Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 35
Текст из файла (страница 35)
к,=злр Входя!цая в (7.39) плотность вероятности ш(х, 1) определяется путем решения уравнения Фоккера — Планка приблпженнымп аналитическими методами нлп на ЭВМ. Прп изучении вероятности срыва слежения можно использовать уже упомпнавшугооя аналог по нзмепення ошибки слежения и поведения броуновской частицы в силовом поле.
Если вероятность срыва елен!ения мала, то для ее определения в простейших следящих системах применима методика вычисления вероятности преодоления броуновокой частицей высокого потенциального барьера и нс требуется решение уравнения Фоккера — Планка с .поглон!ающнлги граничными условиями. Такой подход позволил получить [36) для нелинейной следяшей системы, описываемой уравнением (7.28), при К(р) =lг„гр(1+рТф), л(1) =а! и независимости спектральной плотности шума па выходе дискриминатора от ошибки слежения следующую приближенную формулу для расче!а вероятности срыва слежения: Р„, — 1,„1~ехр( — — — "" )-1-ехр( — — — "~1, (740) где Г 2 ю — 7 2 „=. у — [(Р(х) р) )х; ',з = ~ — ) (Р( ) — [)) г(х; (7.41) хм х, — координаты точек равновесия системы, нахождение которых иллюстрируется рис.
7.10; !3=а//г,п о'„7',к — дисперсия и среднеквадратическая частота ошибки слежения в линейной следящей системе, которая образуется пз исходной нелинейной' при Г(х) =5дх Величины о',. и 7„в рассматриваемой системе равны ОЗ„= Л'4 й„,!45, [ся = — )I А„5„1ТФ. 2л Правая часть выражения (7.40) состоит пз двух слагаемых. Первое учитывает возможность выхода ошибки слежения за пределы апертуры дискриминатора в область положительных, второе— в область отрицательных значений х. Входящие в (7.40) величины х„н х,з играют роль эквивалентных порогов в системе с линейной характеристикой Р(х) =5,х, достижение которых ошибкой слежения может рассматриваться как срыв сопровождения. Величины х,„п х„могут существенно превып4ать расстояния от точки равновесия системы хе до границ линейного участка характе- !45 ристики дискриминатора. В этих случаях расчет по формуле (7.40) позволяет определить вероятность срыва слежения значительно точнее, чем на основе применяемой иногда грубой оценки вероятности срыва как вероятности выхода ошибки за пределы линейного участка характеристики дискриминатора.
Величины эквивалентных порогов и вероятность срыва слежения существенно зависят,,как следует из (7АО) и (7А1), от скорости а=Ю!а>! изменения задающего воздействия ),(!). При увеличении а вероятность срыва повышается вследствие значительного уменьшения одного из эквивалентных порогов. Выражение (7.40) можно использовать лля приближенных расчетов нелинейных следяШих систем с широко применяемыми иа практине фильтрами, имеюшнми коэффициенты передачи (5.21) нли (5.22).
При этом величины !. дли этнх фильтров соответственно равны 1/ К„(1 — 1 — й,)'+ й, 2п У Т, 1 +лг 1~К (1+К.Тг,)г !си= 2з У к 1,.(К у,г,г Кк= бд/гн1 1 = Тг/Тг' йа =Кк Тг( 1 Ка= ли ьнг а величина р в (7.41) для фильтра (5.22) равна нулю. Проведенный анализ показал (36, 37), что для указанных систем формула (7.40) позволяет найти значения дисперсии ошибки слежения о' и спектральной плотности Иг шума на выходе двскрнмннатора, соответствуюшие допустимой вероятности Р,э(!), с погрешностью не более 15...20%, если протяженность линейного участка характеристики дискриминатора составляет не менее 1/3 его полной апертуры. В некоторых случаях устойчивость (надежность) режима слежения при наличии помех оценивают не вероятностью срыва слежения за время наблюдения /, а средним временем до срыва слежения. Эту характеристику следящей системы можно найти методами теории марковских случайных процессов путем решения уравнений Понтрягина [34, 35).
7.4. Анализ нелинейных следящих систем методом статистической линеаризации Общая характеристика метода. Метод статистической линеаризации, предложенный И. Е. Казаковым (38), основан на замене нелинейных преобразований процессов, происходящих в системе, статистически эквивалентными им линейными преобразованиями. При этом нелинейный элемент НЭ (рис. 7.1!), на выходе которого действует процесс и((), заменяется линейным эквивалентом ЛЭ. В результате указанной замены система в целом линеа.
ризуется. При этом для определения характеристик случайных процессов в ней становится применимым аппарат линейной теории, что резко упрощает исследование рассматриваемой системы. 145 ,замена нелинейного преобразования линейным является приближенной и может быть справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому понятие статистической эквивалентности, на основе которого проводится такая замена, не является однозначным, и можно сформулировать различные критерии статистической эквивалентности нелинейного хй! Г ! ар! и заменяющего его ливейнога преобразований. В случае, когда лппеарпзации подвергает- х(г! ! — -! ! ся нелинейная безынерционная зависимость вида Рис.
7.1/ о=!р(х), (7.42) связывающая процессы о(г) и х(!), обычно применяются следующие критерии статистической эквивалентности. Первый из них требует равенства математических ожиданий и дисперсий процессов о!!) и и(!) на выходе нелинейного и линейного элементов.
Второй требует ~минимизации среднего квадрата разности процессов на выходе указанных элементов. Рассмотрим подробнее оба этп критерия. Представим процессы х(!) и о(!) на входе и выходе нелинейного элемента в виде х (!) = т (!) + хг (!), о (!) = т, (Г) + ог (!), (7.43) где тх((), и,(!) — математические ожидания, а хг(!), ог(!)— центрпрованные случайные составляющие процессов х(Г) и о(г). При статистической линеаризации нелинейное преобразование (7.42) обычно, заменяют зависимостью вида и(г) = Ах тх (!)+А, хг (!).
(7.44) Входящие в (7.44) величины Йг и й, являются коэффициентами передачи линейного эквивалента по математическому ожиданию и центрированной составляющей соответственно. Их значения должны быть вы~б~раны так, чтобы выполнялись условия статисти- ческой эквивалентности процессов о(!) и и(г). Приравняем на основании первого критерия эквивалентности и соотношений (7,43), (7.44) математические ожидания и диспер- сии процессов о!!) и и(!): !и,= йгт„, аг„=йг,о'х, (7.45) где а', а'„— дисперсии функций х(!) и о(().
Из (7.45) следует, что величины й, и йь при которых удовлетворяется .первый крите- рий эквивалентности, для однозначной функции !р(х) равны Аг — — — ' —— — ( р(х) ш(х) дх, (7.46) лгх хгх М 1ыг Ц,=К!!= — ' = — ~ )' ЧР(х)ш(х)!(х — тг,~ (7.47) ах ах ~ Здесь ш(х) — плотность вероятности процесса х((), !47 Обозначение йп показывает, что коэффициент й~ найден по первому критерию эквивалентности.
Значение того же коэффици- ента, найденное по второму критерию эквивалентности, будем обозначать йм. Второй критерий статистической эквивалентности состоит, как следует из ранее изложенного, в выполнении условия . М Цв (() — и (())') =. (в (() — и (Е))' = мин. (7.48) Учитывая (7.43), (7,44) для процессов в(Г) и и('1), преобразуем формулу (7.48) к виду е1э„+а'„+А'„т',+й'„а'„— 2й, т„т,— 2й, пх'= мпв, (7 49) Для определения величин Аэ и йн при которых выражение (7.49) имеет минимум, следует приравнять нулю частные производные этого вьуажепия по йв и йь В результате получаем гп„йв — ги„=0, й~а',- †эха. Из этих соотношений следует, что величины йв и йп при которых выполняется второй критернй статистической эк- вивалентности в(1) и и(Ц, равны йа = гпо1ш„, (7.50) Уг, =А„= — = — )" (х — т,) ч (х) 1э(х) г(х.
(7.51) о'„о', Сопоставление выражений (7.50) и (746), а также (7.51) и (7.47) показывает, что найденные обоими способами коэффициен- ты передачи Ггв линейного эквивалента по математическому ожи- данию совпадают, а коэффициенты передачи по центрированной составляющей различаются. Коэффициенты статистической линеаризации йа и йп как вид- но из (7.46), (7.47), (7.51), зависит не только от характеристики нелинейного элемента, но и от закона распределения процесса х(().
Однако прп анализе следящей системы,за~кон распределения ш(х) обычно неизвестен. Поэтому при использовании метода ста- тистической линеарнзацпн приближенно полагают закон распре- деления нормальным: Отличие закона распределения ш(х) от норьцального является одним из источников погрешнрстей метода статистической линеарпзации. При нормальном распределении гп(х) коэффициенты йэ и й~ зависят лишь от двух параметров воздействия — математического ожидания ш, и дисперсии о'„, т. е. Йс=йв(т,, о',,), Й,= =й,(п1„, о~ ).
Выражения для коэффициентов йа и й~ для типовых пелинейностей,прн этом можно найти заранее, что существенно облегчает расчеты, проводимые методом статистической линеарнзации. Зависимость коэффициентов передачи йв и й, от параметров 1и„и о', входного процесса отражает специфику исходного нели- 148 Приведем результаты вычисления по формулам (746), (747), (7.5!) коэффициентов линеаризации для двух пслинейностей, которые часто применяются для аппроксимации характеристик дискриминаторов. Дискриминатор с сииусоидальной характеристикой гр= (х) =Л Мп ах Л з!п атх о— " ехр ( — — азог /, х / глх 2 ! — — — '(1 — е -. хсоз2алгх1 — ( ) ) (7.52) (7.53) (-е' аг 72) = Лае( " 'соя а юх (7.54) Приведенные формулы являются точнымн прн периодической характеристике дискриминатора.
Такой характеристикой обладает, в частности, фазовый детек- тор. Однако для реально возмогкных в системе регулнроваяня величин диспер- сии о'„зги результаты остаются приближенно справедливыми и в случае, когда гр(х) = =( А а|пах прн — и ( ах(н, (7.55) 0 прн )ах!) и. Выражение (7.55) находит прииеиение, например, для аппроксимации хараите- рнстики углового дискриминатора. Дискриминатор с релейной характеристикой вида ! — ! при х<0, чг(х) = А з!йп х .= ' ! при х>0. В этом случае 2А ! Г ~я~ '! к„= — = ехр ~ — —, ох )/2п ~ 2огх г) ' (7.56) (7.57) где уг Пг(т) = ) ехр~ — — ) г(р.
К2по 2 Козффнпиенты статистичесиой линеарнзации для ряда иных нелинейностей можно найти в (38). При анализе следящих систем методом статистической линеаризации наиболее просто удается проанализировать стационарный режим их работы, В стационарном режиме математическое ожидание н дисперсия процесса х(г) на входе нелинейного элемента, а также взаимная моментная функция хоп постоянны во 149 цейного преобразования (7.42), при котором коэффициент передачи зависит от;мгновенных значений входного процесса х(Г).
Так КаК КОЭффнцпЕитЫ йс И )С! ЗаВИСят От ВЕЛИЧИН Гпх И О'„тО ПрЕОбразование (7.44), описывающее введенный статистический эквивалент, является нелинейным по отношению к математическому ожиданию т„и линейным по отношению к центрированной составляющей хо('г). Последнее обстоятельство является решающим, поэтому эквивалент (7.44) будем для краткости называть линейным. времени. В этом случае, ~как видно из (7.46), (7.47) и (7.51), коэффициенты статистической линеаризации не зависят от времени. Линеаризованная система является при этом системой с постоянными параметрами, и исследование ее может быть проведено сравнительно простым путем. В нестационарном режиме, который может быть вызван, например, переходным процессом, нестационарностью воздействий или самой следящей системы, коэффициенты статистической лине.аризации изменяются во времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
