Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 52
Текст из файла (страница 52)
При высоком порядке разностного уравнения (больших значениях п) его решение целесообразно получить в численном виде с помощью ЭВМ, последовательно придавая индексу й значения А=О, 1, 2,, и определяя шаг за шагом значения процесса пи=а(йТ). При этом следует учитывать, что значения в~ и 2и при отрицательных индексах 1 раины нулю. Находить г-изображение воздействия ).(() при использовании данного метода не требуется.
Разностное уравнение системы, рассмотренной в примере 10.3, описывается выражением (10,43). Решая его при Х(1) г а 1((), получаем х(0) = а, х (Т) = и (1 — К, Т), х(А Т) =а(1 — К,Т)и, что совпадает с найденным ранее результатом (10.66). Пример 10.4. Рассчитаем ошибку слежения в тактовых точках дискретной системы, показанной на рпс. 10.15, при задающем воздействии Х(() =а~( 1((). 3-преобразование такого воздействия, найденное по таблицам (см. приложение 1), равно Л(г) =а,Тг((г — 1)з. Умножая его на передаточную функцию рассматриваемой системы К1,(г)., описываемую выражением (10.39), найдем г-изображение ошибки слежения (10.68) Х(г) = (г 1) (и 1+К„Т) Используя для обращения изображенпя (10.68) теорему о вычетах (!0.57), получаем = — (1 — (1 — Ки Т)и ), л = О, 1, 2,...
(10.69) а,Т диТ На рис. 10.17 сплошными линиями изображено изменение во времени нормированной ошибки слежения в рассматриваемой системе. Там же для наглядности штриховой линией показано норми- рованное входное воздействие. «/си,г Кружками на этом рисунке отмел(ф.,г чены значения ошибки в тактовых точках, вычисленные по формуле (10.69). Как видно из рис. 10.17, с ростом коэффициента передачи по контуру регулирования установившееся значение ошибки елеей жения уменьшается.
При величи- нах К,Т> 1 переходной процесс 4г "" в системе приобретает колебательРиа 1037 ный характер, 222 10.5. Анализ случайных процессов в дискретных системах Познакомимся с методами анализа дискретных следящих систем при действии на них случайных процессов. Наиболее широко используемой статистической характеристикой случайного процесса, возникающего при этом на выходе системы, является его дисперсия. Определим дисперсию выходного процесса дискретной системы в тактовых точках, т. е. в моменты времени 1=лТ, где й= =О, 1, 2, ... Положим, что процесс на входе системы, который обозначим и(1), является стационарным случайным процессом с известными функцией корреляции )т(т) и спектральной плотностью 5(ы).
В $ 10.2 установлено, что значения выходного процесса дискретной системы п(ИТ) в тактовых точках совпадают с аналогичными значениями выходного процесса непрерывной системы, комплексный коэффициент передачи Кл(1ы) которой определяется выра>кением (10.46). Поэтому дисперсию о' процесса на выходе дискретной системы в тактовых точках в установившемся режиме можно найти по формуле, применимой к непрерывным системам: о'=.
— ( 5(ы) ) ЕС„(1ы)!'ды. (10.70) Комплексный коэффициент передачи Кк(1ы) является периодической функцией частоты. Качественный характер зависимости )1(д(1ы) ) от частоты изображен на рис. 10.18. На том же рисунке показана зависимость от частоты спектральной плотности 5 (ы) воздействия и(1). Вычислить дисперсию о' непосредственно по формуле (10.70) в общем случае затруднительно. Целесообразно поэтому преобразовать ее. В 2 10.2 показано, что в тактовых точках значения выходного процесса дискретной системы, вызванного гармоническими воздействиями с частотами ы и ы ьМ, (1=1, 2, ...), Ня Ж~ а ~л1' "л ™и Риа 10.18 в силу периодичности комплексного коэффициента передачи системы совпадают.
Поэтому составляюшие спектра входного воздействия, лежащие за пределами частотного интервала частот от — 11„/2 до й„!2, можно заменить путем сдвига по частоте на величину ь К3„равноценными составляющими, находящимися в пределах указанного интервала. В результате такой замены дискретная система по формированию выходного напряжения в тактовых точках оказывается экви- 223 д~2 пд = — ( 5 (а2) ~ К„(/' а2) ~2 г(ь2.
(10,73) — И 22 и Спектральную плотность 5л(ь2) эквивалентного воздействия их (1) можно представить (201 также в виде 5л (ы) = Т5* (ь2), (10.74) где 5*(д2) — спектральная плотность дискретного процесса и(/2Т). Спектральная плотность 5'(ьз) определяется дискретным преобразованием Фурье корреляционной функции /7(йТ) процесса и(йт): 5'(")= Х В('Т)е '"" (10.75) Функцию 5*(д2) часто называют также дискретной спектральной плотностью.
В свою очередь, спектральную плотность 5" (а2) можно выразить через г-нзображение Рд(г) корреляционной функции Й(т) воздействия и(1), равное /гд (г) = у Я(/2Т)г — д. (10.76) Из соотношений (10.75), (10.76) следует, что дискретная спектральная плотность 5*(ы) связана с изображением Нд(г) следующим равенством: (") = (') )д=ег~~г ° (10.77) где 5 (г) = Яд (г)+ Яд(г-2) — /с (О). (10.78) Если известно аналитическое выражение корреляционной функции Я(т) воздейстния, то с помощью таблиц г-преобразованнй временнйх функций и формул (10.77), (10.78) легко находится спектральная плотность 5*(а2). 224 валентной непрерывной системе с коэффициентом передачи К,(/ы) и эквивалентным воздействием иг(/) на входе. Коэффициент передачи К,(/ы) отличен от нуля только на интервале частот от — 11„/2 до йд/2 и определяется выражением ( Кд(/ь2) пРи 1ь2!((г„/2, (10.71) 1 0 прн (ы!) й„/2.
Спектральная плотность 5х(ы) эквивалентного воздействия ил(Р) связана со спектральной плотностью процесса и(/) соотношением О 5л(а)= Х 5(<0+1а.). (10,72) 2= — ~ Формула (10.70) для вычисления дисперсии при этом принимает внд С учетом (10.46), (10,74), (10.77) выра>кение (10,73) для дисперсии выходного процесса дискретной системы записывается в виде и>т ои= — У 5(г)!К(г)ь,> т г(и>.
(10.79) 2и — и>г Подыптегральпое выражение в (!0.79) является траисцеидеитной функцией переменной и>, что затрудпяет интегрирование. Целесообразно поэтому провести замену переменпых г = — е)" т = ! ", и> = — агс(я и, йо =- —,, (10.80) =! — /.' Т Т ]+ии в результате которой интеграл принимает впд о' = — ] 5 (г) ] К (г) ]и] >+(и г(и. (10.81) — Ф !и= —, 1+ ии 5х (г) = (1 — !Р) оих/(г — г() (г > — !]) (10.82) Передаточная функция Кх,(г) рассматриваемой дискретной системы описывается соотношением (10,39). С учетом (10.39), (!0.82) интеграл (10.81) принимает вид (! — и1) аи ! з 2в (г — д)(г > — и) ! г !+КиТ ! и=! Ъ вЂ” 8 ии (! — ии) (/ и)'йи 2и „]1! — 8+/и(! +НЦ [Ки Т+/ и(2 — КиТ)]]и 2 г(и = ии (10.83) Интеграл (10.83) сводится к стандартному (6.11), причем в данном случае а=2, Ьи= — Зо~х(1 — гР), Ь>=0, а,= (2 — К,Т) (1+с(), а>= 8 — (8 225 Подынтегральпое выражение в (10.81) является дробио-рациональной фупкцией переменной /и.
Определепие дисперсии оз по формуле (10.81) сводится к вычислению уже применявшегося при анализе непрерывных систем стандартного интеграла вида (6.11), в котором переменная и> замепается па и. Пример 10.5. Определим в установившемся режиме дисперсию ошибки слежения в моменты времени !=йТ в системе, изображенпой на рпс. 10.15. Положим, что $,(/) =О, а воздействие Х(!) является случайным процессом с корреляционной Функцией /7х (т) = =пахе-и!т! и спектральной плотностью 5х(и>) =2]!огх/(и>'+р').
Для решения поставленной задачи найдем сначала спектральиую плотность 5х (г) воздействия А((). Корреляционная функция воздействия Х(4) при т>0 описывается выражением /сх (т) =о'хе — и', г-преобразовавие которого, найденное по таблицам, приведенным в причожении 1, равно Яд(г) =азха/(г — с]), где г]=е ит. Спектральная плотность 5х (г), найденная по формуле (10.78), при этом равна =2(1 — г(+К„Тг(), а>=К„Т(1 — г(), Подставляя эти коэффициенты в выра>кение для Уь находим дисперсию ошибки слежения 2пх (1 — ч) (2 .
к, т) (! — д+ К, тк) Величина о',, как следует из (10.84), зависит от периода временной дискретизации Т. При малых значениях Т можно припять с1= =-е — ит=1 — цТ. Формула (10.84) при этом преобразуется с учетом выполняющегося при высокой точности слежения соотношения К,/р»! в 02 И ! +РТ>2 х (10.85) При очень малых величинах Т выражение (10.85) переходит в (6.27), полученное для непрерывной системы с одним интегратором. С ростом периода временной дискретизации Т дисперсия ошибки слежения в дискретной системе увеличивается.
Это увеличение зависит, как видно нз (10.85), от соотношения между частотой временпоГ1 дискретизации Р= 1/Т и шириной спектра входного воздействия, характеризуемой параметром и, а также от величины произведения К,Т. Бесконечно большая величина дисперсии о', при К,Т=2 связана с нарушением устойчивости системы при таком значении произведения К,Т. Частным, но весьма важным является случай, когда воздействие и(1) иа входе дискретной системы широкополосно и его корреляционная функция удовлетворяет условию Я (т) = 0 при ( т ! > Т.
(10.86) Значения дискретного случайного процесса и(АТ), формирующегося в процессе временной дискретизации, при этом пе коррелированы и такой процесс называют дискретным белым шумом. Его спектральная плотность 5'(ь>), как вытекает из (10.75), (10.86), равна В*(ь>) =-)7 (О) = сР„, (10.87) где о' — дисперсии процесса и(лТ). Дисперсию выходного процесса дискретной системы при действии па ее входе дискретного белого шума можно найти по общей формуле (10.81), учитывая, что в рассматриваемом случае выполняется вытекающее из (10.77), (!0.87) соотношение 8(г) =о' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
