Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Пример 10.6. В системе, изображенной на рис. 10.15, рассчитаем в тактовых точках дисперсию ошибки слежения в установившемся режиме, вызванную флюктуационным напряжением $,,(г). Статистические характеристики напряжения ~,,(1) получены в 10.1 при описании системы с прерывистым радиосигналом как дискретной системы автоматического управления. Корреляционная функция этого напряжения удовлетворяет условию (10.86).
Поэтому его спектральная плотность 5(г) равна 5(г)=о'„ (10.88) 226 гДе ого — диспеРсин пРоцесса 9,(1), опРеделЯемаЯ Равенством (!0.10). Передаточная функция Ке,к(г) в рассматриваемой дискретной системе выводится аналогично (!0.30) и описывается выражением Кпн (г) К ()' Принимая во впнмашие (10.35), (10.36), получаем — йы 1 1+ Яд — 2 — г — 1+К,т г 1аг Подставив (10,88), (10.89) в (10.81), запишем «(и = 2п а '! г — 1+К„Т [ г=,— „1-1-из 2(иг т'"в "и (1090 2п 1 [Кот+/и(2 — КеТ)! [КеТ вЂ” 1'и(2 — КрТ)! Сопоставив (10.90) с (6.11), находим, что в рассматривасмом случае и= 1, [ге=2йгнТгото, ае = Кот, а,=2 — К„Т.
После подстановии найденных коэффициентов в выражение для Уг получим ох (10.91) 5,2 — к„т ' Так как в соответствии с (10. 10) ог,=5й (0)/ти, то равенство (10.91) принимает вид (10.92) яг где Я=Т[т„— скважность прерывистого сигнала иа входе системы. При К„Т- О, („)-~-1 формула (10.92) переходит в выражение для дисперсии ошибки слежения в системе с непрерывным сигналом. Как видно нз (10.92), наличие прерываний входного сигнала приводит к увеличению дисперсии ошибки слежения, зависящему от скважности (,1 входного сигнала. При увеличении периода Т дисперсия ог, также возрастает.
При К,Т=2 система становится неустойчивой я дисперсия ошибки слежения в ней нозрастает неограниченно. Определение дисперсии выходного процесса диснретной системы в переходном режиме. Дисперсия аг,(йт) процесса о(йт) на выходе дискретной системы в переходном режиме определяется [20) выраженном А а',(Ьт) =-. 2 Ч~~ афпг(1Т) й(!Т), (!0.93) г=.в являющимся дискретным аналогом (бм9).
В формуле (10.93) ф„,(гг) — дискретная импульсная переходная функция сисгемы, снязанная с ее дискретной передаточной функцией К„„. (г) обратным г-преобразованнем ф„„(ет) = 2 — (Кпе(г)) . — 1 Вч 227 Ес можао найти, зная К„„(з), например, с помощью теоремы о вычетах. Входяшая в (10.93) вспомогательная функция й(1Т) определяется соотношснисм Ь (гТ) — 2 (Кии (з) Яд (з) )7 (О)!2]) в котором (Га(з) — з-нзображснис корреляционной функции 44(т) случайного воздсйствия на входс систсмы. Если воздействие является широкополосным и сто коррсляциапиая функция к(т) удовлетворяет условию (!0.86), то гйя(з) = =Я(0). Формула (1093) прниимаст ари этом весьма простой и очспь близкий (6.48) вад [10.96) оз„(1гТ) = гт (О) ~ грзяч (гТ).
(10.94) г=о Приманим сс для расчета днспсрсни оишбки слсгксиия в пароходном режимс, вызванном пояплсиисм шума $,,(1) в систсмс, обсуждаашсйся в примере 10.6. Дпскрстиая псрсдатошая фушагия рассматрнвасмой систсмы описывастся вы- ралгспнсм (10.89).
Ей соотвстствуст импульсная псрсходиая функция гр(1Т) =1гаТ(К,Т вЂ” 1)г ' при 1 > 1, гр(0) =О. (10.96) Подставляя (1095) в (1094) и используя формулу для суммы членов гсомст- ричсской прогрсссии, получасы пзя(йТ) =, " " !1 — (1 — К„Т)з'1. 5'д (2 — К,Т) Прн К,Т(2 спстсма устой шаа и днспсрсия о' (йт) с ростом й, как слсдуст из (10.96), стрсмится к устаповившсмуся зиачспню, опрсдслясмому формулой (1О 91), Упрощение непрерывной системы, эквивалентной диснретной. Формулы (10.73), (10.81) и (10.93) позволяют вычислить дисперсию выходного процесса дискретной следящей системы при произ- вольном соотношении между полосой ее пропускания ЬЕ, и часто- той временной дискретизации Р.
Однако расчет по этим формулам, как видно из примеров 10.5 и 10.6, связан с проведением громозд- ких выкладок. Если частота дискретизации К во много раз превышает полосу гхг„то описанная в начале данного параграфа непрерывнан си- стема, эквивалентная дискретной, может быть существенно упро- щена.
Соответственно упрощается н определение характеристик выходного процесса дискретной системьг. Напомним, что при про- извольной частоте г" непрерывная система, эквивалентная дискрет- ной, имеет комплексный коэффициент передачи К.()ш), определяе- мый выражением (10.7!), а спектральная плотность Яв(ш) экви- валентного воздействия па ее входе описывается выражением (10.72). Покажем, как упрощается эквивалентная непрерывная система при высокой частоте Г сначала для разомкнутой дискретной си- стемы, состоящей из импульсного элемента и приведенной непре- рывной части (рис.
10.19). Комплексный коэффициент передачи такой дискретной системы К ((ш) выражается через коэффициент передачи приведенной непрерынной части К а((ш) соотношением Кд((ш) = ч~~ ~— К,ш()ш+11й„). (10.97) г= — о 228 При узкой по сравнению с частотой Т полосе пропускания приведенной непрерывной части системы коэффициент передачи Кд(!ги) на интервале частот от — 12и!2 до 12,/2 описывается только одним слагаемым ряда (!0.97), соответстнующим 1=0. Коэффициент передачи непрерывной системы эквивалентной дискретной согласно (10.71) и (10.11) при этом ранен К,(! )=- — К„иО.) == — К„(! )К,(! )= 1 . 1 ж — Кзф(0) Кф(!а).
Т (10.98) Рис. !020 Рис. !О.!9 Из (10.98) следует, что при высокой частоте Р разомкнутая дис-. кретная система эквивалентна непрерывной, которая образуется из дискретной заменой импульсного элемента звеном с коэффициентом передачи 1!Т плп заменой импульсного элемента и формирующего фильтра звеном с коэффициентом передачи й= =Кфир(0))Т. При этом на вход эквивалентной непрерывной системы в общем случае должно подаваться эквивалентное воздействие иа (!) со спектральной плотностью, определяемой выражением (10.72) . Описанный переход к эквивалентной непрерывной системе справедлив и для замкнутой дискретной системы, если ее полоса пропускания много меньше частоты временной дискретизации Р. Полагая, что это условие выполняется, заменим эквивалентной непрерывной дискретную систему, изображенную на рис.
10.12. Импульсный элемент н формирующий фильтр заменяются прн этом„ как и в случае разомкнутой дискретной системы, звеном с коэффициентом передачи й=Кьф(0)!Т. Воздействия, поступающие на входы дискретной системы (рис. 10.12), также заменяются эквивалентными. Флюктуационное напряжение $,(!) заменяется при этом воздействием $,з(!) со спектральной плотностью 5гз(ы), описываемой формулой (10.72). Так как процесс ~,(!) является широкополосным и его корреляционная функция удовлетворяет соотношению (10.86)„ то спектральная плотность 5 1а(ы), как вытекает нз (10.74), (10.87), равна 51, (и1)=Та'„ где и',— дисперсия процесса $,(!).
С учетом (10.10) выражение (10.99) принимает впд 5 (ы) = 51 (О) Т)т„= 51 (О) 1',1. 9 — 18 229 (10,99) (10.100) Из (10.100) следует, что флюктуациопное напряжение $,в(1) на выходе дискриминатора эквивалентной непрерывной системы является белым шумом со спектральной плотностью, пропорциональной скважности радиосигнала на входе следящей системы.
Воздействие Х(1) при переходе к эквивалентной непрерывной системе, строго говоря, следует заменить эквивалентным )лх(1) со спектральной плотностью 5хв (ш), описываемой выражением (10.72), Однако, если частота дискрстизации Р превышает ширину полосы пропускапия спстемы, то она, как правило, значительно превышает и ширину спектра воздействия Х((). Прн этом на интервале частот )ол) (Р„/2, где коэффициент пеРедачи Ка((ш) эквивалентной непрерывной системы может отличаться от нуля, спектральная плотность 5хх (ш) эквивалентного воздействия Хд(1) совпадает, как вытекает из (10.72), с 5х(ш).
Следователы!о, при высокой частоте дискретизации эквивалентное воздействие Хх(1) совпадает с Х(1). В результате описанных преобразований дискретная система (рис. 10.12) при высокой частоте дискретизации заменяется очень простой эквивалентной непрерывной системой, изображенной на рис, !0.20. Для исследования этой системы полностью применим математический аппарат и расчетные соотношения, приведенные в предыдулцих главах книги. Если в системе прерывистого регулирования используется фиксатор, то передаточная функция формирующего фильтра определяется формулой (10.12). Коэффициент /е в схеме на рис.
10.20 при этом равен А=Кфф(0))Т=1, и эквивалентная непрерывная система дополнительно упрощается. При отсутствии фиксатора в системе прерывистого регулирования передаточная функция формирующего фильтра описывается выражением (10,6). При этом А= =Кфф(0)/Т= 1Я. Из рис. 10.20 видно, что если коэффициент передачи фильтра Кф(р) в системе без фиксатора сделать в Я раз большим, чем в системе с фиксатором, то ошибки слежения в обоих системах окажутся одинаковыми.
Задачи 1ОЛ. Для системы, изображенной на рис. 10.12, найдите передаточную функцию Кх (г), если Кее(р) = (1 — е — тт)!р и Ке (р) =Ц(!+руе) 10.2. В дискретной системе (рнс. !О.!2) найдите передаточную функцию К„„(г), приняв, что Кее(р) = (1 — е-и')(р, Ке(р) =д„(1+рТ,)(р'. 10.3. Определите условия устойчивости системы, рассматрвваемой в задаче ! 0.1. 1Олк Найдите значения ошибки слежения в установившемся режиме для системы, описанной в задаче !02, приняв, что Х(0 =аяте, й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
