Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Полоса захвата определяет диапазон первоначальных рас- зг строек частоты сигнала, в пределах которого при включении системы обеспечивается переход к режиму слежения. Поло- Рис. 7.2 са удержания определяет диапазон расстроек частоты сигнала, в пределах которого при медленном изменении частоты входного сигнала режим слежения со'храняется, если система в этот режим уже была введена. Зависимость, аналогичная показанной на рис. 7.2, имеет место та~кже в системах фазовой автоподстройки частоты с фильтрамн нижних частот, имеющими операторный коэффициент, передачи 5" 131 Нч (Р) =1/(1+ р Та) или Ка(р) = (1+ рТ,) /(1+/зТ,).
Участок ЛЛ' этой зависимости для таких систем горизонтальный, и расстройка 11 в пределах него равна нулю. Одна~ко в системах ФЛП прн постоянном отклонении частоты входного сигнала задающее воздействие (отклонение фазы входного сигнала) линейно изменяется по времени. Поэтому полоса захвата указанных систем ФАП зависит как от нелинейности характеристики дискриминатора, так и от инерционности фильтра нижних частот. Определение полосы захвата систем ФЛП и ряда других характеристик систем, работающих в нелинейном режиме, связано с исследованием систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Проведение та~кого исследования даже при отсутствии случайных возмугцеппй является сложной задачей. Для .ее решения разработано большое число методов.
Приведем краткую характеристику наиболее распространенных из нпх. Метод кусочно-линейной аппроксимации состоит в разбиении характеристики нелинейного элемента на несколько линейных участков. В пределах каждого из них система описывается линейным дифференциальным уравнением, решение которого может быть найдено достаточно легко. В дальнейшем проводится жсшивание» или ~прппасовыванне» полученных решений. Описанный метод удобен, если число участков, на которые разбита характеристика нелинейного элемента, мало.
При увеличении числа этих участков и повьппении порядка дифференциального уравнения системы громоздкость вычислений возрастает, и применение данного метода становится затруднительным. Метод гармонической линеаризации состоит в замене нелиней. ного элемента линейным эквивалентом. В качестве условия такой замены выдвигается требование совпадения при синусоидальном входном воздействии первой гармоники напряжения на выходах нелинейного элемента и заменяющего его линейного эквивалента.
Так как совпадение должно быть обеспечено по амплитуде и фазгь эквивалентный коэффициент перечачи линейного элемента получается в общем случае комплексным и равным К=1)п/О, где 1/, Г)п — комплексные амплитУДы вхоДного синУсоиДального напряжения и первой гармоники выходного напряжения. Величина К зависит от характера нелинейности и амплитуды входного процесса.
Данный метод может успешно применяться, если все возникающие иа выходе нелинейного элемента гармоники входного воздействия, кроме, первой, эффективно ослабляются последующими узкополосными фильтрами системы. Метод фазовой плоскости применяется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядка. Он состоит в построении на плоскости с координатами х, г(х/Ж фазовых траекторий системы, Этот метод применим для любого типа нелинейности. Он позволяет проанализировать поведение системы при любых начальных условиях, выявить во~зможность возникновения в ней периодических колебаний, оценить устойчивость состояний равновесия.
132 Моделирование на АВМ и ххВМ является эффективным способом исследования нелинейных следящих систем при действии как детерминированных, так и случайных возмущений. В частности, он позволяет изучить такие нелинейные режимы работы, как вхождение в синхронизм систем фазовой автоподстройки частоты, срыв слежения. При моделировании на порядок дифференциального уравнения, описывающего поведение системы, и на количество нелинейностей не накладывается существенных ограничений, что является важным достоинством данного метода. Однако он не позволяет найти аналитические зависимости для изучаемых в нелинейной системе явлений. Для анализа нелинейных следящих систем, работающих в условиях действия помех и случайных возмущений, наиболее часто применяются метод, основанный на теории марковских случайных процессов, и метод статистической линеаризации. Первый позволяет получить точные решения. Однако его применение в настоящее время ограничивается системами не выше второго порядка.
Метод статистической линеаризации приближенный, но применим для исследования нелинейных снстсм, описываемых дифференциальными уравнениями произвольного порядка. Последнее обстоятельство является весьма существенным и определяет широкое использование данного метода в решении практических задач. Весьма эффективным при исследовании нелинейных систем является сочетание песколнкнх из перечисленных методов анализа.
Так, например, при определении полосы захвата системы ФАП находят совместное применение методы фазовой плоскости и кусочно-линейной аппроксимации, методы фазовой плоскости и моделирования. Для анализа устойчивости нелинейных систем, работающих при наличии помех, используется метод совместной статистической и гармонической линеаризации. Более подробно некоторые из упомянутых здесь методов рассматриваются в последующих параграфах данной главы. 7.2.
Метод фавовой плоскости В ряде случаев поведение следящей системы описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка сРх7Й*= гр(х, г(х/й), (7.6) правая часть которого является нелинейной функцией х и производной Их/й. Обозначив х=хь уравнение (7.6) можно заменить системой уравнений первого порядка ~(х1/ ~(~ х2 (7.7) Их,!Й=- гр(х,, х,,). Состояние системы, описываемой уравнениями (7.7), определяется в каждый момент времени величинами х, и хм т. е. величиной координаты х=х~ и скоростью ее изменения. Это состояние системы можно отобразить точкой на плоскости с координатами хь хъ 133 называемой фазовой плоскостью.
При изменении состояния системы изображающая точка перемещается на ~фазовой плоскости по кривым, которые называют фазовыми траекториями. Возможный вид такой траектории показан на рис. 7.3. Совокупность фазовых траекторий, построенных для различных начальных условий, опре- 2 Рнв 7.З Рис. 7.4 делает все возможные процессы в системе и служит наглядным изображением ее динамических свойств. Поэтому ее часто называют фазовым портретом системы.
Чтобы получить уравнение фазовых траекторий, исключим из (7.7) время, поделив для этого второе из них на первое: с/хг/дх, = ~р (х„х,)/х,. (7.8) Интегрирование нелинейного дифференциального уравнения (7.8), выполненное с помощью ЭВМ, графически или каким-либо другим способом, позволяет найти уравнение фазовой траектории хг=©(х,). Каждой комбинации начальных условий хы, х,„соответствует свое решение уравнения (7.8) и своя фазовая траектория. Построение фазового портрета системы обычно начинают с определения его характера вблизи точек равновесия системы, в которых производные г(х1/й=бхг/И=О.
Координаты точек равновесия хм, хгг определяются, как следует из (7.7), равенствами хгг=О, у(хм, О) =О. Точки равновесия при построении фазового портрета системы называют особыми, так,как наклон |касательных к фазовым траекториям, определяемый равенством (7.8), становится в них неопределенным (неопределенность типа нуль, поделенный на нуль). Вблизи точек равновесия нелинейную функцию ф(хь хг) можно линеаризовать и представить в виде ~р (х„хД = — (х,— х„)+ — (х, — х„).
(7,9) д<р д<р х~=кюв х к 1=х„ хх «хв х,=к„ Изменение отклонений Лх-х~ — хм от состояния равновесия во 1зч времени описывается, как вытекает из (7.6), (7.9),ллнейнымдифференциальным уравнением г(з Лх7Й(з + 2т! й Л х7г((+ о О Лх = О, (7.10) где 2 11 =— д~р ~ д~р дх ' дх 3 к,=~,~ "1 к,=»„ Кд — — А .ч=х~~ Поведение фазовых траскторий вблизи особых точек зависит от характера корней соответствующего (7.10) характеристического уравнения (7.11) з'+ 2т) з+ гз' = О, котоРые Равны дьх= — т!ч= ! пз — ызо. Если г!>О и в~о>т!', то пРо- цесс ЛхЯ является затухающим гармоническим колебанием Л х(!) =Ае — ч'з(п(ы(+~р„), где А и р» — амплитуда н начальная фаза колебания; в — его частота, равная )' ы'о — т!з.
Продифферснцировав выражение для Лх(!) по времени, по- лучим х, (!) = А е — ч' [ы соз (ьз ! + ~р„) — !! з !п (в(+ ~р„)]. Фазовая траектория, построенная по приведенным выражениям для процессов Лх('!) и хзЯ, имеет вид скручивающейся спирали (рис. 7А). Соответствующую особую точку называют устойчивым фокусом. Отметим, что при определении направления движения изображающей точки вдоль фазовых траекторий используется следующее правило. В верхней половине фазовой плоскости хз= Нх1/г((>0, поэтому х, возрастает и изображающая точка движется слева направо.
В нижней половинс фазовой плоскости хз<0, и движение вдоль фазовых траекторий происходит справа налево. При г!<О и ьмз>т!' процесс ЛхЯ является гармоническим колебанием с нарастающей амплитудой. Особая точка соответствует при этом неустойчивому состоянию равновесия и называется неустойчивым фокусом. Фазовые траектории вблизи нее имеют внд раскручивающихся спиралей (|рис. 7.5). При выполнении условия 0<во'<Пз корни зьа действительные и имеют одинаковый знак. Если они отрицательны, то особая точка является устойчивым узлом (рис. 7.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
