Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 51
Текст из файла (страница 51)
: 217 (10.51) Знание передаточной функции К(г) дискретной системы позволяет провести анализ такой системы, в частности исследовать ее устойчивость. Устойчивость дискретной системы, так же как н непрерывной, связана с определенным расположением полюсов ее передатосшой функции на комплексной плоскости. Как следует нз гл. 4, непрерывная система устойчива, если полюсы ее передаточной функции находятся в левой полуплоскости комплексной переменной з.
Если, учитывая равенство г=е'т, представить передато*шую функцию К(г) дискретной системы в виде К(е'т), то условие ее устойчивости формулируется аналогично: дискретная система устойчива, если полюсы ее передаточной функции К(е'т) находятся в левой полуплоскости комплексной переменной з. При замене переменных г= е'т левая полуплоскость переменпой з преобразуется в круг единичного радиуса на плоскости переменной г. Поэтом диск етная система стойчпва если полюЗнишн"ци- уют' " * " " л "ну Рн Еу Ю и! р т Н тф тами 'Ст, ' Л 'тельно, удовлетворяют условиям ~ (г;(< 1,1=!,2,...,и. ~ч Полюсы г; являются корнямн характеристического уравнения си- Для уравнения второго порядка (а=2) они имеют следующий вид: а,-(-а +а,) О, а,— а,+ аз) О, (10,52) а,— а,) О.
При п=3 указанная система неравенств принимает вид а,+а,+а,+аи) О, а,— а,+а,— а,) О, а',— а',+а, а,— а,а,) О, 3(аз+ ао) — аи — а~) 0 3(а,— а,)+а,— а,) О. (10.53) Системы неравенств для случаев п=4 и п=5 приведены в 1491. Устойчивость дискретных систем можно проанализировать также с помощью частотных критериев устойчивости, например кпитерня Найквпста.
Как и непрерь1вная, замкнутая дискретная система' является устойчивой, если годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы не охватывает точку — 1,10 на плоскости комплексной переменной си. Напомним 1то комплексный коэффициент передачи дискретной системы получается из ее передаточной функции К (г) при подстановке г= ез т. Так как комплексный коэффициент передачи дискретной системы является-периодической фуйкцией частоты, при построении годо: графа достаточно изменять частоту в пределах от 0 до 11,=2л/Т. Пример 10.2. Проанализируем устойчивость дискретной системы, изображенной на рис.
10.15. Передаточная функция Кх„(а) этой системы найдена в примере 10.1 и описывается выражением (10.39). Следовательно, характеристическое уравнение системы имеет впд А (г) = г — 1+ Кс Т = О. (10.54) Из (10.50), (10.54) вытекает, что в рассматриваемом случае и=1, а,=1, а,=К„Т вЂ” 1 и неравенства (10.51), определяющие условия устойчивости системы, записываются так; К„Т>0, К„Т<2, Рис 10.1Б Выполнение второго из найденных условий устойчивости накладывает ограничения на допустимые величины периода дискретизации Т и коэффициента передачи К, по контуру регулирования. Напомним, что непрерывная система с одним интегратором устойчива прн любой глубине обратной связи.
2!8 Для пояснения причин нарушения устойчивости рассматриваемой дискретной системы обратимся к ее схеме, показанной на рис. 10.15. Положим, что воздействие Л(!) =О„а при 1=О существует начальное значение ошибки х(0) = — у(0), обусловленное ненулевым начальным значением процесса на выходе интегратора., Как видно из схемы, при этом на интервале времени О...Т на входе интегратора формируется постоянное напряжение Я„х(0). В результате его интегрирования изменение процесса у(!) и ошибки слежения на этом временном интервале описывается выражениями у(!) =у(О)+эхй„х(0) 1, х(!) = — у(!) =х(0) — Я„,й„х(0) 1.
Прп 1=Т значение ошибки слежения оказывается равным х(Т) = х(0) (1 — К„Т). (10.55) Как следует из (10.55), за время Т, равное периоду коммутации импульсного элемента, ошибка слежения при К„Т с.! уменьшается. При 1<К,Т<2 возникает некоторое перерегулированпе и ошибка меняет знак. При К„Т>2 ошибка в момент 1=Т пе только меняет знак, по и оказывается по абсолютной величине больше первоначальной. 11а по- й! к„т>г следующих временных интервалах прн дб этом происходит дальнейшее увеличение "!б1 ! ошибки (рис. 10.16), что свидетельствует о неустойчивости системы. 0 — э Как видно из проведенного рассмотггп г 3г рения, причиной неустойчивости дискрет- 1 ной системы прн больших значениях К„.Т ! является прерывистый характер процесса регулирования, прн котором управляю- Рис. !О.!б щее напряжение на входе интегратора определяется не текущим значением ошибки слежения, а лишь его значениями в дискретные моменты времени 1='яТ.
10.4. Анализ детерминированных процессов в дискретных системах Реакцию дискретной системы на детерминированное воздействие можно найти методом г-преобразования. Прп этом, если начальные условия в системе нулевые, путем перемножения г-изображения Л(г) воздействия 1,(!) и передаточной функции К~„(г) определяется г-нзображение Г(г) выходного процесса, равное 'г' (г) = К,, (г) Л (г), (10.56) и затем по нему отыскивается сам дискретный выходной процесс о('яТ) . Существует несколько способов нахождения процесса и(ИТ) по его изображению )г(г).
В общем случае переход от Г(г) к о(йТ) 219 определяется интегралом обращения (10.16). Для его вычисления можно использовать теорему о вычетах, в соответствии с которой о(А Т) = — ~ $'(г) ге — ' с(г = ~ Выч [Г (г) ге ' ), (10.57) 2п) г г! где з! — полюсы подынтегральной функции )(з) =у(я)гь-'.
Напомним, что вычет функции )(г) в случае простого полюса равен Выч Т (г) = 1!гп (г — г;) 7 (г). (10.58) г зе Вычет в полюсе т-го порядка описывается выражением дт-! Выч Т (г).= 1)гп — ((г — г,)'" 1 (г)). г- ! (т 1)! д г В ряде случаев удается найти процесс о(яТ) по его изображению )т(з) с помощью таблиц г-изображений временных функций. При этом может оказаться целесообразным предварительно представить У(з) в виде суммы простых слагаемых. Еше один способ определения процесса о(йТ) по изображению У(г) основан на разложенин изображения У(г) в ряд по степеням г-', т.
е. на представлении ега н виде 0 У (г) = ~ ~ ~!ьг а=п (!0.59) Из сопоставления этоса выражения с определением г-преобразования следует, что коэффициенты 1л ряда (!059) совпадают со зяачениялли процесса о(йТ). Если изображение У(г) является дробно-рациональной функцией г, то его всегда можно представить в виде па+о,г +...+о~г У (г)— 1+Д,г '+...+Д,г" (10.бО) и найти коэффициенты !л простым делением числителя этого выражения на знаменатель. Выполнение этой процедуры показывает, что коэффициенты 1м равные значениям процесса о(йТ), определнютсн рекурреитнылл соотношением е )ь = и (аТ) = оь — ~рло (ИТ вЂ” лТ) де, й > 1, (!О.ОЦ 1 о(АТ) = !пп(г — !) Г(г). а о г 1 (10.62) Пример 10.3.
Определим в дискретной системе, показанной на рис. 10.15, ошибку слежения при воздействии Л(1) =а 1(!) и ьз(1) =О. 220 где о(О) =оз, а коэффициенты ил=О при й)т и дл=О при л)т Если достаточно знать значение выходного процесса только в установившемся режиме, то для определения его в устойчивой следящей системе удобно применить теорему (10.17) о конечном значении оригинала Изображение Х(г) ошибки описывается выражением Х(г) =К,„(г)Л (г), Передаточная функция рассматриваемой системы найдена в примере 10.1 н бпределяется выражением (10.39). По таблицам г-изображений, помещенным в приложении 1„находим изображение Л(г) воздействия )л(!) Л (г) = аг/(г — 1), (! 0.63) Из (10.39), (10.63) следует что Х (г) = аг!(г — 1 + К„Т).
(10.64) Значение ошибки в тактовых точках в установившемся режиме найдем по теореме о конечном значении оригинала х (А Т) = )пп (г — 1) Х (г) = О. а ч «-! Для определения значений х(иТ) ошибки слежения в тактовых точках в переходном режиме применим теорему о вычетах. Интеграл обращения (10.16) записывается в рассматриваемом примере в виде х(й Т) = —, ф' с(г. (10.65) 2И! 1.
х — 1+ К„Т Подынтегральная функция в (10.65) имеет один простой полюс г,=) — КеТ. При этом в соответствии с (10.57), (10.58) получим х(йТ)=Выч ~ и' 1=1!таг» =а(! — К,Т)«. (10.66) г ! з — !+Кет ! г « Вычисленные по формуле (10.66) значения ошибки слежения в тактовых точках при К,Т=0,5 и 1,5 отмечены на рис. !0.16 кружками. При этол! х(0) =а. В рассматриваемом примере можно также найти процесс «(йТ), зная его изображение Х(з), непосредственна па таблицам з-преобразований. Представим для этого выражения (1064) в виде Х(г)=из)(з у~), у,=! — К.Т.
Тогда, обращаясь к таблицам з-преобразований, получим «(йг)=пу«1=о(1 — К Т) х, что, естественно, совпадает с результатом, полученным с помощью вычетов. Проиллюстрируем на данном примере методику определенна дискретного выходного процесса путем разложения сто изображения в степенной ряд. Поде. лив числитель и знаменатель выражения (10.64) на з, запишем его в виде и (10.67) 1+(Кгг — ) з Сопоставляя (!0.67) с (10.60), находим коэффициенты ое=п, гЬ=К,Т вЂ” !.
Подставив их в рекуррентную формулу (10.61), нетрудно убедиться в, том, что получается результат, совпадающий с предыдущим, «(йт) =а( — и,)ь=й(!— — К„Т)ь. Для определения реакции дискретной системы на детерминированное воздействие можно воспользоваться также описывающим ее разностным уравнением (10.41). При невысоком порядке этого уравнения, решая его, можно получить аналитическое выражение 221 для процесса в(АТ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
