Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Проинтегрировав и-мерное апостериорное распределение ш(х, г) по и — 1 компоненте, получим Ф в(Х„г) = в(х„1) =)'...)' в(х, 1) г(х,... г(х„. (9.3) В качестве оценки Х,. (1) сообщения Х,(1) обычно выбирают найденное по распределению и(Х„г) апостериорное среднее значение сооб>цения Х,(1), Оценка Х„(1), как следует из (9.3), зависит в общем случае от вида апостериорного распределения н>(х, 1) для всех компонент процесса х((). Изменение этого распределения во времени определяется двумя факторами: 1) изменением самого марковского процесса х(1), априорная плотность вероятности которого описывается уравнением Фоккера — Планка (7,23), 2) накоплением сведений о процессе х(1) в результате наблюдения входной смеси и,„(1). Первый из названных факторов ведет к расширению апостсриорного распределения ш(х, 1), второй — к его сужению.
Результирующее изменение плотяостн вероятности и(х, 1) определяется (44) нелинейным интегро-дифференциальным уравнением д и>/д1= ЯВ(ш(х,1))+ [Я(х, 1) — Я„) ш (х, Г), (94) где Я (х, 1) = — — (и„(1) — н„(х, 1))'; 1 л'о !91 Ыф — линейный дифференциальный оператор, стоящий в правой части уравнения Фоккера — Планка (7.23) н заппсываемый с учетом (7,27) в виде д ! " " до йф — — — ~ — а,(х)+ — 'Я ~ — й!м.
(9.6) дх! 4; ~! 1дходх! Входящие в (9.6) функции ао(х) и коэффициенты Л!м определяются уравнениями (9.2). Уравнения системы нелинейной фильтрации, оптимальной в гауссовом приближении. Решение уравнения (9.4) даже в том случае, когда процесс х(() содержит только одну компоненту, является весьма сложной задачей. Поэтому часто приближенно полагают апостернорное распределение ш(х, !) нормальным (гауссово приближение в теории нелинейной фильтрации). Такое приближенное представление тем точнее, чем выше отношение снгнал-шум, чем ближе априорный закон распределения процесса х(!) к нормальному н чем больше время фильтрации.
Использование гауссова приближения приводит, конечно, к некоторой неоптнмальности синтезированной на его основе системы фильтрации. Если используется гауссово приближение, то уравнение (9.4) заменяется системой векторных дифференциальных уравнений дР да /да оо 1 доЯ О+О + Х+О О, Ш дх, ~дхо) 2 дхоо (9. 7) (9.8) до !7 до !7 до !7 д хоо дхд дхо дхо дх„ дао да, да, дх, дхо д х„ д' !2 дхо дхо да! дхо до Я д хоо до дхо до !7 дх„дх, да„ дхо до (3 д хоо дал д хо 192 где х, (!) — вектор оптимальных оценок процесса х (!); а (х,) нелинейная вектор-функция, компонентамн которой являются функции а;(х), входящие в уравнения (9.2); Р— матрица дисперсий ошибок фильтрации компонент вектора х(!); !ч, — матрица спектральных плотностей формирующих шумов х(!); дЯ(х„ !)/дх, — производная скалярной функции Я(х„!) по вектору х„ являющаяся вектором-строкой; да (х,) /дх„доя (х„!) /дх', — матрицы производных по вектору х, следующего вида: Уравнения (9.7), (9.8), (9.5) описывают систему нелинейной фильтрации, оптимальную в гауссовом приближении.
Определение по уравнению (9.7) структуры синтезированной оптимальной системы нелинейной фильтрации показывает, что она представляет собой следящую систему. Полученная оптимальная следящая система содержит несколько взаимосвязанных колец, в которых отслеживаются как информационный, так и неинформационные параметры сигнала и формируются их оценки. В основном кольце слежения информационный параметр Х(1) сигнала является задающим воздействием. Таким образом, теория оптимальной нелинейной фильтрации позволяет синтезировать структуру и параметры оптимальной по точности радиотехнической следящей системы.
Если формирование процесса х(() описывается линейным дифференциальным уравнением и сигнал линейно связан с х(г), то выполняются равенства а (х,) = Гх„а, (х, г) = Сх (1), (9,9) где à — матрица размером иХп; С вЂ” вектор-строка, содержащий и элементов.
Из (9.9) следует, что в рассматриваемом случае — = Р, Я(х„1) = — — (ио (г) — Сх,(г))о, (9.10) дхо Уо ( )- дог 1о 2 — = С" — (и„(1) — Сх, Щ д хо Чо до Я 2 — С" С. д х'о Уо Подставив выражение (9.9), (9.10) в (9.7), (9.8) и обозначив 2/Во= й-', получим уравнения (8,72), (8.75) оптимального линейного фильтра Калмана для случая скалярного наблюдаемого процесса г(1) =а,„(1). Таким образом, уравнения оптимального линейного фильтра, синтезируемого методом пространства состояний (фильтра Калмана), при скалярном наблюдаемом процессе вытекают из уравнений (9.7), (9.8), полученных в марковской теории оптимальной нелинейной фильтрации как частный случай.
Отметим, что это положение сохраняется и в более общем случае, когда наблюдаемый процесс является векторным, Из уравнения (9.7) видно, что в синтезированной системе оптимальной нелинейной фильтрации (оптимальной следящей системе) оцениваются все компоненты вектора х, в том числе и те, которые связаны с неинформационными параметрами сигнала.
Качественно целесообразность оценки неинформационпых параметров сигнала можно пояснить следующим образом, Наиболее благоприятные условия для фильтрации информационного параметра сигнала возникают в том случае, когда все остальные параметры сигнала известны точно. Так, при фильтрации фазы сигнала знание амплитуды сигнала и отношения сигнал-шум на входе системы фильтрации позволяет наилучшим образом выбрать~де 193 полосу пропускания.
В случае, когда сообщение заключено в амплитуде сигнала, а фаза является его неинформационным параметром, знание фазы позволяет осуществить синхронное амплитудное детектирование сигнала. Если известно являющееся неинформацпонпым параметром направление прихода сигнала, то совмещение с ним максимума диаграммы направленности приемной антенны обеспечивает максимальное отношение сигнал-шум на входе приемника. Образование в процессе работы системы фильтрации оценок неинформациопных параметроп сигнала позволяет уменьшить их первоначальную неопределенность и приблизить условия работы системы фильтрации к тем, которые существуют при известных точно пеинформациопных параметрах сигнала.
Точность оценки непнформацпонных параметров прн этом должна быть достаточно высокой, так как в противном случае использование оценок может привести не к улучшению, а к ухудшению фильтрации полезного параметра сигнала. Если времена корреляции полезного и пеинформацнонных параметров сигнала соизмеримы, то последние можно оценить обычно достаточно точно. Для получения высокой точности оценки неинформационных параметров сигнала, ширина спектра которых значительно превышает ширину спектра з>олезного параметра сигнала, может потребонаться весьма большое отношение сигнал-шум на входе системы фильтрации. В линейном случае матрица производных д>Я/дх'„как видно из (9.10), ие зависит от входного процесса и„,(/).
Поэтому в оптимальном линейном фильтре переменные коэффициенты передачи также не зависят от конкретной реализации смеси и„(/), что существенно облегчает их вычисление. В задачах нелинейной фильтрации поло>кение иное. В этих задачах производная д'Я/дх', зависит от реализации наблюдаемого процесса и„.(/), от формируемой оценки х,(1) и содержит флюктуационную составляющую, обусловленную действием помехи ич,(/). Наличие этой составляющей и зависимость матрицы д'Я/дх', от оценки х,(/), как следует из уравнений (9,7), (9.8), значительно усложняют систему фильтрации в целом. Упрощение системы фильтрации. Нелинейная система фильтрации заметно упрощается, если выполняются следующие условия: отношение сигнал-шум на входе системы большое, точность фильтрации высокая, неинформацнонные параметры сигнала известны точно (прн этом информационный параметр кроме сообщения может содержать мешающую составляющую).
Действительно, при большом отношении сигнал-шум роль флюктуационной составляющей производных д'1>/дх'„вызванной действием шума, в формировании матрицы дисперсий ошибок 0(1) невелика, и ее для простоты можно не учитывать, заменив д'ь//дх', усредненным выражением.
Усреднение должно быть проведено за время Л/, значительно превышающее время корреляции помехи, но меньшее, чем время корреляции компонент вектора х(1). При высокой точности фильтрации значение усредненной 194 производной д>я/дха, можно определять для оценки х,(/), совпадающей с истинным значением х(/). Если к тому же неинформационные параметры известны точно, то матрица производных д'Я/дх', так >ке, как и в оптимальном линейном фильтре, оказывается не зависящей от реализации наблюдаемого процесса и„(/) и формируемой оценки х,(/).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
