Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Положительным корням з1л соответствует особая точка типа неустойчивого узла (рнс. 7.7). ПРи взо<0 коРни згд действительные и имеют Разные знаки, При атом на ~фазовой плоскости образуется особая точка, соответствующая неустойчивому состоянию равновесия, называемая седлом (рис.
7.8). При построении полного фазового, портрета системы удобно найти предварительно также его изоклипы. Изоклиной называет- !35 ся линия на фазовой плоскости, являющаяся геометрическим местом точек, в которых касательные ~к фазовым траекториям имеют постоянный наклон. Обозначив его через й, запишем на основании (7.8) уравнение изоклииы ф (х„х,)/х, = )г. (7. 12) Из (7.12) вытекает, что изоклина горизонтальных касательных, для которых й=О, описывается более простым уравнением ф(хь хи) =О.
Ось абсцисс (хи=О) является изоклиной вертикальных касательных (й=оо), поэтому фазовые траектории пересекают се под прямым углом. Рис. 7.с Рис. 7.с В окрестности особых точек типа узла и седла существуют фазовые траектории, совпадающие с изоклинами и имеющие впд прямых, проходящих через особую точку. Можно показать, что наклон этих прямых равен значению корней зьх характеристического уравнения (7.11). Указанные траектории в случае особой точки типа седла называют сепаратрнссами. На рис.
7,8 они обозначены Сь Сси Сз, С4. Рис. 7.8 Рис. 7.7 Определив характер фазовых траекторий вблизи особых точек и нанеся на фазовую плоскость достаточно подробное семейство изоклин, можно построить весь фазовый портрет системы. Этот 136 портрет весьма наглядно показывает, как ведет себя нелинейная система при различных начальных условиях. Пример 7.1.
Построим фазовый портрет следящей системы (рис. 2.29) с нелинейной характеристикой дискриминатора Т(х), изображенной на рис. 7.9,а. Примем, что К(р) Г йч)р(!+руе), я(О 0) =О, Л(1) =а«, Изменение ошибки сле«кения в анализируемой системе описывается уравнением с(эх 1 ох йа а — + — — + — г" (х) = —. (7.13) из Тф Л( Тф Тф ' Поведение рассматриваемой системы можно отобразить на фазовой плоскости с коорд«шагами х,:=-х н хз=«(х/«(Ь Заменим для этого уравнение (7.13) системой уравнений (7.7), в которой в давнем случае «р (хз, хз) — — (хз+ й««г (хз) — п)«ТФ. (7.14) Рис.
7.9 Абсциссы хьь х««точек равновесия системы (особых точек яа фазовой плоскости) определяются решением уравнения «р(хг О) = (йк«ТФ) (Т(х,) — а««йа) =О. Графическое решение этого уравнения показано на рис. 7.9,а. Из него следует, в частности, что х««=а!5„$л=а)Кь где 5д=«(Е(х)7«(х)э=*э, К =Язйч. Рассматриваемая характеристика Т(х) кусочно. линейная, Поэтому при построении фазового портрета всю область изменения переменной х=х, можно разбить ~на ряд участкон, в пределах каждого пз которых уравнение (7.13) линейно.
В области !х) (хэ уравнение (7.13) принимает вид Лзх 1 дх Кь — + — — + — (х — х„) = О. тф и! тф (7.15) Корни соответствующего (7.15) характеристического уравнения прн К,Те=0,25 равны з«л=--172Те. Следовательно, особая точка с координатами х, =хм, ха=О является устойчивым узлом (рис. 7.9,б). Изоклиаа горизонтальных касательных на участке (х( (хл описыпастся, как следует из (7.12), (7.14) и равенства К;Те=0,25, уравнением 'х = — К (х, — х, ) = — (х« — х„)74ТО.
(7.16) 137 Уравнение изоклины, совпадающей с фазовой траекторией, записывается так: хз — — 5! з(хз — хы) = — (х — хы)/2 Тф. (7.17) Наклон фазовых траекторий прн х,=х„описывается выражением ах /о' з = р (х =х, хз)/х = — «Тф. (7.18) Дополнив выражения (7.16) — (7.!8) уравнениями изоклин, касательных с другими угловыми коэффициентами, можно построить фазовый портрет системы на интервале (х) (хч. Фазовый портрет системы на других участках строится аналогично, На участке хз(х(х, система описывается дифференциальным уравнением ода /гя —,+ — — — (х — хзз) = О, (7.19) Л/з Тф а/ Тф где лдз = (Л Р (х)/г/х! )х=хвс Карин ЛлраКтсрнСтИЧЕСКОГО ураВНЕНИя, СООтВЕтСтВуЮщЕГО (7.19), Прн БхайчТЕ =К„Те=0 28 равны зз= — 1,2/Тз, за=о,2/Те. Поэтому особая точка с координатами х,=хзз, ха=О является седлом.
Угловые коэффициенты его сепаратрисс равны зз и зь Полный фазовый портрет системы показан на рис. 7.9,б. Располагая нм, можно проследить, в частности, как ведет себя система на участках, где врутизна характеристики дискриминатора Т(х) отрицательна, или определить область начальных условий, при которых система приходит к устойчивому состоянию равновесия (слежения). Если в момент включения системы напряжения на накопительных элементах ее фильтра нижних частот отсутствуют, то начальное значение скорости изменения ошибки слежения г/х/а/(~-о=хзь=аХ/а! а.
Точка, изображающая начальное состояние системы, находится при этом на прямой х,=а (рис. 7.9,б). В этом случае, как видно из построенного фазового портрета, система перейдет в устойчивое состояние равновесия и сможет успешно следить за воздействием л(/) =а/, если начальное значение ошибки слежения х„ не превышает абсциссу точки пересечения прямой ха=а с входящей сепаратриссой С, седла, расположенного в точке х,=хзм ха=о.
Следовательно, в рассмотренных условиях переход в режим слежения возможен, даже если начальное значение ошибки слежения выходит за пределы линейного участка характеристики дискриминатора. При изменении параметра а и постоянной времени фильтра Тз фазовый портрет системы деформируется. Прн увеличении Те точка равновесия с координатами хм, О становится устойчивым фокусом, а наклон фазовых траекторий уменьшается. Диапазон значений ошибки слежения в момент включения системы, в пределах которого обеспечивается переход в режим слежения, при этом сокращается.
Построение фазового портрета позволяет найти полосу захвата систем ФАП, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка, определить условия захвата во временном авто- селекторе и других следящих системах с нелинейными дискриминаторами. 7.3. Анализ нелинейных систем на основе марковских случайных процессов Понятие о марковских случайных процессах.
Отличительной чертой марковского случайного процесса является простота статистических связей между его предыдущими и последующими значениями. Дискретный вариант этих процессов впервые изучался русским математиком А. А. Марковым. !38 Если известны значения х!, хм ..., х ! случайного процесса в моменты времени /!, /м ..., / !, то в общем случае статистические свойства ,процесса в момент времени / определяются условной плотностью вероятности р(х /х„х,„..., х,). Для простого марковского процесса, рассматриваемого в момент времени /=/, вся предыстория этого процесса полностью определяется его значением х ! в момент времени 1 ! и выполняется соотношение р(х„/х„х„..., х,) =р(х /х,). (7.20) При этом значение х может быть коррелировано с величинами хь хм ', х ь Однако знание этих величин не дает дополнительной информации для определения значения х по отношению к той информации, которую несет величина х,.
Условную плотность вероятности р(х /х !) называют плотностью вероятности перехода простого марковского процесса. Наряду с простым или одномерным марковским процессом часто пользуются понятием многомерного ~марковского,процесса. Поясним это понятие на примере двумерного процесса. Он представляет собой совокупность двух компонент х('1) и д(/), двумерная условная плотность вероятности которых определяется выражением р(х„, д„/х„д„х„д„..., х„„д,) =р(х„, д„/х„„д„,), (7.21) где хь д! — значениЯ пРоцессов х('/), д1'/) пРи /=/ь Как видно из (7.21), распределение значений х„ь д~ !компонент двумерного марковского процесса зависит только от их значений в последний из предшествующих моментов наблюдения.
Аналогично двумерному вводится понятие л-мерного марковского процесса х(!), состоящего из п компонент и описываемого и-мерной плотностью вероятности перехода р(х /х !). Можно показать [331, что процесс х('/) является пчмерным марковским, в частности, в том случае, когда его компоненты х!('/) описываются системой стохастических дифференциальных уравнений вида !1х! /г(/ = а! (х, 1) + Я д!! (х, /) 9; (1), ! = 1, 2,..., и, (7 22) у=! где а!(х, /), Ь;;('х, /) — нелинейные в общем случае функции; 9,® — взаимно-независимые белые шумы с единичной односторонней спектральной плотностью А/® =Лз! — — 1 1/Гц.
Плотность .вероятности гд('х, /), рассматриваемого марковского процесса удовлетворяет [33) линейному дифференциальному уравнению в частных производных, яолучившему название уравнения Фоккера — Планка: дч! х д а и д! — = — 'Я вЂ” (А; ю) + ч~~ ~'Я вЂ” (Вы гд), (7.23) д! ! ! дх! ! !! !дх!дхт 139 в котором коэффициенты Аь Вм определяются соотношениями А;(х, «)=а,(х, «)+ — ~я~ ~чг„й«о« " "' Ьь«(х, «), (7.24) 4 ~ь 1 дхд В «(х, «) = 5, й«(~г Ьы (х, «) Ь«х (х, «).
(7.25) э=1 Компоненты марковского процесса часто также описывают системой стохастических дифференциальных уравнений следующего вида: с[х;7«1« = а, (х, «) + и; («), « =- 1, 2,..., п, (7.26) где и;(«) — пе зависящие от х(«) белые шумы, в общем случае статистически связанные между собой. Взаимные корреляционные функции этих шумов равны Р;«(«„«з) =- «И (я«(«,) и«(,',)) =- 0,5 й«;«б («з — «,), где «т«о — взаимные спектральные плотности шумов и,Г«) и и«(«). В этом случае коэффициенты в уравнении (7.23) для плотности вероятности гэ(х, «) определяются следующим образом: А; (х, «) = а; (х, «), В,« = 0,25 й«,« (7.27) Описание следящих систем с помощью марковских случайных процессов. При анализе нелинейных следящих систем методами теории марковских сл~учайнгях процессов необходимо отобразить изучаемый в системе процесс с по~мощью некоторого марковского процесса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
