Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Часто полагают также /з,т.=1 и записывают передаточную функцию эквивалентного формирующего фильтра в виде К (3) = (1 — е — 5т)/Б. (10.12) Структурные схемы дискретных систем, к которым сводятся системы прерывистого регулирования без фиксатора и с фиксатором, оказываются прн этом одинаковыми (рис. 10.12) и отлича- х08 ются только передаточной функцией формирующего фильтра. Для системы с фиксатором она описывается выражением (10.12), а для системы без фиксатора выражением (10.б). Наличие в составе рассматриваемых систем импульсного элемента, осуществляющего временную дискретизацию процессов, наделяет эти системы рядом особенностей, которые обсуждаются в последующих параграфах данной главы.
Необходимо отметить, что дискретизация процессов во времени нмеет место также в целом ряде других систем, в частности, в цифровых следящих системах, рассматриваемых в гл. 11. Поэтому описываемый в последующих'параграфах главы математический аппарат и методы анализа в значительной мере применимы также для анализа цифровых следящих систем, 10.2. Математическое описание дискретных систем ~ х(ь Т) е — мг ь=о (10.13) Некоторое неудобство при работе с изображениями Хк(з) состоит в том, что они оказываются трансцендентными функциямн переменной з. В связи с этим широкое распространение получило зев Дискретные процессы н з-преобразование.
Рассмотрим дискретную систему, изображенную на рис. 10.12, и положим первоначально для простоты, что флюктуациопное напряжение ~,,(1) =О. Воздействие 1.(1) на входе рассматриваемой системы является непрерывным процессом. Однако наличие в составе системы импульсного элемента (ИЭ) приводит к тому, что в формировании выходного напряжения д(1) участвуют только значения воздействия 1. (1) в дискретные моменты времени 1=0, Т, 2Т..., называемые тактовыми точками, т. е.
значения дискретного процесса Х(йТ). При изучении выходного процесса системы у(1) во многих случаях достаточно знать его значения лишь в дискретные моменты времени 1='кТ, т. е. значения дискретного процесса у(йТ). Задача математического описания дискретной системы сводится к установлению связи между дискретными процессами на входе и выходе системы. Для опвсания дискретных процессов и их изменения во времени используется специфический математический аппарат. Место интегралов и производных от непрерывных функций времени занимают при этом суммы и разности значений дискретных процессов, место дифференциальных уравнений — разностные. Наряду с разностнымп уравнениями прн анализе процессов в дискретных системах используются дискретные преобразования Фурье и Лапласа, з-преобразование и некоторые другие. Дискретное преобразование Лапласа является аналогом преобразования Лапласа для непрерывных процессов.
Оно введено для днскретных процессов х(АТ) и описывается выражением г-преобразование, которое вытекает из (10,3) при замене е'т новой переменной г и имеет следующий вид: Х (г) = Я х (й Т) г — ь. (10.! 4) г=о В сокращенной (символической) форме выражение (10.14) запи- сывается в виде Х(г) =г(х(й Т)). (! 0.15) Как правило, г-изображения Х(г) являются дробно-рациональными функциями переменной г, Так же как и для преобразований Фурье и Лапласа непрерывных функций, для г-преобразования существует ряд теорем, определяющих его свойства. Отметим среди ннх теорему обращения, позволяющую найти оригинал х()гТ) по его изображению Х(г): х(йт)= ! 1 Х(г)г" — ' аг, (10.16) 2п! „ где контур Г охватывает все полюсы подьштегральпого выражения, теорему о конечном значении оригинала х(й Т) =11щ(г — 1) Х(г); (10.17) ь-а л-1 теорему свертывания оригиналов ь Л У х,(! — (Т)х,(1Т) ! =Х,(г)Ха(г); (10.18) теорему сдвига оригинала по времени (10.19) Х (х (! — п Т) ) =- г —" (Х (г) + ~~ г"' х ( — и Т)1.
т=! Если процесс х(1) равен нулю при 1<О, то запись теоремы сдвига упрощается; 2(х(! — пТ))= г "Х(г). (10.20) г-преобразование может быть записано также для непрерывной функции времени Х(г) =2(х(1)). (10.21) Такая форма записи означает, что непрерывная функция времени х(1) заменяется дискретной х(йТ) п преобразуется далее в соответствии с выражением (10.14). В некоторых случаях опериру1от г-преобразованием изображения по Лапласу Х(з) непрерывного процесса х(1) н записывают его в виде г.(Х(з)).
По определению 2(Х(з)) совпадает с г-преобразованием самого процесса х(1), т. е. Е (Х (з)) .= Л (х (1)). (10. 22) 2!О Из соотношений (10.15), (10.21), (10.22) таким образом следует, что Х(х) =Л(х()г Т)) =7(х(1))=2(Х(з)). Практическая работа с з-преобразованиями упрощается с применением таблиц таких преобразований для часто встречающихся функций, часть из которых приведена в приложении 1. Передаточные функции дискретных систем. Использование з-преобразования для анализа дискретных систем во многом аналогично использованию преобразования Лапласа при анализе непрерывных систем.
Необходимым этапом такого анализа является нахождение передаточной функции дискретной системы, которая определяется как отношение з-преобразований выходного и входного процессов системы при нулевых начальных условиях в сястеме. Познакомимся с методикой определения передаточной ~функции дискретной системы па примере системы, изображенной на рис. 10.13. Для получения более общего результата приведенная непрерывная часть дискрет- ной системы (рис.
10.12) «1«1 М«1 и11«1 о10 представлена на рис. 10.13 зд 1 к 1«1 в виде двух звеньев с коэффициентами передачи К~(р) кг1«1 и К,(р). Выходным процессом системы является про- Рис. 10.1З цесс п(1). Для определения в рассматриваемой замкнутой дискретной системе передаточной функции К«о(х) необходимо найти з-изображения воздействия 1.(1) и вызванного им процесса п(1). Установим сначала связь между з-изображениями ошибки слежения х(1) и процесса о(1). Из рис.
10.13 и (10.2) для коэффициента передачи импульсного элемента следует, что на выходе этого элемента формируется напряжение и (1) = Яи ч~~~ х (1г Т) б(1 — Ь. Т), «=о описываемое модулированной последовательностью дельта-функций. При подаче ее на вход фильтра с коэффициентом передачи К, (р) на его выходе образуется процесс Ю о (1) = Зд ~~~~ х (1г Т) в'г (1 — А Т) «=о где дг (1) — импульсная переходная функция фильтра.
Подвергнув обе части этого равенства з-преобразованию, с учетом теоремы (10.18) свертки оригиналов и равенства (10.22) получим 1' (7) = и Кг (х) Х (2), (10.23) где Кг (з) =Цдг (1) ) =с(Кг (з)) — изображение импульсной переходной функции дг(1), совпадающее с з-изображением передаточ- '211 (10.25) ной функции К,(з), связанной с д,(!) преобразованием Лапласа. Ошибка слежения в рассматриваемой системе равна х(() = )с (!) — у (().
(10.24) Выполнив г-преобразование равенства (10,24), найдем Х(г) =Л(г) — У(г), где Л(г), У(г) — г-изображения процессов ),(!) и у(!). Связь между г-изображениямп процессов х(() и у(!) устанавливается аналогично выводу соотношения (10.23) и имеет вид )х (г) = 8„К„„(г) Х (г), (10.26) где К„п(г) =Я(Кпп(з)) — г-изображение функции К,п(з) = = К, (з) Кг(з), являющейся передаточной функцией приведенной непрерывной части системы. Подчеркнем здесь, что г-преобразование произведения функций К,(з) и Кг(з) не равно произведенио пх г-изображений. Из формул (10.25), (10.26) следует, что Х(г) =Л(г)/(1+5дК„п (г)). (10.27) Подставив (10.27) в (10.23), получим Р(г) = ЯггК'(') Л(г).
(10,28) 1 + хд Кпд (г) Из (10.28) вытекает, что искомая передаточная функция рассматриваемой замкнутой дискретной следящей системы описывается соотношением (10.29) 1+ хг К п(г) В частном случае отсутствия фильтра в цепи обратной связи, когда Кг(р) =1, К (р) =Кг (р), и(() =у(!), имеем К..(г)=К„(г)= ~дК'"", (10.30) ) + пд Кпп (г) При анализе ошибок слежения в тактовых точках используется передаточная функция Кх„(г), связывающая г-изображения воздействия ).(!) и ошибки слежения х(!), Как видно нз (10.27), она равна Кгх (г) = 1/(1+ удКпн(г)). (10.31) Отметим, что импульсная переходная фушсция дп,(() приведенной непрерывной части реальных систем всегда удовлетворяет условиго д„„(0) =! (гп з К„п (з) = О. (! 0.32) Прп упрощенном описании передаточной функции Кп„(з) формулы (10.29) — (10.31) остаются справедливыми для таких систем только в том случае, если упрощенная функция К (з) также удовлетворяет условию (10.32) .
Из (10.29), (10.31) следует, что для определения передаточной функции дискретной системы необходимо найти г-изображения функций К!(з), К„н(з). Обычно для этой цели служат таблицы г-изображений. Прн использовании в системе фиксатора передаточная функция формирующего фильтра записывается в виде (10.12), а передаточная функция приведенной непрерывной части системы в соответствии с (10.11), (10.12) описывается выражением Ки, (з) = (1 — е-'г ) Кф (з)/з, (10.33) где Кф(з) — передаточная функция фильтра, включещюго после фиксатора. 7-изображение функции (10.33) удобно находить следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
