирующей /сС-цепи с постоянной времени Т, и безынерционного звена с коэффициентом передачи й,. Параметры /1, и Т, зависят от ширины спектра воздействия Х(!), характеризуемой величиной р, и уровня помехи. Зависимость параметров й, и Т, от величины р=5х (О)/5 (О) изобра>кена на рис. 8.8. Как видно из рисунка, при уменьшении спектральной плотности помехи 5 (О) коэффициент я, растет, стремясь в пределе к единице, а постоянная времени Т, фильтра уменыпается. Объясняется это тем, что при малой интенсивности помехи основной вклад в ошибку фильтрации вносит составляющая, вызванная искагкением процесса Х(4) при его прохождении через фильтр. Для ее уменьшения необходимо повышать коэффициент передачи фильтра А, 45 и расширять его полосу пропускания, что кг, и достигается уменьшением постоянной времени фильтра Т,.
При 5„=0 постоянная Т,=О, и оптимальный фильтр становится безынерционным. Напротив, при го увеличении спектральной плотности поРггс 5.5 мехи растет вызванная ею составляющая ошибки фильтрации, Для того чтобы уменьшить ее, в оптимальном фильтре уменьшается коэффициент передачи й, и путем увеличения постоянной времени Т, сужается его полоса пропускання. Комплексный коэффициент передачи К(/а) оптимального фильтра в контуре следящей системы, связанный с коэффициентом передачи соотношением (8.3), равен К (/ ьг) —— (8.42) Юл ! — Ф(/ог) гл 1+/мТф где я=)/1+р — 1; Тф=!/р.
Из (8.42) следует, что оптимальный фильтр в контуре следящей системы также состоит из последовательно включенных безынерционного и инерционного звеньев с параметрами, зависящими от характеристик задающего воздействия Х(!) н интенсивности помехи. Определенное удобство возникает в связи с тем, что постоянная времени Тэ фильтра зависит от ширины спектра процесса Х(!) и не зависит от уровня помехи, Поэтому при изменении уровня помехи в оптимальном фильтре достаточно изменять только коэффициент передачи безынерционного звена. 1ба Оптимальный фильтр при помехе, являющейся белым шумом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
