Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Итак, или Р, или Я, или оба эти оператора одновременно должныбыть неограниченными, поэтому нельзя обсуждать(Ч111.7), не заботясь об областях определения. Стандартная реализация, или «представление», используемое в квантовой механике, †э представление Шредингера, при котором Яу =1.»(»с), а Р и Р— замыкания операторов дифференцирования «-««(1дх и умножения на х, заданных на г"(Г«). При этом У'(Г«) †облас самосопряженности в существенном для. 1-««1/дх и х, — — Ф (К) «У (К), ж Ф (К) «У (К), и для всех «рЕ«г" (1«) имеем 1 а' /1 «» — — (х«р) — х 1-. — «р11 = — 1«р.
1 «Ь ~ «ая Вопрос в следующем: в каком смысле шредингерово представление — «единственно возможное» представление соотношения (ЧП1.7). Один из способов исследования (Ч111.7) состоит в переходе к унитарным группам. Если У(1) =е"" и Ч(е) =е««о, то формальнь«е вычисления, использующие (ЧП1.7) и формальные разложения в степенные ряды для е"я и е"о, дают У (1)Ч(е) =е'"Ч(з) У (8). (Ч111.8) у1П. Неоаданмчезязя зззяззмям Читатель не должен удивляться тому, что две проблемы: разрешеняе соотношения (У111.7) и разрешение соотношения (УИ1.8), связанные формальным вычислением, — нз зязизалеятяи.
Рассмотрим сначала более легкую проблему (7111.8), в которой приходится иметь дело лишь с ограниченными операторами. Если две непрерывные однопараметрические группы У(Г) и У(з) удовлетворяют соотношениям (У1П.8), то говорят, что они удовлетворяют соотношениям Вейля. Читатель легко может убедиться, что в шредингеровом представлении группы епя исая действительно удовлетворяют соотношениям Вейля. Оператор з"' есть не что иное, как левый сдвиг на г, а зтя — умножение на з"". Следующая теорема утверждает, что с точностью до кратности и унитарной эквивалентности соотношения Вейля имеют единственное решение (доказательство см. в гл.
Х1Ч или в задаче 30 гл. Х). Теорема УН1.14 (фон Нейман). Пусть У(Г) и У(з) — однопараметрические непрерьвиые унитарные группы на сепарабельном гильбертовом пространстве М, удовлетворяющие соотношениям Вейля. Тогда существуют такие замкнутые подпространства Як„что (а) Я=® ЯГ, (Н вЂ” целое положительное или со); с=1 (Ь) У(Ю): Я,— Я„У(з): Я, Я, для всех з, ФЕИ; (с] для каждого 1 существует такой унитарный оператор Т,:Яз, 1.*(м), что Т,У(Г) ТТ' — левый сдвиг иа г, а Т,У(з) Т11— умножение на з"".
Сяадзяыая. Пусть У(Г) и У(з) —.непрерывные однопараметрические унитарные группы„удовлетворяющие соотношениям Вейля на сепарабе1)йном гильбертовом пространстве ЯГ. Пусть Р— генератор У (Г1' ,Я вЂ” генератор У(з). Тогда существует плотная область Р~М, такая, что (а)Р:Р Р,(~:Р- Р; (Ь) РО,щ — РРщ= — ир для всех <рЕР; (с) Р и Я в существенном самосопряженны на Р. Это следствие (простое доказательство которого предлагается в качестве задачи 36) показывает, что любое решение соотношений Вейля обладает инфинитезимальными генераторами, удовлетворяющими каноническим коммутационным соотношениям в смысле выполнения (а), (Ь) и (с). Обратное утверждение не верно, как показывает следующее небольшое видоизменение примера Нельсона.
Пусть Яз =1.'(М), как в примере 1, 1д 1 д Р= —.—, Я + —— 1 дз' 1дз б. каадлаигиенае Форма на области определения Р, введенной там же. Операторы Р и 1~ обладают свойствами (а), (Ь) н (с). Доказательство самосопряженности подобно доказательству в примере 1. Но порождаемые нмн группы не удовлетворяют соотношениям Вейля.
В этом разделе мы хотели продемонстрировать ошибочные результаты, к которым можно прийти путем формального обращения с формальным разложением е"" в степенной ряд. Отсюда, однако, не следует, что прн неограниченном А формальный ряд для е"" ничего не дает. Действительно, предположим, что А— неограниченный самосопряженный оператор, а Ря — соответствующая проекторнозначная мера. Тогда множество Р, векторов вида Р~ и, м~<р, где фЕЯ, а М вЂ” произвольное, но конечное число, плотно н содержится в 1)(А") прн всех л, а оператор А в' существенном самосопряжен на О,.
Более того, если ф= Р1-м, м1 р, то ~~А ф(~(М" ~~ф~~, так что ~ч-с г' й А"ф й (УП1.9) и=О для вср Ф. Поэтому, если ф~й„то ряд ~ (И)" А"ф(а! схо- а=О Ю днтся. Векторы ф ~ 0 .0(А"), удовлетворяющие (ИП.9) прн а=1 некотором г ) О, называются аналнтнческнмн векторами оператора А. На таких векторах степенной ряддля б"'ф имеет смысл и сходится к б'ыф прн достаточно малых Г. Мы вернемся к аналитическим векторам в $ Х.4, где доказывается теорема Нельсона о том, что если симметрический оператор А имеет плотное множество аналитических векторов в своей области определения 11, то он в существенном самосопряжен.
УИ1.6. Кввярвтмчные фермы Одно из следствий леммы Рисса состоит в том, что существует взаимно однозначное соответствие между ограннченнымн квадратичными формами н ограниченными операторами: любое полуторалннейное отображение йс Яб х М' С, удовлетворяющее условию (д(<р, ф) ~ч М~~~рВцф~), имеет внд д(<р, ф)=(<р, Аф) для некоторого ограниченного оператора А.
Как н следовало ожидать, после отказа от условия ограниченности ситуация усложняется. В этом разделе мы вкратце рассмотрим связь между неограниченными формами н неограниченными операторами. Оярлдвлвмае. Квадратнчная форма есть отображение д: Я (д) х м(~(д)- С, где 1~(д) — плотное линейное подмножество в кб, К!г!. нюара««««ча««««ые е««е«ш««е««ы называемое областью определения формы, такое, что «!( . ф) сопряженно-линейно, а «!(«р, ) линейно при «е, «Рб Я («!). Если «! («р, ф)= «! (ф, «р), то мы называем форму «т симметрической.
Если «!(«р, «р) 0 для всех «рб Я(«!), то «! называется положительной формой, а если «!(«р, «р)~ — М~~«р6' для некоторого М, то мы говорим, что форма «г полуограничена. Отметим, что на комплексном Я' полуограниченная форма «! автоматически симметрична, Пример !. Пусть Я~ = Ь'(К), Я («г) = С,",(К) и «! (!, я) = 1(0)и(О). Тогда «! — положительная квадратичная форма. Поскольку «!(~,я)=ба, то можно формально записать «!(~, б)=(~, Ап), где А: и 6(х)я(х).
Так 'как умножение на 6(х) не является оператором, то д дает пример квадратичной формы, которой, кп всей видимости, не соответствует никакой оператор. Пример л. Пусть А — самосопряженный оператор на Ю. Перейдем к его спектральному представлению, так чтобы А стал оператором умножения на х в пространстве ЯЬ*(й, «!)«„). Пусть ею! и е«е=(«е.«е«с. ! х 1 ~*па.«е~ч .< и для всех «р, «р Е Я («!) положим «! («р, ф) = ~~~, '~ ху„(х) «в„(х) щ«„. Мы называем «! квадратичной формой, порожденной оператором А, и пишем Я («!) = () (А); «! (А) называется областью определения формы, порожденной оператором А. Для ф, «рб Я (А) мы часто будем писать «!(«р, ф)=(«р, Аф), хотя А определен не на всех фб Я (А). В некотором смысле Я (А) — наибольшая область, на которой может быть определена форма д.
Чтобы исследовать глубокую связь между самосопряженностью и полуограниченностью квадратичных форм, необходимо распространить на формы понятие «замкнутости». Оператор А замкнут тогда и только тогда, когда замкнут его график, т. е. О(А) полно относительно нормы бф~~л — — й А«р6+цф ~! (задача 15). 'По аналогии введем Оиределпиие. Пусть «! — полуограниченная квадратичная форма, «!(ф, «Р) ) — М 6 ф~1*.
Форма «! называется замннучей, если Я («!) полно относительно нормы ~М+ — р (ф, ф)+(М+ 1И~ МГ. Если «1 замкнута и (р~«~ («1) плотна в я («г) по норме (!.~~(+„то .(Р называется существенной областью формы «р. Отметим, что (~ф()+«порождается внутренним произведением («р «р)+«=Ч(Ф. Ч)+(И+1)(ф «р). Нетрудно видеть (задача 15), что «р замкнута тогда и только Ж тогда, когда из «р„е «",«(о), «р„«р и «) («р„— «р, «р„— «р ) 0 при п, т оо следует: «рЕЯ («р) и д(«р„— «р, «р„— «р) О.
Этот критерий и теорема о мажорированной сходимости показывают, что форма о, порождаемая полуограниченным самосопряженным оператором (пример 2), замкнута. Более того, любая существенная область оператора А является существенной областью формы д (задача 16). Пусть теперь д (Г, я) = Г (0) я(0), как в примере 1, и «р„— функ'ции из С,",, показанные на рис. Ч1П.2.
Тогда «р„~~ 0 н «1(«р„— — «р„, «р„— «р„) .О, но «р(«р„, «р„) 1~у(0, 0), что доказывает Рис. И11.2. График еа. отсутствие замкнутых расширений для «р. Поэтому, хотя «р положительна (и потому симметрична), не существует такого полу- ограниченного самосопряженного оператора А, что д(~,д)= = (1, Ад) для всех 1, йЕС,"- Важным свойством полуограниченных квадратичных форм является то, что в отличие от операторов они не могут быть замкнутыми и симметрическими, но не самосопряженными.
Теорема У1П.18. Всякая замкнутая полуограниченная квадратичная форма «р порождается некоторым однозначно определенным самосопряженным оператором. Докати«пввьсо«во. Не теряя общности, можно предположить, что «р положительна. Тогда, так как д замкнута н симметрична, то «1(«)) — гильбертово пространство (обозначим его через Ро+«) С внутренним произведением (В Ф)+ = «((«р Ф) +(«р ф). » с с с.
НанСсанннонньо она»ансоСсвс Обозначим через М' с пространство ограниченных сопряженно- 'линейных функционалов на эГ+с. Пусть ): фм(., ф) — линейное вложение Я' в М т. Тогда ~(ф) ограничено, так как 10 (фН (ср) 1~ 11 ср!1 11 Ф 1! < 11 р 11+ 11 ф 11. Поскольку тождественное отображение с вкладывает Я'+г в М', мы имеем ашкалу пространств» с с Я»+с М ЯГ-г. Используем теперь лемму Рисса. Пусть Ф ~Я'+т. Обозначим через ВФ элемент из Л „заданный соотношением [ВФ1(ср)= сг(ср, Ф)+(ср, Ф). По лемме Рисса  — изометрический изоморфизм между М+г и Ж с.
ПусгьР(В) =(ф ЕМ'+»1В»райнис). Определим В на О(В), полагая В = )-»В. Имеем 3 / ЯГ =» И+с эГ с -М. Докажем сначала, что область значений ) плотна в ЯГ с. Если бы это было не так, то существовал бы такой Х б М „что Ъ чь0 и сс,[)(фЦ 0 для любого фбМ'. Тогда по лемме Рисса существует такой вектор сох ~ 0 в Ю~„что 0 = й [с (ф)~= [с (ф)1 (чсх) = (со„., ф) для всех ф ~Яй'. Так как срсс чь0, то мы пришли к противоречию. Следовательно, область Кап( плотна в М' с. Поскольку  — изометрический изоморфизм, то В (В) плотна в эВ'+т по норме 11 11,. далее, так как 11 11 н 11 !1+с и Ю+с плотно по норме в Я~, то и ЩВ) плотна в М' по его норме. Предположим', 'что ср, ф б ЩВ).
Тогда (ср, Вф)=сг(ср, ф)+(ср, ф) = =Ч('Ф. сР)+(ф Ч)= (ф, Вср) =(Вср, $). Итак,  — плотно определенный симметрический оператор. Докажем самосопряженность В. Пусть С=В с(; С отображает М' в М, всюду определен и симметричен. По теореме Хеллингера †Тепли С вЂ ограниченныйсамосопряженныйоперат. Более того, он инъективен. Простое применение спектральной теоремы в терминах оператора умножения показывает, что С-'.
КапС- Яà — самосопряженный ойератор. Но С-' =В, Введем теперь А = — 1. Тогда А тоже самосопряжен на В(А) В (В) и (ср, Аф)= д(ср, ф) для ср, фчХ>(А). Так как В(А) 11 11 с-плотна в ЯГ с, то сг †квадратичн форма, порождаемая оператором А. Доказательство единственности мы оставляем в качестве задачи. ° б. Квадратичные фермы Итак, имеется интересное различие между полуограниченными симметрическими операторами я полуограниченными квадратичными формами. Для симметрических операторов нахождение замкнутых расширений не составляет проблемы. Всегда существует наименьшее замкнутое расширение (второй сопряженный оператор), но возможно, что ни одно из замкнутых расширений не самосопряженно. С другой стороны, полуограниченные формы не обязательно имеют замкнутые расширения, но если такие расширения существуют и полуограничены, то они порождаются самосопряжеиными операторами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
