Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Как видно из (4.12), (4.13), амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы определяется путем перемножения амплитудно-частотных характервстик элементарных звеньев, а фазочастотная — путем сложения их фазочастотных характеристик. Зная характеристики элементарных звеньев, нетрудно построить результирующий годограф всей разомкнутой системы и выяснить тем самым устойчивость замкнутой системы.
В качестве элементарных обычно используются следующие звенья: безынерционное звено с характеристиками К,(/гз)=Й,!К,(/гв)!=!Ф!,ф,(ьз)=~ ' (4,14) 1 — и при й =О, интегрирующее звено с характеристиками К,(/гз) =Й„,//гв, !К,(/гв) !=/г„,/гв,(р (ы) = — и/2, (4.15) 84 инерционное звено с характеристиками кс )=1с1 ~-1 ул,~к,и )(-и г~.~т~, (416) ~рв(в) = — агс(нвТФ, звено, которое часто называют форсярующим, с характеристиками К, (1 в) = 1-1-1 в Т„! К, (1 в) ( = ) '1+ вв Тв„~Рв (в) = агс1н вТ„ (4. 17) звено временного запаздывания с характеристиками Кв(1в) =ехр( 1втв) ! Кв (!в)! = 1 ~Рв(в) = епа (4 18) где т, — время запаздывания.
Амплитудно- и фазочастотные характеристики перечисленных звеньев, построенные на основе соотношений (4.14) — (4 18), показаны кривыми с соответствующими индексами на рис. 4.3, ми и13 с Рис. 4.8 Рис. 4.4 Рис. 4.с Форсирующее звено удобно выделять в системе при построении ее годографа. Однако следует иметь в виду, что отдельно оно физически не реализуется и входит в состав более сложных звеньев, например в состав распространенного фильтра (рнс.
4.4), имеющего комплексный коэффициент передачи К(1в) = (! + +1вТ1)1(1+1вТв) и называемого пропорционально-интегрирующим. Для этого фильтра выполняются соотношения Т,=К1.С, Т,= Я+1г1) С. Название пропорционально-интегрярующий является условным (нестрогим) и связано с тем, что в области высоких частот фильтр близок к безынерционному (пропорциональному) звену с коэффициентом передачи я=Т,1Тв, а в области низких частот близок к интегрирующей ЛС-цепи (инерционному звену). Ввести в систему форсирующее звено можно также путем параллелыюго включения безынерционного и инерционного звеньев или параллельного включения интегратора и безынерционного 85 звена (рис. 4,5).
В последнем случае коэффициент передачи полученного таким образом сложного звена равен К (/ гв) = Й„//ы+ й = й„(1 + /гв 71)//ы, Т, = й/И„. Наличие в составе системы форсирующих звеньев, как можно убедиться путем построения годографа, повышает ее устойчивость. Звено временного запаздывания используется для описания инерционных свойств многокаскадных резонансных усилителей, входящих в состав системы ЧАП, ФАП и АРУ. Время запаздывания т,„связано 19] с числом и каскадов усилителя и его полосой пропускания П соотношением г,=п 'г' тг2 — 1/и П.
При использовании частотных критериев устойчивости аналитические соотношения между параметрами системы, при которых она находится на границе устойчивости, можно найти, решив систему уравнений 1шК,(/гв)=0, КеК,(/гв)= — 1 (4. 19) или ! К,(/ы)~ =1, р,(ы) = —., (4.20) соответствующих прохождению годографа через точку с координатами — 1, /О. Пример 4.2. Оценим с помощью частотного критерия устойчивость системы, проанализированной в примере 4.1, с использованием алгебраического критерия. Комплексный коэффициент передачи разомкнутой системы в данном случае равен Кр (/ ы) = К„(1 + / и 7 )/(1 гз)з (1 + 1 гэ Тз) (1 + / гл 7 ).
(4 2 1 ) Положим, что К„=400 1/с~, 71=0,1 с, Тэ — — Та=0,01 с. Выделив в качесгве элементарных звеньев форсирующее, два инерционных и два интегрирующих звена с коэффициентамк передачи /г,ч//ы= УК,//гв, рассчитаем, используя (4.15) — (4.17), амплитудно- и фазочастотные характеристики этих звеньев. Определив затем в соответствии с (4.12), (4.13) амплитудно- и фазочастотную характеристики разомкнутой системы, построям по пим годограф исследуемой системы. При построении годографа выполняется следующая последовательность операций. Фиксируется значение частоты гэ и по амплитудно- и фазочастотной характеристикам разомкнутой системы определяются значения (Кч(/о) ( и грр(ы) модуля и фазы комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы на данной частоте.
По найденным значениям ~ Кр(/гв) ( н грр(гз) определяется положение вектора Кр(/(з) = ~Кр(/гв) (егчгкч на комплексной плоскости в полярной системе координат. Напомним, что угол грр(гв) отсчитывается при этом от положительной действительной полуоси против .направления вращения часовой стрелки при положительных значениях ~рр(в) и по направлению ее вращения при отрицательных значениях ~рр(в). Конец построенного вектора определяет точку годографа, соответствующую частоте гз.
Описанная процедура повто- 86 ряется далее для других значений из. Построенный таким способом годограф исследуемой системы показан на рис. 4.б. Участок годографа, примыкающий к:началу координат, соответствует большим значениям сс. Участок, уходящий за пределы рисунка, соответствует сс-+4. Так как анализируемая система содержит интеграторы, годограф комплексного коэффициента передачи Кр()и1), как отмечалось ранее, следует дополнить дугой бесконечно большого радиуса. Дополненный таким образом годограф не охватывает точку с координатами — 1, 10, и, следовательно, рассмат~риваемая система устойчива. Для определения максимального значения коэффициента передачи К„при котором данная система устойчива, можно использовать уравнения (4.19). Рис. 4.б Рис.
4.7 Частотный критерий обладает рядом достоинств. Он может быть успешно применен к системам, описываемым дифференциальными уравнениями высокого порядка. Этот метод можно использовать для анализа устойчивости систем, комплексный коэффициент передачи которых не является дробно-рациональной функцией сс. В частности, с его помощью можно исследовать устойчивость систем, содержащих звено запаздывания с комплексным коэффициентом передачи (4.18). Достоинством рассмотренного частотного критерия по сравнению с алгебраическим является также то, что он ие только определяет соотношение между параметрами системы, при которых она является устойчивой, но и позволяет лучше понять в процессе построения годографа физические причины нарушения устойчивости и наметить меры ее достижения. Еще одним достоинством частотного критерия является возможность определения при его использовании запаса устойчивости, который характеризуют двумя показателями: запасом устойчивости по амплитуде и по фазе.
Запас устойчивости по фазе оценивается величиной угла у, (рис. 4.7), равного у,=!80'+~рр(ссср), где частота ср,р, называемая частотои среза, определяется условием ~Кр()ссср) ! =11. Величина у, показывает, насколько должно у~величиться отставание по фазе в разомкнутой системе на частоте ссср, для того, 87 чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Запас устойчивости у, выбирается с учетом возможной нестабильности параметров системы, а также с учетом требования до.
статочно быстрого затухания ее собственных колебаний, позво. ляющего улучшить качество переходных процессов в системе. Обычно считают необходимым иметь у,)30'. Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной 1/(Кр(!гв ) ~, где а, — та частота, ва которой выполняется равенство грр(а,) = — п. Он показывает, во сколько раз должен измениться модуль комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы на частоте гв„чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Требуемый запас устойчивости по амплитуде зависит от того, насколько может возрастать в процессе работы системы коэффициент передачи по контуру по сравнению с расчетным. В радиотехнических следящих системах это определяется в основном возможным увеличением крутизны дисир~иминатора и зависит от построения дискриминатора и устройства нормировки по амплитуде смеси сигнала и шума в тракте, предшествующем дискриминатору.
Использование логарифмических характеристик. При анализе устойчивости с помощью частотного критерия вместо годографа комплексного коэффициента передачи Кр(!га) разомкнутой системы часто строят ее логарифмическую амплитудно-частотную (л.а.х) и логарифмическую фазочастотную (л.ф.х) характеристики. При построении этих характеристик значения частоты откладываются по оси абсцисс в логарифмическоьч масштабе. Изменение частоты при использовании логарифмического масштаба удобно измерять в декадах (дек). Декадой называется интервал, соответствующий изменению частоты в 10 раз.
На логарифмической шкале частот декады изображаются отрезками постоянной длины. При построении л.а.х. разомкнутой системы по оси ординат откладывается усиление этой системы, выраженное в децибелах (дБ) и вычисленное по формуле Ь (гв) = 20! д (К, (! в) (. (4.22) Величине /Кр(1гв) !=10 соответствует прн этом усиление 20 дБ, а величине (Кр(!ы) / =1,12 усиление 1 дБ. При /Кр(!тв) /=1 усиление системы, выраженное в децибелах, равно нулю. Отрицательные значения усиления 1,(гв) возникают при ( Кр(!в)( с 1, что соответствует случаю, когда амплитуда синусоидального колебания на выходе разомкнутой системы меньше, чем на ее входе. Прологарифмировав обе части равенства (4.12), его можно записать в виде Т, (в) = 20!я ( К, (1 га) ( = 'Я 20 !д ! К; (! в)(= ~ 1., (в).
(4.23) 1 г-1 Из (4.23) следует, что л.а.х. разомкнутой системы равна сумме аналогичных характеристик ее элементарных звеньев. Это свойство является важным достоинством логарифмических амплитуд- аа г„аа за газгз га цда ла -га Рис 4.8 Рис. 4.а Л.а.х, инерциои|ного звена в соответствии с (4.16) определяется выражением /з(зз) =20!ф/Рг1+изТзф. При аз«1/Тф /з(аз) =Аз (зз) =О, а при аз»1/Тф Ез(ез) ж/з,(аз) =20(п1/гвТф. Характеристики Ез (аз) и /.„(аз) называют низкочастотной и высокочастотной асимптотами л.а.х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
