Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Для любых ф, ф ЕМ величина (Ф, Раф) является комплекснозначной мерой с конечной массой. Эту'меру мы обозначим через и'(~р, Рьф). Применяя теорему Фубини, легко получаем, что $ .хб(р, Рьф)=(р, ц,(1,) ... и.(1„)ф)=(р, и(т)ф). ° а" ЧП1.$. Опаснести, таящиеся ° фермаиьнык манипуяяпияк. Пример Неньсена Теоремы, доказанные в последних двух разделах, могут создать у читателя впечатление, что неограниченные операторы очень похожи на ограниченные, и нужно лишь немного заботиться об областях определения. Но, во-первых, иногда трудно указать точную область определения самосопряженного оператора и не всегда достаточно проверить утверждения на существенной области. А, во-вторых, формальные вычисления могут вводить в заблуждение. Эти соображения мы проиллюстрируем на проблеме коммутатнвности и на одном удивительном примере Нельсона; тогда будет понятно, как трудно иметь дело с неограниченными операторами.
Предположим, что А и  — два неограниченных самосопряженных оператора в гильбертовом пространстве М. Мы хотели бы придать'смысл утверждению: «А и В коммутируют». Это нельзя сделать непосредственно, поскольку разность А — ВА может не иметь смысла ни на одном векторе из Я'.
Например, может оказаться, что (Кап А) ПР(В)=(0», и тогда ВА не имеет смысла, Эго наводит на мысль найти прежде всего эквивалентную формулировку свойства коммутативности ограниченных самосопряженных операторов. Спектральная теорема для ограниченных самосопряженных операторов А и В показывает, что для них А — ЗА =0 тогда и только тогда, когда коммутируют 1о и ззз УШ. Нооораниоенноа ооораеорм все их проекторы (Ро) и (Ра~'1.
Примем зто в качестве опреде- ления в неограниченном случае. Олрадилалае. Два (возможно, неограниченных) самосопряжен- ных оператора А и В называются коммутирующими, если ком- мутируют все проекторы соответствующих им проекторнознач- ных мер. Спектральная теорема показывает, что если А и В комму- тируют, то коммутируют и все ограниченные борелевы функции от А и В.
В частности, коммутипвуют резольвенты Рь(А) иЯ„(В) и унитарные группы е"" и его . Справедливо и обратное ут- верждение, и, значит, данное выше определение коммутативно- сти разумно. Теорема ВНИЗ. Пусть А и  — самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Яо. Тогда следующие трн утвер- ждения равносильны: (а) А и В коммутируют; (Ь) если 1шЛ и 1шр не равны нулю, то Яь(А)1Р„(В)* = Р„(В) Ю,(А); (с) е~'"е"з=е"зе"" для всех з, г ~Р..
Джазааюьсимо. Тот факт, что (а) влечет за собой (Ь) и (с), следует из функционального исчисления. Тот факт, что (Ь) вле- чет за собой (а), легко следует из формулы, выражающей спек- тральные проекторы операторов А и В как сильные пределы резольвент (формула Стоуна), и равенства 3-1пп (з Но+~о (А) = Р~а1 ° ого Для доказательства того, что (с) влечет за собой (а), исполь- зуем некоторые простые свойства преобразования Фурье, дока- зываемые в $1Х.1.
Пусть ~ Е У'(к). Тогда по теореме Фубини ь М / Ю 1 ио<"'"еео=1 ю>(~.- ~м~. е)о= ° 0 4Э Ф =~ ~я .') 1(Л)б(Рь" р, ф)= =~ 2а(<р, 1(А)ф). Итак, используя (с) и еще раз теорему Фубини, имеем (у 1(А) я(В)ф) $ ~ 1(г) я(з) (<р о-лле-мзф) пзог Ф Ф (<р, я(В) 1(А) ф), 8.
Оиаснмти, нииииииии и йииианьнии иинииулинини зэз так что ~(А)а(В) — а(В)~(А) О для всех 1', ШЕФ(К). Так как преобразование Фурье отображает Ф (К) на й". (К), то ~ (А) й(В) Л(В)~(А) при любых 1', ШЕФ(К). Но характеристическая функция т и может быть построена как поточечный предел последовательности 1'„ равномерно ограниченных функций из У. В силу функциональйого исчисления, 1. (А) — Рй м. Аналогично находим равномерно ограниченные й„~~У, сходящиеся поточечно к уи л так, что д (В)-Р„,.
Поскольку ~, и я равномерно ограничены и К,(А)й (В) я (В)Р (А) при любом п, мы заключаем, что Р" и и Ри л коммутирукгг откуда следует (а). ° Хотя, как показывает эта теорема, данное определение коммутативности разумно, с ним не всегда легко иметь дело. На практике А и В обычно заданы на множествах Р,(А) и Р,(В) самосопряженности в существенном, и может оказаться, что построить спектральные проекторы, резольвенты или группы, соответствующие А и В, очень трудно. Поэтому хотелось бы иметь критерий коммутатнвности в терминах самих операторов. В задаче 13 читателю предлагается найти непересекающиес~ области самосопряженности в существенном для операторов х ' и х' в Еи(К). Это означает, что подобный критерий коммугатив- ' ности не может давать необходимое условие, но при некоторых ограничениях можно получить достаточные условия.
Вот две догадки, которые кажутся разумными, но которые нааерньа 1. Пусть Р— плотное подпространство в М, содержащееся в областях определения А и В. Предположим далее, что А: РР и В: Р- Р. Тогда, если АВу — ВАФ=О для любого ~рчР, то А и' В коммутируюг (НЕВЕРНО1). 2. Пусть Р— плотная область самосопряженности в существенномдля А иВ.Предположимтакже,чтоА:Р— Р и В:Р- Р. Тогда, если АВФ вЂ” ВА~р =О для всех ф Е Р, то А коммутирует с В (ЙЕВЕРНО!). Оба эти утверждения неверны, нх посылки недослиппочна, чтобы гарантировать коммутативность. Это удивительно в силу целого ряда причин.
Во-первых, условия кажутся разумными. Во-вторых, Р в условии (2) по предположению является областью самосопряженности в существенном как для А, так и для В,, 1О «////. //а«лранилалаь«а отираторл« поэтому действие А и В на Р должно было бы давать доста- точно информации для выяснения вопроса о коммутативности А и В. Наконец, формально л 1 амв /+ ~Ч1 (ЫВ) ° л! л 1 (Ч1 П.б) Поскольку из условий (1) и (2) следует, что А"В"«р — В Ал«р=() для любых «рЕР, можно ожидать, что е"" и е"э коммутируют при всех з и /. По теореме Ч1П.13 отсюда вытекало бы, что коммутируют А и В. Недостаток этой аргументации состоит в том, что выражения (ЧП1.6) не более чем формальны, и„ в силу неограниченности А и В, могут не иметь смысла ни на одном векторе из Р. Конечные суммы имеют смысл на Р и но отсюда нельзя заключить, что е"" и е/лэ коммутируют.
Сле- дующий пример принадлежит Нельсону. Прил«ер /. Предположим, что М вЂ” риманова поверхность функции )«г и Я~=/.'(М) с лебеговой мерой (локально). Пусть А = ' = — «д/дх и В = — /д/ду на области определения Р, состоящей из всех бесконечно дифференцируемых функций с компактньпщ носителями, не содержащими нуля. Тогда (а) А и В в существенном самосопряжеины на Р; (Ь) А: Р- Р, В: Р- Р„.
(с) АВ«р=ВА«р для «р~Р; («() е««л и е««п не коммутируют. Доказательства (Ь) и (с) очевидны. Для доказательства (а) отметим сначала, что интегрированием по частям можно убедиться в симметричности А и В. Пусть Р ~Р— множество функций из Р, носители которых не содержат оси х ни на одном из листов, Оно также плотно в Е.* (М). Йа Р„определим (1/ (/) «р) (х, у) = «р (х+/, у). Тогда У (/) — сохраняющее норму отображение с плотной областью значений, поэтому его можно продолжить до унитарного оператора на С*(М). В силу сильной непрерывности (/(/) на Р, оно сильно непрерывно и на 1.'(М).
Далее, преобразование У (/) сильно дифференцируемо на Р„и его сильная производная, умноженная на 1-', равна А. Значит, по теореме ЧШ.10 А в существенном самосопряжен на Р„, а следова- Е. Ока«ям«яи, я«ая«Чая«я я «»арка»»яка каяаяуяяяияя эо! тельно, и на Р (задача 14), а его замыкание порождает У(1). Аналогично доказывается, что замыкание  — это инфинитезимальный генератор трансляций в направлении оси у, определенный как продолжение из области Р . Тем самым доказано (а). Для доказательства (й) выберем оресконечнодифференцируемую функцию «р с носителем, содержащимся в некотором малом круге с центром в точке ( — 1/2, — 1/2) на первом листе.
Тогда У(ЦЧ(1) р,-Ч(ЦУ(1) р, поскольку функции, стоящие в разных частях этого неравенства, имеют носители около (1/2, 1/2), но на разных листах. ° ЛРмлелр 2 (канонические коммутационные соотношения). Говорят, что пара Р, Я самосопряженных операторов «удовлетворяет» каноническим коммутационным соотношениям, если Р() — ()Р= — и. (Ч111.7) Операторы Р и Я не могут оба быть ограниченными, ибо если бы это было так, то из соотношения РЦ" — Я "Р = — «пЯ"-«(вытекающего непосредственно из (ЧП1.7)1 следовало бы, что ~~()~~ — = ~~Š— ~~~ЦР~И()~~, т. е. 2 ~~Р ~~ ~~ Я (~= и при всех л, а это противоречит ограниченности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
