Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(8.106) Из сопоставления (8.!06) и (8.68) следует, что в данной задаче вектор х(!) содержит две компоненты х~(!) =Х(!) и хз(!), а мат- рицы Г, Н, Я постоянны; (8.! 07) =10 01 =Ы Уравнение (8.105) наблюдаемого процесса также запишем в мат- ричной форме, выразив «(!) через вектор х(!); «(!) = [1 О] ~ ' ~ + п (!) . хз, Из уравнения (8.108) и (8.70) вытекает, что в рассматриваемом случае матрицы С и К конкретизируются в виде С=[! О], К=Я„(0). (8.109) Нахождение структуры оптимального фильтра, выделяющего процесс Х(!) из смеси с шумом и(!), удобно начать с определения матрицы коэффициентов К,(!). Вектор х(!) в данной задаче со- держит две компоненты, поэтому матрица дисперсий ошибок О(!) имеет размер 2Х2. Запишем ее в виде .(!)=г- ~-~ (8.110) ~]-! Р 1 Так как согласно (8.73) К,(!) =О(!)С'К вЂ” ', то, учитывая (8.110) и (8.109), получаем К(!)= " " К'= " К з= "~ ' .
(8.1!!) Чтобы найти структуру оптимального фильтра для данной задачи, подставим в уравнение (8.72) матрицы Г, С, К,(!), определяе- мые выражениями (8.!07), (8.109), (8.1! 1), и запишем его в виде с!хго/й = х„(Ю)+ Я '17ы (!) [«(!) — х„(!)], г(хаю/Й=)~ ']7„(Е) [«(!) — х,о(!)] (8 112« Рис. 8л1 183 Уравнениям (8.112) соответствует схема, показанная на рис.
8.11. Для нахождения входящих в нее переменных коэффициентов Рн(/), Рюю(/) необходимо решить уравнение (8.75). Ограничимся для простоты рассмотрением установившегося режима, в котором 4(0(/)/И=О. Вычислим с учетом (8.107), (8.109) отдельные слагаемые уравнения (8.75): Р21 Р2 1)С2 р — 10р ~ Р и РНР12 ~ р — 1 !.Р21Ры Рюа Р12 з Н21Н' =(! 'Просуммировав все слагаемые уравнения (8.75), учитывая, что матРиЦа 1) симметРическаЯ и Рм=Рюь полУчим слеДУюЩУю систему алгебраических уравнений: а/22 2 — /т 1 р221 = О. 'Отсюда следует, что Р„ = ) Га /2222 Я = рГ/2„, 8 (О) 8„ (О), К.(!+/о~т1) лд (/ м)2 (8.
114) Кд = а„~Ю. ЮЮЮ = Ю„, 1'Ю. ЮЮ1Ю„ЮЮЮ: 4Г Т1 = Р11/Р21 ='Р' 482 (О)//2222 Зд(0). (8.115) Таким образом, в данной задаче оптимальный фильтр в контуре следящей системы состоит из двух интеграторов и демпфнрующей цепочки, параметры которых в установившемся режиме определяются соотношениями (8.! 14), (8.115). 184 Р„=)/Ю',Д = ( „) . (8.113) З установившемся режиме схему на рис.
8.!1 можно представить в виде структурной схемы следящей системы (рис. 8.4), в которой крутизна дискриминатора равна Яд, а операторный коэффициент передачи фильтра обозначен К(р). Комплексный коэффициент ,передачи этого фильтра, как следует из рис. 8.11 и соотношений (8.113), равен Пример 8.4. Синтез фильтра при описании задающего воздействия степенным полиномом.
Рассмотрим ту же задачу, что и ш предыдущих примерах, полагая„что воздействие Х(/) описывается. степенным полнномом первого порядка со случайными коэффици- ентами (8.117) с(хе/с(/ = О, В векторной форме эта система принимает вид (8.68), в котором вектор х(/), матрицы Г и (1 определяются следующими выражениями: ( г ) х т ( ( ) Г О 1 Я 0 (8.1! 8) Наблюдаемый процесс в рассматриваемом случае описывается выражениями (8.70), (8.89), и, следовательно, матрицы С, К.
равны С=-(! 0),к=8„(О). (8.119) Вектор х н матрицы Г, С, К, как следует из (8.118), (8.119), такие же„как в примере 8.3, поэтому найденные там дифференциальные уравнения (8.1!2) и структурная схема системы фильтрации остаются справедливыми и для рассматриваемого случая. Од-- нако коэффициенты лш(/) и /ез,(/) получаются иными. Так как в данной задаче формирующий шум отсутствует и С)=0, то уравнение (8.75) для матрицы Р(() дисперсий ошибок фильтрации принимает вид г( О/с(1 = Г()+ ПГ" — ПС' Р,. ' СП.
(8.120) Матрицу Р(1) можно найти, решив уравнение (8.120) путем описанного н: Я 8Л перехода к системе линейных уравнений (8.77), (8.78). Объем требуемых вычислений удается несколько сократить, если записать решение уравнении (8.!20) в виде Р(1) = Р(Е)Р (0()т(1),. 188 (8.121) )ь(1) =а +се,/, (8. 116) где ае, а~ — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями пие, па~ соответственно Формирующий фильтр в данном случае можно представить состоя- Л(г) щим из двух последовательно ' йи/р х„/р включенных интеграторов (рис. 8.12), внешнее воздействие на вхо- и,(а) па(а) де которых отсутствует и„(1) =О, .
8нг а начальные значения на выходах равны ие(О) =ае, и~ (0) =се~//е . Формирование воздействия )ь(1)' описывается при этом уравнением с(з)./г((а=О. Положив Х(() =х~(/), его можно заменить системой уравнений" первого порядка где Р(!) =Р з(0)+ ) а~(т)С' К зСа(т)з[т, (8.122) 5 а(а — переходная матрица формиру1ощсго фильтра, равная а(/) =е .
Вос- гз пользуемсн для определения матрицы а(/) соотношением, аналогичным (8.85); а [/) =З з((з! — Р] х), где согласно (8.107) и, следовательно, Опрсделнн обратное преобразование Лапласа для каждого элемента этой мат- рицы, получим (8:1 23) — /з/2/7 !/оз, + !//( ] (8.126) где йю = (1/озю+ //Гс) (!/озз+ /з/3Ц 14/4йз Подставлня (8.123) и (8,126) в формулу (8.!21), находим матрицу а(/). Элементы Рзз(/) и Рз,(/) матрицы ()(/), определяющие переменные коэффициенты передачи в схеме оптимального фильтра (рис.
8.11), равны озю+ озз /з+ о'„оз, /'/3 5„(0) 11() оз / оз /з оз оз //) 5з (О) 3 5з(0) ! 2 5'я(0) о' /+оз о' /з/25 (0) 5з (О) 35я(0) 12 5'з [О) Как видно иэ полученных выражений, коэффициенты /з1,= =/т-зРз!, /гзо=)с 'Рз, и дисперсия ошибки выделения сообщения 186 Перемнозкение матриц а; С", К ', С, а н последующее интегрирование дает следующий результат: ("а'Ст Ц вЂ” !Садк=и-х~ Г / /з/21 (8.124) 5 1/з/2 /з/3 ~ ' Значения компонент вектора х[1) в момент /=О, как следует из (8.! 16), (8.117), равны х~(0) =пю, хз(0) =аь В соответствии с (8.74) и определением величин аа, а, началыюе значение матрицы а(0) описываетсн выражением а(0) =(; ',,"1.
(8.125) 1«ьо '„озз! Учитывая (8.!22), (8.124), (8,!25), находим И/оз +/з/3/7 Р "(/)= — 1 йю ~ /з/2ГС Х,(1), равная 0п(1), с ростом 1 стремятся к нулю. Объясняется это тем, что коэффициенты аа и а~ постоянны во времени и при неограниченном увеличении времени наблюдения могут быть измерены с любой сколь угодно высокой точностью. Описанное уменьшение коэффициентов Я-'0п(1) и )с — 'Ом(1) приводит с ростом времени к размыканию системы фильтрации, изображенной на рис. 8.11.
Если действительный закон изменения воздействия отличается от принятого при построении фильтра,. такое размыкание является нежелательным, так как приводит к возникновению явления, называемого расходимостью фильтра. Оно проявляется в том, что истинное значение дисперсии ошибок фильтрации с некоторого момента времени начинает возрастать,. в то время как теоретическое ее значение продолжает уменьшаться.
Существует ряд методов борьбы с расходнмостью фильтров, В соответствии с одним нз них в модель формирования задающего воздействия (8.117) включается небольшой шум х(1). Коэффициенты Я вЂ” '0п и Я-'гам в установившемся режиме при этом отличны от нуля и полного размыкапия системы фильтрации не происходит. В заключение параграфа дадим краткую сравнительную характеристику рассмотренных в данной главе методов синтеза оптимальных линейных фильтров. В простых случаях, когда оптимальный фильтр является стационарным и описывается уравнением невысокого порядка, метод, основанный па решении интегральных уравнений для импульсной переходной функции фильтра, и метод.
пространства состояний примерно равноценны. При синтезе оптимальных нестационарных фильтров предпочтителен метод пространства состояний. Наиболее сложным этапом синтеза таких фильтров методом пространства состояний является решение матричного нелинейного дифференциального уравнения Риккатн. В общем случае оно требует применения ЭВМ. Однако решение этого уравнения в ряде случаев оказывается более простой задачей, чем решение интегрального уравнения Винера (8.19) для нестационарного оптимального фильтра. Заметим, что при синтезе оптимальных иестационарвых фильтров радиотехнической следящей системы путем решения интегрального уравнения (8.!9) возникает дополнительная трудность.
Импульсная переходная функция дф(1, О) нестационарного фильтра в контуре следящей системы связана с импульсной переходной функцией замкнутой системы, определяемой из уравнения Винера, его одним интегральным уравнением (8.4). Его также требуется решить в процессе синтеза. После того как оптимальная функция дф(1, О) найдена, отыскание по ней структуры фильтра остается достаточно сложной задачей. В противоположность этому метод пространства состояний позволяет найти структуру оптимального эквивалентного фильтра и оптимального фильтра в контуре следящей системы очень легко. При этом структура упомянутых фильтров определяется раньше и независимо от решения дифференциального уравнения для. Шт корреляцнонной матрицы ошибок (уравнення Рнккатт!), Особенно удобным применение метода пространства состояний оказывается в случае, когда выделяемый процесс непосредственно описывается системой линейных днфференцнальных уравнений, определяющей структуру формирующего фильтра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
