Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(63) а ь Учитывая, что корреляционная функция стационарного случайного процесса зависит только от разности аргументов, и обозначая Гз †6, от соотношения (6.7) переходим к (6.3). Во многих случаях, например при оценке точности слежения, достаточно найти дисперсию изучаемого процесса. Выражение для дисперсии получается ~нз (6.2) при т=0: о О оз,=Я,(0)= — ~5„(в)(К()в)('с(в= — ~5,(в)с(в. (6.8) 2п 2п Напомним, что спектральные плотности 5„(в), 5„(в) двусторонние и определены как для положительных, так и для отрицательных значений частоты в. Заметим, что наряду со спектральной плотностью 5(в) в ряде случаев используется односторонняя спектральная плотность ЬГ(1), определенная для положительных циклических частот 1. Дисперсия процесса выражается через его спектральную плотность М(1) соотношением от= ) М(1) сц.
(6.9)' о Из сопоставления формул (6.8) и (6.9) с учетом четности функции 5(в) вытекает простое соотношение, устанавливающее связь между спектральными плотностями 5(в) и Лг(1): й) (1) = 25 (в), (6.10) где в=2п(. Если спектральная плотность 5,(в) описывается дробно-рациональной функцией в, то для вычисления интеграл (6.8) удобно представить в виде — ) 5„(в)(К(1в)(зг(в — — ~ " У„, (6,11) 2п 2п — о Н» ()в) Н» ( бз» ()в) =Ьо()в)з» ~.+Ь ()га)з» 4+ ° ° ° +Ь» — полипом, содержащий четные степени в; Н„()в) =а,()в)" +а,()в)" — '+ ... +а„ вЂ” полипом, корни которого лежат в верхней полуплоскости комплексной переменной в; п — степень полинома Н„()в). Результат вычисления интеграла (6.11) прл п(3 определяется равенствами Ьо ~ — Ьо + ао аз|аз 1= г= 2аоаз ' 2аоа, (6.12) аз Ьо + ао Ьз — ао ах Ьз/ аз Уз= 2ао(ао аз — аз а,) ла (6.11) для величин 3<п -.6 можно найти Значения интегра например, в (31].
Пример 6,1. Определим дисперсию ошибки слежения в системе, структурная схема которой показана на рис. 6,1, положив, что 107 5)(гв) =51(0), (6. 13) а операторный коэффициент передачи фильтра описывается выражением (5.21). Поведение этой системы при детерминированных 1Ю воздействиях обсуждалось в 3 5.3, ))11) хй) Операторный коэффициент пебд кф(Я редачи К)„(р) в рассматриваемой системе, как следует из рис.
6,1, равен Рис б.1 — Кф (Р) Ья (1 + Р Тт) Кы (Р)— ) + б„Кф (Р) Т Р + О -+ К Т ) Р+ К где К„=5яйв. В соответствии с (6.14) комплексный коэффициент Ка,()ы) равен (6.14) передачи (6.15) Т,(1 ф)'+(1+К. Т,)1м-(-К. ' Приняв во внимание, что в данном примере роль воздействия и(1) играет флюктуационное напряжение 8(1), а изучаемым процессом является ошибка слежения х(1), и подставив выражения (6.13) и (6.15) в (6.8), запишем а'„= 5е (О) й'„У,, (6.16 у где 1 ~~ (1+оРТ~ВНм 2п „1Та(1 м) +(1+ К, Тд)!м+Кю)~ — (6 17) 2д 1 Тх (1 м) + () + Кя Т1) 1' ш+ К 18 В данном случае, как видно из сравнения (6Л7) и (6.11), и=- =2, Ьо= — Т ь Ь,=1, а,=Т,, а~ —— 1+К„Ть а,=К„. Подставляя эти значения коэффициентов в (6.12) и учитывая (6.16), получаем ов $~ ) Кю )+КиТ~1 (6.18) где 51 (0)15~„— спектральная плотность шума $(1), пересчитанного ко входу дискриминатора; 1=Т,(Т, — отношение постоянных времени пропорционально-интегрирующего фильтра.
Обсудим полученное выражение (6.18). При Т~ — — Тэ=0, что соответствует фильтру системы, состоящему из од~ного интегратора, формула (6.18) принимает внд отх = 5$ (О) К~125'л (6.19) Если на входе инерционного звена с коэффициентом передачи 108 воздействие ),(1) является детерминированным процессом, спектр флюктуационного напряжения $(1) на выходе дискриминатора равномерный, т, е. К(/вэ) =1/(1+/нэТф) действует шум со спектральной плотностью 5(0), то дисперсия процесса на выходе ов = 5 (0)/2 Тф.
(6.20) Из сравнения выражений (6.19) и (6.20) видно, что следящая система с одним интегратором в контуре управления по фильтрации шумов эквивалентна инерционному звену с постоянной времени Тф=1/К„на вход которого подан шум со спектральной плотностью 5а (0)/5'„. При использовании в качестве фильтра системы последовательного соединения интегратора и инерционного звена постоянная времени Т, =О, Тачай, 1=0. г!айденная по формуле (6.18) дисперсия оа„при этом также описывается формулой (6.19).
Это означает, что в рассматриваемой следящей системе постоянная времени Та инерционного звена не влияет на дисперсию ошибки слежения, вызванную ~флюктуационнывм напряжением 9(1). Для поясневвн~я этого несколько неожиданного на первый взгляд результата обратимся к рассмотрению зависимости ~К1 к(/а) ~' от частоты. На рис.
6.2 показана вычисленная по формуле (6.16) для нескольких значений К„Т, зависимость (Кь,(/ы) )'5а„от нормированной частоты нэ/К,. При постоянной величине К„ увеличение постоянной бремени Ть жак видно из рис. 6.2, приводит к сужению частотной характеристики системы. Од- 1неа 11 в нг на а,71 а ав ав ын, () 42 йнв Цб 40 Раа. Б.2 Риа, б.э повременно в частотной характеристике появляется подъем, величина ~которого растет вместе с увеличением постоянной времени Т,. В результате площадь под ~кривыми на рис. 6.2, определяющая величину дисперсии ошибки слежения, остается постоянной.
Значеввие частоты, на которой имеет место подъем частотной характеристики, уменьшается с ростом постоянной времени фильтра. Процессы в системе при этом становятся более медленнымвв. 109 В случае применения в рассматриваемой системе в инерционного звена пропорционально-интегрирующего фи, существует значение постоянной времени Тп при котором ерсия ошибки слежения минимальна. Это положение илл уется рис.
6.3, где показана построенная по формуле (6.18)г'зависимость нормированной дисперсии о'„ от величины 1=Т,/Т, тношения постоянных времени пропорционально-интегрпрующегб фильтра для нескольких значений параметра К,Т,. Как видно з рис. 6,3, при больших значениях К,Тэ уменьшение дисперсии ошибки слежения, достигаемое при вариации величины 1, получается весьма существенным. Величину 1=1 „, при которой дисперсия ошибки слежения минимальна, найдем, продифференциравав выражение (6.18) по и приравняв производную нулю.
После выполнения этих операций получаем уравнение для определения значения 1,,: Китэ( опш+ 21онт откуда 1.„, = ( — 1+ )'1 + к„т,)/к„т,. (6.21) При выполнении условия К„тэ»1 из (6.21) следует 1,„,ж)/)/К.т„т„.,ж ~/т,/К„. (6.22) Как показано в 3 5.3, величина перерегулирования при таком значении 1 равна примерно 30% и, следовательно,,качество переходного процесса получается удовлетворительным. Дисперсия ошибки слежения при К„Т,»1 и оптимальном значении 1=1„„как следует из (6.18) и (6.22), равна 3 (о) я 1 Как видно из этого соотношения, дисперсия о~„при оптимальном значении 1=1,, пропорциональна величине )'К,/Тм равной по определению (5.26) собственной частоте ыэ следящей системы.
Снижение частоты аэ уменьшает дисперсию ошибки, но приводит, как показано в $ 5.3, к увеличению длительности переходного процесса. Уменьшение коэффициента передачи К с целью снижения дисперсии ошибки слежения ограничивается также, как видно из формул (5.32), (5.34), ростом ошибок слежения за изменяющимся задающим воздействием Х((). Пример 6.2. Определим дисперсию о'„ошибки слежения в установившемся режиме в системе, показанной на рис. 6.1, приняв, что $(1) =О, Кв(р)=йи/р, а воздействие Х(1) является стационарным случайным процессом со спектральной плотностью Ях(в) = =2по'ь/(св'+р') и дисперсией о'м Комплексный коэффициент передачи Кх,(/ы) в рассматриваемой системе равен К,„Ц „) ' ' ", (6.23) 1+ ля,ь„//в / в+ Яда„ 110 пускания эквивалентнои системы, которая имеет прямоугольную амплитудно-частотную характеристику, одинаковый с исходной системой (к(а) комплексный коэффициент передачи на нулевой частоте и одинаковую дисперсию выходного процесса при действии на входах этих систем бе- гстс) Гз лого шума.
На рис. 6.4 цифрами ! и Рис. 6.4 2 отмечены зависимости от частоты сэ квадрата модуля комплексного коэффициента передачи исходной и эквивалентной системы соответственно. Из приведенного определения и выражения (6.8) вытекает, что Ь Р, = ~ ( К (! сэ) !' с(сэ, (6.28) 2 (К(0)(' 0 где К((сэ) — комплексный коэффициент передачи системы. При действии на входе системы, белого шума со спектральной плотностью 8(а) =5(0) дисперсия выходного процесса в соответ- 111 Подстав~(в выражение спектральной плотности Ях (сэ) и комплексный коэффициент передачи (~6.23) в (6.8), запишем знпс 2я „(оР -1-)сс) (! си+ Ки(с Для приведен я интеграла ~к виду (6.11) преобразуем (6.24) следующим образ и: — зиа' (! си)сс(со Ф =— (6.25) 2 "„1 (! +(с)( — !си+)с)(!си+К )( — ! +К ) Из (6.25) и определения полинома Н ((си) следует, что в рассматриваемом случае Н„(!сэ) =(! са-(- р) (! си+К) = (!си)'+ ()с+ К) !О+К, р.
(626) Из сравнения (6.25), (6.26) с (6.11) вытекает, что в обсуждаемой задаче п=2, Ьа= — 2)сп'ы Ь,=О, па=1, ас=(с+К„, п,=К,(с. Подставляя этн значения в (6.12), получаем и',. = и'ь р7(р+ К„). (6.27) Дисперсия ошибки слежения в рассмотренной задаче зависит, как видно из (6.27), от дисперсии пзь воздействия )с(!), ширины спектра этого воздействия, характеризуемой параметром р, и коэффициента передачи по контуру управления К„. Понятие эквивалентной шумовой полосы пропускаиия системы.
Для характеристики свойств следящей системы довольно часто пользуются понятием эквивалентной чцумовой полосы пропускания системы. Под ней понимается величина съем„равная полосе про- ствии с (6.8) и (6.28) выражается через полосу ох=5 (О) 2Л Г,) К (О) !з. Часто (К(0) (=1 и тогда связь дисперсии выхо эквивалентной полосы пропускания системы пр но простой вид: гением (6.29) оса н собен- оа =.
5 (О) 2Л г, = Лг (О) Л г „ где Л!(О) =Лг(Д(г=е — спектральная плотность ц е ющая выражени!о (6.9): Л1(0) =25(0). Понятие эквивалентной шумовой полосы уц зовать также при качественном рассмотрении свойств следящей системы, при обсуждении влияния изменения ее параметров на величину флюктуацнонной ошибки слежения. Так как выражение ( К(/ш)( является четной функцией ш, определение полосы Лрз по формуле (6.28) для конкретных систем сводится к вычислеин о интеграла вида (6.!1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
