Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Представим это изображение в виде К„н (г) = Я (Кф (з)/з) — Е (е-'г К„(з)/з). (10.34) Обозначим 2 (Кф (з)/з) = Ю (г). (10.35) Умножение изображения по Лапласу на е-'т соответствует сдвигу оригинала, являющегося функпией времени, на величину, равную Т. Поэтому, учитывая теорему сдвига (10.20) и обозначение (10.35), можно записать !(„н (г) = Л' (г) — г ' Л' (г) = — Л' (г). (10.36) 2 Входящая в (10.36) функция Х(г) легко отыскивается по табли- цам г-изображений. Пример 10.!. Найдем передаточную функцию К „(н) дискретной свстены, приведенная непрерывная часть которой состоит из формирующего фильтра (10.12) и одного интегратора. Передаточная функция приведенной непрерывной части рассматриваемой снстены ранна ! — е йа Кни(з) = (10.37) Для определения ее з-изображения К,„(з) воспользуемся соотношенияин (10.35), (10.36). Обрзшаясь к таблицан з-изображений, приведенным а приложении 1, запишен !уб(г) = г (Кф (з)/з) = Е (йн/зз) = Тзйа/(з — !)', Отсюда с учетам (1036) Кнн(з) = раей/(а !) ° Подставляя (10.38) в (!0.31) н обозначая бнй„=Кя находим передаточную функцию Кз„(з) заикнутой дискретной сястены 2 — 1 Кгк(а) = (10.39) Разностные уравнения.
Знание передаточной функции дискретной,системы позволяет описать связь между дискретными процессами на ее входе и выходе с помощью разностного уравнения. 213 Чтобы получить это уравнение, представим передаточную функцию К(г) системы в виде дробно-рациональной функции переменной г-' К() Ьз+Ьг +...+Ьюг™ (10.40) 1+атг т+ .. +алг и Подставив (1040) в уравнение )г(г) =К(г)Л(г), запишем (1+а,г '+...+а„г — л)1 (г)=(Ью+Ь,г г+, +Ь гл)Л(г). Применим теорему обращения к обеим частям этого уравнения. Используя теорему (10.20) и полагая, что т (1) =щ(1) =0 прп 1(0, получаем па+ ат оа т+...
+ ал оа „= Ье си + Ьт Ха т+... + Ьы Ха где введены обозначения о(/гТ) э оа, Х(lгТ) =Хь Решив это уравнение относительно ою представим его в виде ~л л па='5', Ь;)а ! — к~~~ а!ил и (10.41) т-а т=! Выражение (10,41) является разностиым уравнением, связывающим значения выходного процесса и(иТ) с его значениями в предшествующих тактовых точках и значениями воздействия в моменты времени 1=ОТ, (й — 1)Т, „,, (и — т) Т. В качестве иллюстрации запишем разностное ураннеиие для системы, рассмотренной в примере 10.1, Передаточная функция и „(г) в этой системе опн. сывается формулой (!039).
Поделии числитель и знаменатель (1039) на получим 1 — г Кл (г)= (! 0.42) ! + (Клг — 1) г Сопостзвленне (1040) и (!042) показывает, что в рассматриваемом случае т=л=1, Ьа=1, Ь~= — 1, а~=К,à — 1 и разностное уравнение, связывающее значения ошибки слежения и воздействия, имеет вид — (к.т Ига ! (10.43) В ряде случаев, некоторые из которых рассматриваются в гл. 11, исходным описанием дискретной системы является разностпое уравнение вида (10.41). Зная его, можно найти передаточную функцшо дискретной системы.
Для этого необходимо выполнить с использованием теоремы сдвига г-преобразование обеих частей уравнения (10.41) и определить, пользуясь выражением, отношение $'(г)/Л(г). Операторные коэффициенты передачи. Разностное уравнение дискретной системы вида (10.41) можно записать в компактной форме, если использовать операторный коэффициент передачи. Для его получения введем оператор с, действие которого на временную функцию о(1) приводит к ее сдвигу по'времени на величину Т. При этом выполняются следующие, соотношения: си (1) = и(1 — Т), сг и (1) = и (1 — 2 Т),..., с и (1) = и (1 — п Т).
2!4 При использовании введенного оператора с уравнение (10,41) записывается в виде о (й Т) = К (с) ~ (й Т), (10.44) где Ьо+ Ь> с+... + Ьо> с (10.45) 1+и>с+ ...+а„с" — операторный коэффициент передачи дискретной системы. Как видно из (10.40), (10.45), операторный коэффициент передачи, связывающий процессы на входе и выходе дискретной системы, можно получить из ее дискретной передаточной функции, записанной в форме (10.40), заменой комплексной переменной з ' на оператор с.
Комплексные коэффициенты передачи дискретной системы. При анализе устойчивости непрерывных систем с использованием частотных критериев устойчивости, а также при анализе случайных процессов в таких системах их удобным математическим описанием является комплексный коэффициент передачи, Аналогичное поло>кение сохраняется и в дискретных системах.
Комплексный коэффициент передачи дискретной системы может быть получен нз ее передаточной фуисции К(з) прн постановке з=е>"т и записывается в виде Кп (! ь>) = К (е>"'г) = К (г) ~, аг. (! 0.46) Поясним физический смысл комплексного коэффициента передачи дискретной системы. Положим, что на вход системы, изображенной на рис. 10 !3, подается воздействие й(!) =Лов!по>й Возникающий при этом в установившемся режиме выходной процесс у(1) качественно показан сплошной линией на рпс.
! 0.14. Как видно из рис. 10.14, процесс у(1) является несннусоидальным за счет отклонения его от синусоиды в промежутках между тактовыми точками, В то >ке время значения выходного процесса в такто- >Ш вых точках, т. е. значения дискретного процесса д(йТ), совпадают со значениями непрерывного синусоидального процесса, имеющего ча- / стоту о> и комйлексную амплитуду п г гг зг >г,>г о У(о>). Поэтому если интересоваться значениями выходного процесса только в тактовых точках, то мо>кно считать его синусоидальным.
Рис. !0.14 Комплексный коэффициент передачи Кд()о>) дискретной системы равен отношению комплексной амплитуды У(о>) к комплексной амплитуде Ло(о>) входного воздействия. Проведенное обсуждение показывает также, что по формированию значений выходного процесса в моменты времени г'=лТ, !с=О, 1, 2, ..., дискретная система эквивалентна непрерывной с 215 комплексным коэффициентом передачи Кд()ю). Это положение используется в 9 10.5 при определении дисперсии процесса на выходе дискретной системы. Функция е!"т, а следовательно, п комплексный коэффициент передачи Кд()тв) =К(е! 'т) являются периодическими функциями переменной щ и имеют период изменения, равный (2,=2и7Т.,Г(ополнптельно пояснить периодичность комплексного коэффициента передачи дискретной системы, т.
е, совпадение его значений для гармонических входных воздействий с частотами ю и юч 1(2ю где 1 — целое число, можно следующим образом. Запишем рассматриваемые воздействия в виде ),!(1) =Л сов(ю1+гр), Хз(1) = =Лсоз[(ю+1ь)п)1+Чл1. В моменты 1=лТ замыкания импульсного элемента ИЗ воздействия л,(1) и Хг(1) принимают значения (10.47) )., (А Т) = Л соз (ю А Т + Ч ), дз (й Т) = Л соз (ю й Т + 1 ь)п й Т+ гр). Так как з)нТ=2и, а 1, А — целые числа, то значения ).1(йТ) и ).з(йТ), как видно из (10.47), совпадают. Поэтому реакция дискретной системы на воздействия ),(1) н )лз(1), определяемая пх дискретными значениями ),л(йТ) и )лз(АТ), одинакова.
Следовательно, одинаковы и значения комплексного коэффициента передачи дискретной системы для воздействий А,(1) н Хг(1). Использование модифицированного г-преобразования. Для нахождения значеннй выходного процесса о(0 дискретной снстемы на временных цнтервалах между тактовыми точкама может быть нспользавано моднфнцнраванвое г-преобразованне У (г, в] = ~Х о (йТ -1- в Т) г о где и(йг+еТ) — дискретные значения выходного процесса системы в моменты врелгенн 1=ЬТ+вТ, я=1, 2, 3,..., смещенные по отнапгенню к тактовым точкам 1='яТ; в — величина относнтельнаго временнага сдвага, заключенная в пределах 0 ( в ( !.
Прн нулевых начальных условиях в системе нзображенне У(г, е) равно пронзведенпю нзображсння Л(г) входного воздействия Л(0 н моднфпцвровавцой передаточной функции системы К(г, в), т. е. У(г, в) = К(г, в) Л(г). (! 0.48) Входящая в (!0.48) передаточная функция К(», в) замкнутой днскретной снстемы определяется па формуле, аналогнчной (10.29); ЯдКт(г, в) К(г, в) = (! 0.49) а которой КК», в) — моднфнцнрованное г-преабразаванае импульсной переходной функцно д,(0.
Г!рнмененне моднфнццраввннога г-преобразавання, так же как и обычнага, облегчается наличием таблиц мадллфвцглраванных г-нзабраженнй временных функций, приведенных в ряде рабат, посвященных анализу дискретных снстелл, например (48, 49]. Для определенна процесса о(яТ+аТ) н его статнстнческнх характернстнк могут прнменяться также вытекающие нз (!048), (1049) мадвфнцнраванное разнастнае уравнение системы н модифицированный комплексный 216 козффипиент передачи Ка(!ы, е).
Методики использования обычных и модифи- цированных характеристик дискретной системы аналогичны. Во многих случаях изменения (пульсацип) выходного процесса в промежутках между тактовыми точкамп г='кТ невелики н достаточно знать выходной процесс системы только в этих точках. Поэтому основное внимание в дальнейшем уделено определению выходного процесса и его характеристик в тактовых точках, 10.3. Устойчивость дискретных следящих систем стемы которое получается приравниваиием нулю знаменателя передаточной функции системы К(г) =В(г)/А(г), Как и в случае непрерывных систем, можно проанализировать устойчивость дискретной системы, не вычисляя значения корней характеристического уравнения системы, а используя для этой цели алгебраический и частотный критерии устойчивости.
Прн п(5 удобно пользоваться алгебраическнм критерием устойчивости, аналогичным критерию Рауса — Гурвица для непрерывных систем. В соответствии с этим критерием дискретная система устойчива, если коэффициенты ее характеристического уравнения (10.50) удовлетворяют определенной системе неравенств. Для уравнения первого порядка, т. е. при и= !, этн неравенства записываются в виде а,+по~О,ах — ао) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
