Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Подставляя нх в (6.42), получаем 35 (0) йн "д= 523 +ох,(3 й (6.43) Как видно из (6.43), влияние величины коэффициента передачи интегратора й„на составляющие о' г и о' з противоположно. Прн снижении коэффициента й„составляющая о' г, вызванная действием, шума $((), уменьшается, однако при этом растет со- !15 / ставляющая оз„в Продифференцировав выражение (ОАЗ) по и приравняв производную нулю, найдем значение оптимального коэффициента передачи интегратора: Акопу= )' 2о хк/ВДО) — М(Вх. При оптимизации нескольких параметров сложных, систем аналитическое решение системы уравнений, полученной приравниванием нулю частных производных показателя качества системы по ее варьируемым параметрам, оказывается громоздкйм.
В этом случае целесообразно использование численных методов отыскания экстремума функции нескольких переменных и реализация их с помощью ЭВМ. 6.3. Определение характеристик случайных процессов в переходном режиме Во многих практических задачах возникает необходимость рассчитать характеристики случайных процессов в линейной следягией системе не только в установившемся, но и в переходном режиме. Для того чтобы познакомиться с расчетом этих характеристик, запишем стохастичеакое дифференциальное уравнение системы в виде А (р) о (() = В (р) ц ((), (6.44) Л (р), В(р) — дифференциальные операторы; оЯ вЂ” изучаемый (выходной) процесс системы; и(1) — входное воздействие. Случай нулевых начальных условий.
рассмотрим сначала случай, когда воздействие появляется на входе в момент 1=0 и описывается выражением ( 0 при ((О, и(1) = ~ х(() при ()О, где м(1) — стационарный случайный процесс с нулевым,матема- тичеаким ожиданием и известной корреляционной функцией. Значения выходного процесса о(1) и его производных в мо- мент 1=0 также примем равными нулю. Процесс и(1), возникающий на выходе системы при рассмат- риваемом воздействии, является случайным нестационарным.
Его статистические характеристики изменяются во времени, пока в системе не достигается установившийся режим. Одной из этих характеристик является корреляционная функция Я(1ь (з). Ее можно найти различными способами. Если известна импульсная переходная функция д((), соответствующая операторному коэф- фициенту передачи К(р) = В(р)/Л (р) системы, то корреляцион- ную,функцию Я(1„(~) можно найти по формуле ц В ((1 12) =) ~ Ви(1т Ч* 12 — О) л(т)) л(О) Й~НО, (6.45) 0 О где Вх(1ь 1з) — корреляционная функция процесса х(К), дейст- вующего на входе системы прн ()О.
116 Вывод формулы (6.45) аналогичен выполненному в $ 6,1 выводу соотношения (6.3) и отличается от него изменением верхних пределов в интегралах (6.4) †(6.6). Определение корреляционной функции Д((!, (е) по формуле (6.45),получило название метода импульсных характеристик. Корреляционную ~функцию Я((!, (е) можно также вычислить, использовав преобразование Лапласа [29!. Часто вместо определения корреляционной функции ограничиваются вычислением более простой характеристики — дисперсии процесса о(!) и принимают, кроме того, что входной процесс н(!) является стационарным белым шумом с корреляционной функцией тчн ((1 (2) 5 (О) б (га (1). (6.46) Подставив (6.46) в формулу (6.45) н полагая (!=(з=й запишем о (()=Я((, !)=Л(0)[(( 5(0 — и) й (П) д(0) (и (0.
(6А7) об Используя при вычислении внутреннего интеграла в (6.47) выделшощее свойство дельта-фунгсции, получаем выражение для дисперсии выходного процесса системы в переходном режиме ое(!) =о(0) ) йв(т)) г(т(. (6.48). а Если воздействие к(!) является небелым («окрашенны~м») шумом, дисперсию о'(!),,как показано в [32), можно найти по формуле Ф (!) = 2 (' д (и) д, (и) г(и, (6.49) о где д(и) — импульсная переходная функция системы; д!('и)— вспомогательная временная функция, изображение которой по Лапласу равно произведению У('(з))ть(з), здесь К(з) — передаточная функция системы; )гь(з) — изображение по Лапласу корреляционной функции входного воздействия.
При использовании таблиц преобразования Лапласа для определения функций д!(и) н д(и) вычисление дисперсии оз(() по формуле (6.49) оказывается довольно удобным. Отметим, что формула (6.49) предназначена для вычисления дисперсии при воздействии, являющемся небелым шумом. Она остается справедливой и в случае белого шума, если принять, что преобразование Лапласа корреляционной функции (6.46) белого шума равно 0,55(0).
Случай ненулевых начальных условий. В системе, описываемой уравнением (6.44), значсння процесса о(!), воздействия и(!) н нх пронзводных в момент времени Ь=О в обгцсм случае могут быть ненулевыми н случайными. Прн нзученнн в такай системе переходных режнмав, вызванных подключением к ео )!7 шходу в момент времени 1=0 случайного процесса н(1), входное воздействие .можно записать в виде и(1) = п(0 ) при 1=0 н(1) при 1) О. 'Решение уравнения (6.44) в рассматриваемом случае удобно искать в виде суммы о (1) = о, (1) + оз(1), (6.50) где о,(1) — решение уравнения (6.44) при нулевых начальных условиях; оз(1)— решение этого уравнения при ненулевых начальных условиях и н(1) О.
Из представления решения уравнения (6.44) в форме (6.50) следует, что корреляционная функция )Е,(1ь 1,) процесса о(1) в переходном режиме при ненулевых условиях равна Яа(гт Ез) = Ях(гх Ез)+ Еаза(1т Ез)+ Естз((т Ез)+ Нзх(11 Ез), (6.5() где %(1н Ет). ЕЕг(1н Ез), йтз(1п Ез), Лм(Еь 1з) — корреляционные и взаимные корреляционные функцнн процессов о,(1) и ог(1). Дисперсия оз(1) процесса о(1) в обсуждаемом случае, как следует из (6.51), описывается выражением оз (1) = о', (1) + о', (1) + 2о'„(1), (6.52) где озв(1)=А~(1, 1), о з(Е) =Ест(1, 1), оы(1) Ес1з(1, 1) =ма~(1, Е). Рассмотрим методику определения отдельных слагаемых корреляциовиой функции Я,(1н Ез) н дисперсии о'(Е), входящих в выражения (6.5() и (6.52).
Корреляционная функция Я~(Ео Ез) и дисперсия о',(1) соответствуют про. цессу о,(1), возникающему в системе при нулевых начальных условиях, и определяются формулами (6.45), (6.48) при замене в них Л(1п Ез) на Лю(гк Ег) и о'(1) на оз~(1). Корреляционная функция Егз(гн Ег) процесса оз(1) определяется следующим образом. Начальные значения процессов о(1) и и(1) в момент Е 0- полагаются фиксированными. Ищется решение уравнения (6.44) с указанными начальнымп условиями при н(1) =О. Найденный при этом процесс оз(1) зависит от параметров системы и начальных условий.
Корреляционная функция Ест(гь Ез) находится в результате усреднения произведении о,(1,)оз(1,) по всем возможным значениям начальных условий и равна К,(гп Ез) ЛЯоз(1~)о(1г)). Соответственно дисперсия озз(1) равна о'з(1) =цт(1, 1) =М(о'з(1)). Обычно возмущение, действовавшее на систему до момента 1=0 и сформировавшее начальные значения процессов о(1) и и(1) в момент 1=0, не коррелирована с процессом н(Е), действующим на входе системы при 1)0.
В этом случае взаимные корреляционные функции и взаимная дисперсия процессов о~(1) и о,(1) равны нулю, т. е. Я~з(1ь Ез) =тсз1(1ь Ез) =О, ози(1) =О. Изложенная в данном параграфе методика определения корреляционной функции н дисперсии случайных процессов в переходном режиме используется в р 6.4 прн решении задачи о памяти следящей системы.
6.4. Память следящей системы В ряде практических прнснененнй радиотехнические следящие системы работают в условиях периодического пропадания снгна.ла на входе дискриминатора, вызванного, например, глубокпмн амплитудными флюктуацнямн. Замирание сигнала на входе днскрнмннатора приводит к пропаданню на его выходе регулирующего напряжения, зависящего от ошибки слежения, н, как следствне, к размыканню контура управления. В обобщенной струк- !18 турной схеме радиотехнической следящей системы (рис. 6.6) этот процесс отображается размыканием ключа Кль Так ~как в дискриминаторе происходит нелинейное преобразование смеси сигнала н шума, то пропадание сигнала сопровождается также изменением флюктуационного напряжения на выходе дискриминатора.
В структурной схеме на рис. 6.6 это учитывается перебрасыванием ключа Клс, находящегося нормально в левом положении, к источнику флюктуационного напряжения ф,(1). К пропаданию сигнала на входе дискриминатора приводят не только его глубокие амплитудные флюктуации, но и действие некоторых помех.
Так, например, при появлении на входе приемного устройства широкополосной и интенсивной шумовой помехи ® 1сп11 происходит подавление сигна- хлс ла шумом в нелинейных элементах приемника и сигнал на ~~~~ д,1 к(71 входе дискриминатора следя- бс~ щей системы исчезает. Как и в У случае естественных замира- Рис. б.б ний сигнала, пропадание сигнала ца входе дискриминатора при действии мощной шумовой" помехи приводит к размыканию контура управления и сопровождается изменением,флюктуационного напряжения на выходе дискриминатора. Заметим, что при действии шумовой помехи и недостаточной симметрии схемы дискриминатора его выходное напряжение, которое в схеме на рис.
6.6 отображается процессом $„Я, имеет постоянную составляющую, не зависящую от ошибки слежения. Наличие этой составляющей, как показывает анализ, неблагоприятно отражается на работе системы. Поэтому при проектн~рованин дискриминатора значительное внимание уделяют симметрированию. Рассмотрим поведение следящей системы после размыкания контура управления, приняв, что оно происходит в момент времени ~=0, Положим, что до ~размыкания система работала в условиях малых внутренних шумов, при которых ошибка слежения имела нормальный закон распределения ш(х, О) =ш(х, 1) ~~=с После размыкания ~контура управления математическое ожидапиеи О Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
