Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 20
Текст из файла (страница 20)
+а,) о,(1) = О. г (4,2)' После исчезновения внешнего воздействия вынужденное решение равно нулю, и дальнейшее поведение системы определяется ее собственными колебаниями о,(1). Если собственные колебания ос(г) в системе затухающие, то она приходит к состоянию равновесия и, следовательно, является устойчивой. Решение о,(г) уравнения (4.2) при,некратных корнях за записывается в виде а»аг о, (г') = Я са е (4.3) и-! где за — корни характеристического уравнения А(з)=а„за+а„,з" — ' +...+а,=О, во (4.4) которое получается приравниванием полинома А(р) нулю и заменой в нем оператора дифференцирования р=Й/Ю комплексной переменной з. Если вещественная часть всех корней зь отрицательна, то собственные колебания о,(1), как следует из (4.3), при 1-~-оо стремятся к нулю.
Следовательно, линейная система радио- автоматики устойчива, если вещественные части всех корней ее характеристического уравнения отрицательны. Иными словами все корни характе истического уравнения устойчивой системы должны располагаться в левон половине плоскости комплексных Лй Зж ~ г ~ л м у г стемы радиоавтомвтйкй стредует приравйять нулю знаменатель операторйого коэффициента передачи и заменить в нем оператор р комплексной переменной з. Р 5 2.7 показано, что знаменатели операторных коэффицйентов передачи замкнутои системы, которые связывают воздействия и вызванные ими процессы в различных точках системы, одинаковы.
Поэтому при исследовании устойчивости замкнутой системы радиоавтоматики можно воспользоваться любым из указанных операторных коэффициентов передачи, например коэффициентом передачи Кь„(р) от воздействия Х(1) к ошибке х(1). Это и понятно, так как устойчивость линейной системы определяется собственными процессами в ней и не зависит от внешних воздействий и точки их приложения. Для того чтобы выяснить, является ли система устойчивой, нет необходимости находить точные значения корней ее характеристического уравнения.
Достаточно знать, в какой половине плоскости комплексных величин они находятся. Для решения этого вопроса разработаны правила, называемые критериями устойчивости. Существуют алгебраические и частотные критерии устойчивости. 4,2. Анализ устойчивости с помощью алгебраических критериев Алгебраические критерии устойчивости, предложенные в конце прошлого века английским математиком Раусом и швейцарским математиком Гурвицем, несколько различаются по форме, но по существу близки между собой и сводятся к проверке выполнения определенной системы неравенств для коэффициентов характеристического уравнения исследуемой системы.
Для устойчивости систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядка (и=1, 2), требуется, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения (4.4) были положительны, т. е. требуется выполнение неравенства а;) О. (4.5) Условием устойчивости систем, описываемых дифференциальным уравнением третьего порядка (п=З), является требование положительности всех коэффициентов характеристического уравнения а,)0 и выполнение дополнительного неравенства а,а, а,па.
(4.6) 81 Для систем четвертого порядка (а=4) условием устойчивости является выполнение следующих неравенств: аг-.а, а ~аз г,+аз г,. (4.7) Лналогичная совокупность неравенств существует и для систем более высокого порядка. При а 4, т. е. при невысоком порядке уравнения системы, алгебраический критерий весьма удобен как для определения устойчивости системы с заданными параметрами, так и для получения аналитического соотношения между параметрами системы, при которых устойчивость имеет место.
При а~5 количество неравенств, требующих проверки, возрастает и определение устойчивости с их помощью становится более трудоемким. Пример 4.1. Проанализируем устойчивость типовой радиотехнической следящей системы (рпс. 2.33), приняв, что К(р) = Положим, что в этом выражении со- Р (1+ РТз) (1+ Р Тз) множитель йзг(1+рТ,)7р' соответствует операторному коэффициенту передачи фильтра нижних частот, а сомножители 11'(1+ +рТз) и 1/(1+рТз) являются операторными коэффициентами передачи, описывающими инерционные свойства дискриминатора, УПЧ или других малоинерционных элементов системы.
Операторный коэффициент передачи Кз„(р) в изучаемой системе равен Каз (Р) рг (1+ р Т,) (1+ р Т,) (4.8) ТгТзР +(Тг+Тз)Р +Р +Китгр+Ка где Ка=Зкьчг. На основании (4.8) характеристическое уравнение системы записывается в виде А(з)=Т Тззг+(Тг+Тз)аз+аз+К Т. 3+К =0 (49) Из сопоставления (4.4) и (4.9) следует, что в данном случае а=4, аз = Т Тз. аз = Тг+ Тз аг = 1 а' = К, Т„аз —— К,.
(4.10) Обращаясь к неравенствам (4.7) и учитывая (4ЛО), находим условия устойчивости рассматриваемой системы: К,) О, К, ь (Т, + Тз) (Т,— Тг — Тз\~Тг ТзТ',. (4.11) Как видно из (4.11), граничное значение коэффициента передачи К по контуру регулирования, при котором сохраняется устойчивость системы, существенно зависит от постоянных времени Т„ Т,. Заметим также следующее. Если, приступая к анализу устойчивости, пренебречь малыми постоянными времени Т, и Т, и положить их равными нулю, то будет получен неверный вывод о том, что рассматриваемая система устойчива при любом положительном значении коэффициента передачи К, по контуру регулированяя. Таким образом подтверждается отмеченная в 5 4.1 необходи- 82 мость достаточно полного учета инерционных свойств системы при анализе ее устойчивости. Если рассматриваемая система устойчива, то при малой величине постоянных времени Т, и Т,, когда Т,+Т,«Ть можно при дальнейшем анализе системы, связанном с оценкой динамических и флюктуационных ошибок, положить Тд — — Т,=О.
Исходный операторный коэффициент передачи К(р) при этом упрощается, и порядок дифференциального уравнения, описывающего поведение системы, понижается. 4.3. Анализ устойчивости с помощью частотных иритериев Существует несколько частотных критериев устойчивости.
Один из них предложен в 193б г, советским ученым А. В. Михайловым. Другой вариант частотного критерия разработан в 1932 г. американским ученым Найквистом для исследования усилителей с обратной связью. В 1938 г. Л. В. Михайлов обобщил его на системы автоматического управления. 1(ритерий Найквиста основан на построении годографа комплексного коэффициента передачи Кр()ы) разомкнутой системы управления. Годографом коэффициента Кг(ра) называется кривая, прочерчиваемая концом вектора Кр()гэ) =(Кр()ы) )еги'и на комплексной плоскости при изменении частоты гэ от 0 до со.
Не приводя здесь строгого доказательства, сформулируем критерий Найквиста и поясним методику и некоторые особенности его применения. Замкнутая система автоматического управления устойчива, если годограф комплексного коэффициента передачи У(„(/ьг) разомкнутой системы не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами — 1, 10.
На рис. 4,1 кривой 1 показан при- меР годогРафа !(п()гэ), пРи котоРом замкнУтаЯ система Устойчива. 1(ривая 2 соответствует случаю, когда замкнутая система оказывается неустойчивой. Риа 4Л Рис. 4.з В тех случаях, когда годограф Кр()ы) проходит через точку с координатами — 1, 10 замкнутая система находится на границе устойчивости.
Поясним это положение на основе качественных со- ва ображений. Если годограф проходит через точку — 1, /О, то на некоторой частоте го~ комплексный коэффициент передачи Кр(/дм) = — 1. При этом !Кр(/еп) ! =1, <рр(еп) = — п. В замкнутой системе при <рр(гз) =0 существует отрицательная обратная связь. При рр(кч) = л она меняет знак и становится положительной. Так как )Кр(/кп) ! =1, то на частоте кч выполняется также условие баланса амплитуд, состоящее в равенстве амплитуд на входе и выходе разомкнутой системы.
В результате в замкнутой системе, возникают колебания с постоянной амплитудой, и она находится,на границе устойчивости. В неустойчивой системе колебания имеют нарастающую амплитуду. Некоторые особенности возникают при использовании критерия Найквиста для исследования устойчивости систем радиоавтоматикн, в состав которых входят интеграторы. Так как комплексный коэффициент передачи интегратора равен й //гз, модуль комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы, содержащей интеграторы, при го=О бесконечно велик. В бесконечность уходит и соответствующая ветвь годографа. Для того чтобы в этом случае решить, охватывает ли годограф точку — 1, /О, его дополняют дугой бесконечно большого радиуса, начинающейся на положительной вещественной полуоси координат и проведенной по часовой стрелке до пересечения с годографом (рис.
4.2). При построении годографа разомкнутую систему удобно представить в виде набора последовательно включенных элементарных звеньев. Прн этом выполняются следующие соотношения: !К„(/'гв)! = П (К;(/гз) !, (4.12) р, ( ) = '„Д р; (ю), (4. 13) с=Ь где !Кр(/тв) !, ~рр(сз) — модуль и фаза комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы; !Кг(/ы) !, йз(гв) — модуль и фаза 1-го элементарного звена; /г — число элементарных звеньев.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
