Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(8.82) Домножая обе части равенства (8.82) справа на тг-'(О) и учитывая, что ч~(0)тг '(О) =В(0), после преобразования получаем В (!) = [6гз (!) В (О) + 6гг (!)] [6гг Я В(0) + 6гг (!)] ° (8,83) Для определения матрицы 6(!) запишем систему уравнений (8.77), (8.78) в виде 8.5. Примеры синтеза оптимальных фильтров систем радиоавтомативи методом пространства состояний Пример 8.2. Методом пространства состояний синтезируем оптимадьный фильтр в контуре следящей системы для условий, указанных в примере 8.[. Найдем для этого сначала структуру 177 И т/Ш = А т (!), (8.84) где т(1) — составной вектор, компонентами которого являются векторы тч(!) и чгЯ; А — блочная матрица вида Ст К Существуют различные методы вычисления переходной матрицы для системы, описываемой уравнением (8.84).
Если размер матрицы А невелик и входящие в иее матрицы Е, С, Н, () постоянны по времени, то переходную матрицу 6(1) можно найти по формуле ( [ з ! А ] з ) (8.85) где Ы-' — операция обратного преобразования Лаяласа; 1 — еднни'шая матрица; [з! — А]-' — матрица, обратная з! — А. В тех случаях„когда требуется найти значения коэффициентов Ко(!) в структурной схеме оптимального фильтра только в установившемся режиме, достаточно найти установившееся значение матрицы [)(!). Если, кроме того, фильтруемый процесс и помехи являются стационарными случайными процессами, то в уравнении (8.75) при этом следует положить т(0/гг(=0 и решить получившееся матричное алгебраическое уравнение.
оптимального фильтра, выделяющего задающее воздействие Х(() из смеси с аддитивным шумом п(/). Задающее воздействие является в рассматриваемом случае стационарным случайным процессом со спектральной плотностью, описываемой выражением 5х (ь>) =2!ьа'х/(а>'+1г'), где и'х — дисперсия процесса Х(/). Определив коэффициент передачи формирующего фильтра с помощью соотношения (8.61) и положив спектральную плотность формирующего белого шума равной 5„(0) =5х(0) =2п'ь/ц, получим К>(/ь>) = 1/(1+/ь>Тф), Тв= 1/и. Изменение воздействия 1.(/) во времени описывается при этом уравнением И Х/Й = — Х Я/Т„, + и (/)/Т,„ (8.86) которое соответствует фильтру в виде инерционного звена с операторным коэффициентом передачи /((р) =1/(1+рТф). Функция корреляции формирующего >пума н(/) равна й> ((, 0) = 5„(0) 8 (( — О).
(8.87) Так как уравнение (8.86) первого порядка, то векторный процесс х(/) в дашюй задаче одномерный и состоит из единственной компоненты х(/), совпадающей с Х(/). Следовательно, процесс х(() описывается уравнением — = — — х(()+ — ' и ((). (8.88) и> тф тф Пересчитав шум 5(/) ко входу дискриминатора, получим, что наблюдаемый процесс г(/) в рассматриваемой задаче, так же как и в примере 8.1, имеет вид г (() = Х (/) + п (/) = х (() + и (/), (8.89) где и(() — стационарный белый шум со спектральной плотностью 5 (О) и функцией корреляции Я(т) =5„(0) 8(т).
(8.90) Сопоставление выражений (8.87) — (8.90) с (8.68) — (8.7!) показывает, что в рассматриваемой задаче матрицы Г, Н, С, 61, К являются постоянными скалярами и равны Г = — 1/т,, С=1, Н =1/Тф, (1= 5,. (0), К =5„(0). (8.91) Уравнение (8.72), определяющее структуру оптимального фильтра, конкретизируется в данном случае в виде (х,т = — х,/т, + й, (/) (г (() — х, (/)), (8.92) где согласно (8.73) и (8.90) Уго (Г) = /7 (/)/5„(0). (8.93) Уравнению (8.92) соответствует структурная схема, показанная на рис. 8.7.
В этой схеме интегратор, охваченный обратной связью, эквивалентен звену с коэффициентом передачи К(р) = (8.94) !+ !/ртф !+ртф ' !78 Синтезированный оптимальный фильтр представляет собой следящую систему. Для того чтобы решить исходную задачу, состоящую в отыскании оптимального фильтра в контуре следящей системы, преобразуем схему, изображенную на рис. 8.7. Введем в эту схему звено с коэффициентом передачи Юл, соответствующее дискриминатору, и заменим шум а(1) эквивалентным крп) шумом 9(1), действующим "а/1) //д на выходе дискриминатора. С учетом (8.94) схема 1/Гр принимает при этом вид, показанный па рис. 8.8. В полученной схеме звенья с Рнс.
8.7 коэффициентами передачи йо(1)/~л и Тф/()+рте) образуют искомый оптимальный нестационарный фильтр, включаемый в контур следящей системы после д1юкриминатора, Уравнение (8.75) для дисперсий ошибок фильтрации в данной задаче скалярное и имеет вид г(.0/Щ = — 2 О(/)!/Тф — Вз (()/5в (0) + ~и (0)/Тзф. (8,95) Оно определяет дисперсию О(1) ошибки фильтрации процесса Л(/), которая совпадает с дисперсией ошибки слежения в системе, изображенной на рпс, 8.8.
Рис, 0,8 Для решения уравнения (8.95) заменим его в соответствии с (8.77), (8.78) системой линейных дифференциальных уравнений а и /г)1 = ч /Тф + Я. (0) тз/Тзф, '(тз/г(1 чт/Яв (0) + юз/ТФ ' ) [8.96) Из (8.96) следует, что матрица А имеет вид — 1/тф З„(О)/тзф1 =Г,г, 1/8„(о) 1/тф Применим для вычисления переходной матрицы 6(1) формулу (8.85). Матрица з1 — А в соответствии с (8.97) равна з+ 1/Тф — ам (О)/Тзф1 "-"=[ — 1/8в (О) з — 1/тф Обратная ей матрица записывается в виде 1 (з — 1/Тф 8 (0)/(Тзф) (8.98) — ~ ля ~п !' где т Тф = У1+Яи(0)/эв(0) = )/к! +Р' Р = Юя(0)/Яв(0). в 179 для элементов матрицы (8.98), Отыскивая обратное преобразование Лапласа получаем 8 (0)зйу//т'фу сь у т + й у !/у тф ~ 1 сну!- — зьу! у те 60) = ай у//за(О) у и, следовательно, (8.100) йу! 8„(о)йу! бы(/) =сйуг — —, Ом0) = утф " ут ф ' (8.99) зьу/ й'/! о„(/) = Озз(/) = сй у /+ —.
за(О)У ' " Ут„' По соотношению (8.83) с учетом (8,99) и равенства /)(0) =а'а=5 (0)/2Те находим, что дисперсия ошибки слежения равна О(0 = о' ь/1 + р сь у ! + 5Ь '» / 1' 1 + р сь у ! + (1 + 0,5 р)зь у ! Дисперсию ошибки слежения в установившемся режиме вайдем, положив в (8 100) /)уст=5 (О)/Те (1+уте) =2оть/(!ч (/1+р), что совпадает с величн. ной, определенной в примере 8.! для оптимального стационарного фильтра.
Изменение во времени коэффициента передачи й„(!) в схеме оптимального фильтра (рис. 8.8) описывается, как следует из (8.93) и (8.100), выражением (/) р ~1+рейт!+зн у! 2 ТФ (/1+ р сй у ! -Ь (1+ 0,5 р) зй у! На рис. 8.9 показано рассчитанное по формуле (8.!01) для нескольких значений р изменение нормированного коэффициента й»(/) Тф во времени Как видно из рисунка, коэффициент /т,(!) максимален в первый момент времени и затем постепенно уменьшается, стремясь к установившемуся значению й„»„. Такое поведение коэффициента й,(/) объясняется следующим образом. В первый момент времени воздействие Х(/) не проходит на выход следящей системы и возникает значительная ошибка слежения.
Чтобы быстро устранить ее, необходимо расгцирить полосу пропускания следящей системы, что и достигается благодаря большому значению коэффициента /т,(/). По мере отработки следящей системой воздействия ).(/) вес ошибки, вызванной неточным воспроизведением воздействия )(/), уменьшается. Одновременно увеличивается роль флюктуационной составляющей ошибки.
Чтобы ограничить ее, оказывается целесообразным сужать полосу пропускания системы путем уменьшения коэффициента й,(/). Начальное и установившееся значения коэффициента /т,(/), как следует из (8.101), равны й, (О) = р/2 Тф, й„,„= р/Т„(1 + )/1+ р). Их отношение /е,(0)//1,»„= (1+)/1+р)/2 характеризует степень изменения коэффициента й,(/). Оно тем больше, чем больше от- 180 ношение р= 5„(0)/5„(0) =5х(0)/5„(0) спектральных плотностей воздействия Х(!) н помехи и(!).
С ростом отношения р увеличивается также значение коэффициента передачи й,т„в установившемся режиме. Комплексный коэффициент передачи оптимального фильтра в контуре следящей системы (рис. 8.8) в установившемся регкиме равен у- (/„) ьо уст Ф ! кТ+ р — 1 (8.102) в, ! + !г тф 8„1+ ! м тф и совпадает с найденным в примере 8.! (формула (8А2)). 00!/б', (О х (!!!а д г/7р 0 4 Рис. в.р р .. вла Представляет определенный интерес оценить, какой выигрыпг в точности слежения достигается за счет переменности параметров оптимального фильтра. Сопоставим для этого дисперсии ошибки слежения прн использовании найденного оптимального фильтра с переменными параметрами и фильтра (8.102) с постоянными параметрами, оптимального в установившемся режиме. В первый момент времени для обоих фильтров дисперсии ошибки слежения равны дисперсии процесса Х(/) и, следовательно, одинаковы.
В* установившемся режиме, как уже отмечалось, сопоставляемые дисперсии также совпадают. Выигрыш при использовании оптимального фильтра с переменными параметрами проявляется в уменьшении ошибки слежения в переходном режиме. Используя соотношения, приведенные в гл. 6, можно показать, что дисперсия ошибки слежения в схеме с фильтром (8.!02) равна Р (!) = озх [1 — (1 — е зт!)()' 1+ р — 1)'/р).
(8.! ОЗ)' Изменение нормированной дисперсии Р(!)/оз„, рассчитанное по формуле (8.103) для нескольких значений р, показано на рис. 8.10 штриховыми линиями. На том гке рисунке сплошными линиями показаны вычисленные по формуле (8.100) аналогичные кривые для оптимального фильтра с переменными параметрами. Сопо!в! ставление кривых, изображенных на рис.
8.10, позволяет сделать для рассмотренного случая, когда воздействие Х(/) является стационарным случайным процессом, следующие выводы: !) выигрыш в уменьшении ошибок слежения (фильтрации), достигаемый за счет переменности параметров фильтра, увеличивается с ростом величины р отношения спектральных плотностей воздействия Х(/) н помехи; '2) интервал времени, в пределах которого проявляется преимущество оптимального фильтра с переменными параметрами, пропорционален постоянной времени Тв фильтра, формирующего процесс Х(/), и, следовательно, обратно пропорционален ширине его спектра; 3) в целом выигрыш, получаемый за счет переменности параметров, сравнительно небольшой и для рассмотренных величин р не превышает 15'/ю Сказанное выше не умаляет интереса к оптимальным фильтрам с персмепвымн параметрами и методам их синтеза.
Если задающее воздействие или помеха описываются нестационарными случайпымя процессами, то оптимальный фильтр в контуре следящей системы даже в установившемся режиме имеет переменные параметры и замена его фильтром с постоянными параметрами может привести к существенному ухудшению точности слежения (фильтрации). Для того чтобы проиллюстрировать синтез многомерных фильтров методом пространства состояний, рассмотрим следующий пример. Пример 8.3. Рассмотрим ту же задачу, что и в примере 8.2, изменив статистические характеристики задающего воздействия.
Положим, что его спектральная плотность 5х (о) =а'/ы4. Тогда в соответствии с (8.74) воздействие Х(/) можно представить как процесс иа выходе формирующего фильтра с комплексным коэффициентом передачи К~(/в) =й р/(/ы)~, иа вход которого подан формирующий белый шум н(/) со спектральной плотностью 3„(0). Коэффициент А„р —— Уа'/5, (О).
Формирующий фильтр в рассматриваемом случае состоит из двух последовательно включенных интеграторов и описывается стохастическим дифференциальным уравнением второго порядка и" Х/пг2 = йл 2 х (г). (8. 104) Наблюдаемый процесс, как и в примере 8.2, описывается выражением г(/) = Х(/)+и (/), (8.105) где л(/) — белый шум со спектральной плотностью Я„(0). Для решения поставленной задачи обозначим Х(/) =х~(г) и слредставим уравнение (8.104) формирующего фильтра в виде си,стемы уравнений первого порядка г(х1/й = х2 (1) гМ~(/ йище м (/)' ~ 182 (8.108) Полученную систему уравнений запишем в матричной форме + х (!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
