Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Симметрический оператор Т называется в существенном самосонряженным, еслн его замыканяе Т самосопряжено. Если Т замкнут, то подмножество Р~Р(Т) называется существенной областью (определення) оператора Т, когда Т(Р = Т. Если Т в существенном самосопряжен, то он имеет одно н только одно самосопряженное расширение. В самом деле, предположим, что 5 — самосопряженное расширение Т. Тогда 5 замкнут н, следовательно, из Б~Т следует Б=~Т . Т1озтому 5 =Я'~ ~(Т-) Т", н, значит,Я=Т"..Справедливо н обратное утверждение, а именно, если Т имеет одно н только одно самосопряженное расширение, то Т в существенном самосопряжен (см. $ Х.1).
Поскольку Т' Т'=Т-', оператор Т в существенном самосопряжен тогда н только тогда, когда ТсТ"= Т'. Самосопряженность в существенном часто помогает в тех случаях, когда задан незамкнутый симметрический оператор Т. Если удается доказать его самосопряженность в существенном, то ему однозначно соответствует самосопряженный оператор Т=Т". Иначе говоря, если А — самосопряженный оператор, то для его однозначного задания не обязательно давать точное описание области определения (что часто сложно), достаточно описать какую-либо существенную область А.
Предположим теперь, что Т вЂ” самосопряженный оператор н что существует такое р Е Р (Т') =Р(Т), что 7"ф = (ф. Тогда Тф=(ф н — 1(ф, ф) =((ф, р) (Тф, ф)=(ф, Т ф)=(ф, Тф)=1(ф, ф), так что ф=О. Аналогично доказывается, что н Т'ф= — (ф не имеет решений. Обратное утверждение о том, что если Т— замкнутый симметрический оператор н уравнения Т'ф=С (ф не 2. Симмащэмюаи и самоищнзееннае оэераеорм 28З имеют решений, то Т самосопряжен, и является основным при- знаком самосопряженности. Теорема КгП.З (основной критерий самосопряженности). Пусть Т вЂ” симметрический оператор в гильбертовом пространстве Яэ. Тогда следующие три утверждения равносильны: (а) Т самосопряжен; (Ь) Т замкнут и Кег (Т' ~ () = (О); (с) и ап (Т ~-, 1) = Я~. Докааагпельстю.
Как мы только что видели, (а) влечет за собой (Ь). Предположим, что имеет место (Ь), и докажем (с). Поскольку Тчр= — йр не имеет решений, множество Кап(Т вЂ” () должно быть плотным в Ж В противном случае для фбкап(Т вЂ” ()х мы имели бы ((Т вЂ” () <р, ~Р) = 0 при всех ~р Е Р(Т), а тогда ~рЕР(Т') и (Т вЂ” Г) 4=(Т'+()$=0, что невозможно, так как Т'ь|~= — (~р не имеет решений. (Обращая это построение, можно покарать, что если Кап(Т вЂ” () — плотное множество, то ядро Т'+( есть (О).) В силу плотности Кап(Т вЂ” (), нам необходимо доказать лишь его замкнутость, и тогда можно заключить, что Кап(Т вЂ” 1) =Ж Но для всех <рЕР(Т) !! (Т вЂ” () Ф !! — !! Т(р !!э+ !! 4Р !!3, Тогда если у„ЕР(Т) и (Т вЂ” ()щ„- ~„то Ф„сходится к неко- торому вектору ~р, и Тщ„также сходится.
Поскольку Т замкнут, Ч> Е Р (Т) и (Т вЂ” 1) <р, =~Ь. Отсюда Кап (Т вЂ” () замкнут, а по- этому Кап(Т вЂ” ()=Ж Аналогично Кап(Т+() =Я~. Покажем, наконец, что из (с) следует (а). Пусть р~Р(Т'). Поскольку 1(ап (Т вЂ” 1) = Ж, существует такое т~ ~ Р (Т),.
что (Т вЂ” ()т1=(Т вЂ” ()<р. Но Р(Т)~=Р(Т'), поэтому <р — в~Р(Т"1 и (Т' — 1) (<р — т~) = О. Но Кап(Т+1)=Я~, поэтому Кег(Т' — !)=10), так что <р=~)~ ~Р(Т). Это доказывает, что Р(Т')=Р(Т), т. е. что Т само- сопряжен. ° Слвдспзаае. Пусть Т вЂ” симметрический оператор в гильбертовом пространстве. Тогда следующие утверждения равносильны: (а) Т в существенном самосопряжен; (Ь) Кег (Т' ~ () = (О); (с) множества Кап(Т*~ 1) плотны.
В заключение приведем пример, показывающий, что симметрический оператор может иметь много самосопряженных расширений. Чтобы не ввести читателя в заблуждение, отметим, что симметрический оператор может и совсем не имев самосопря. женных расширений (см. задачу 4 и $ Х.1). 71!! Неоераниненные днннаннннн Прамер. Пусть Т=(~Цг(х и Р (Т) = (ф !'ф Е АС ~0, Ц, ф (0) = О = ф (1) ). Простое интегрирование по 'частям показывает, что Т вЂ” симметрический оператор в 1.н[0, 1]. Начнем с определения Т'. Грусть !,— функция, введенная в примере 3 $ Ч111.1.
Зафиксируем 0(а(~<1 и положим !й «(х) =(н(х — !1) — /н(х — а), , В(х) ~ !,,В(Г),11 Пусть фЕР(Т'). Если е достаточно мало, тойн ВЕ Р(Т), так что (Тйн В, ф) =(йй В, Т"ф) . РЛН.3) ПРи е- 0 последовательность йе В сходитсЯ к, хаРактеРистической функции интервала (а, р) в 1.'(О, 1), откуда в (а в, Т'ъф) — — 1 (7ъф) (х) с(х. н Основная оценка примера 3 показывает, что Х,ф= ~ (,(х — 1) ф(1) ~11 сходится в !и к ф, если.. «р непрерывна. Более того, каждый оператор Хн ограничен и имеет норму, не большую единицы, так как если фью!.'(О, 1), то ! (Ф рнф) ! <' ~ $ Ун (» — 1) ! ф (В) ! ! ф (х) ! г(ха = ') $!.
(у) ! ф Я ! ! ф (р+ 1) ! (ц 11 «:.; <!!ф!!!!ф!! $ !.(д)~!у= = !! ф !! !! ф !!. Е Используя е(3-прием, имеем: Х,ф ф для всех фью!.н10, 11. Таким образом, левая часть (У111.3) при е — 0 сходится в смысле среднего квадратичного к — 1(ф(р) — ф(а)). Итак, для почти всех а, !) 1(ф ()1) — ф(а)) = ~ (Т'ф) (х) Ых. 8. Спектральная тюраиа Это означает, что ф абсолютна непрерывна (см. замечания к ф У111.1) и 1 — „„ф (х) = (Т яр) (х). Итак, 1рбАС[0, Ц и Т'ф=(с(ф(х)(с(х. Обратно, интегрирование по частям показывает, что любой яр ~ АС [О, Ц лежит в области определения Т и Тф=1йр!дх.
Следовательно, Т'=(с(!г(х на ):! (Т') = АС [О, Ц. Легко видеть, что Т не есть в существенном самосопряженный оператор, поскольку ' еьябТ?(Т) и (й+я(с(х=~(еь . Оператор Т замкнут (задача 6), и, таким образом, Т служит примером замкнутого симметричесного, но не самосопряженного опе атора. мест ли Т самосопряженные расширения? Да, и притом несчетное число различных! Пусть а б 6, и Ти ~си!=1 и положим Т„=14с!х на сл(Т )=(е! еЕ АС[0, Ц, е(0) =пяр(1)) Каждый из операторов ҄— самосопряженное расширение Т, и при разных а расширения различны (задача 7), Конечно, каждый из Т в свою очередь расширяется оператором Т~.
Эти расширения изображены на рис. УП1.1. Почему различные расширения образуют именно окружность, будет объяснено в $ Х.1. оT Р н с. У111.1. Сеыосонрижениые раситрении Т. УИ1.3. Спектральная теерема Хортиж оаределение должно биль асаылаоб теорены. дж. глимм В атом разделе мы покажем, как обобщить на неограниченные самосопряженные операторы спектральную теорему для ограниченных самосопряженных операторов, изложенную в гл.
Н1. Чтобы пояснить, к чему мы стремимся, докажем сначала следующее Предложение 1. Пусть (М,)с> — пространство с конечной мерой 1я. Предположим, что 1 — измеримая. вещественнозначная г функция на М, конечная п.в. по мере )я. Тогда оператор <р- ~~р е'П1. Нее»рана»еннеа онераторее на (.е(М, 4е) с областью определения РЦТг) = фР ! Й~ Е.У (М, еЩ самосопряжен, и о(Тг) — существенная область значений )е. Дояазалмльство. Оператор Тг, очевидно, симметричен. Предпо- ложим, что ф,~Р(Т~), и пусть У 1, если !Р(ле) !(У, 1 0 во всех других случаях. Тогда по теореме о монотонной сходимости имеем !! Т~ер !! 1пп !!)(„„Т~ф !! Л-ко = 1пп ( зпР ! (еР, те»ТгеР) ! ) ее.е «~ ~Пав е! = 1пп ( зцр !(Т тлер, еР)!) ее-~а ' Над ! = 1пп ( зцр !(~р, 1(„т~$)!) и» ~~1»а ! -1т !!Х.М! Итак, Яб.(.е(М,»(Р), так что ф~Р(Тг) и поэтомУ Тг самосо- пряжен.
Последнее утверждение доказывается, как в ограничен- ном случае (задача 17 гл. ЧП). ° Если об ~ знать больше, то что-то можно сказать и об обла- сти, на которой Тг в существенном самосопряжен. Д1веде»ожем»гв 2. Пусть ~ и Тх удовлетворяют условиям 'пред- " ложения 1: Предположйм также, что ~ ~ е.р (М, е11») при 2 ( р < ао. Пусть Р— произвольное плотное множество в (.»(М, Ще), где е1 е+Р-'=1!2. Тогда Р— сУщественнаЯ область Тг. Яоказалгальсепво. Докажем сначала, что ь» — существенная об- ласть Тл В силу неравенства Гезльдера, !!д!!е(!!1!!р!!й!!' и !! фй!(,~~!!~!!р!!й!!», так что 1»»=.Р(Тг).
Более того, если у~Р(Тг), то пусть л„— фуйкции, равные нулю, когда !л(ле)! > л, и рав- ные и в противном случае. По теореме о мажорированной схо- димости я„— и и фй„— ф в е.е. Так как каждое ае„лежит в 1», мы заключаем, что Ьч — существенная область Тр Пусть теперь Р плотно в е.», и пусть й ~ е.». Выберем такие а ~Р, а а в Е' И !!а.— а!)(!!1!! !!а.— а!!, и !!Те(й,— а)!!е(!!Др!!д„— й!!» следует, что а~Р(Тг)Р). Итак, 1.»»=.Р(Тг!Р), а значит, Р— существенная область. ° За исключением случая, когда ~ЕЕ" (М, е()е), оператор Тг, описанный в предложениях 1 и 2, неограничен.
Таким образом, 3. Саааарааьааа «««««эмма 287 мы нашли большой класс неограниченных самосопряженных операторов. На самом деле все они входят в этот класс. Теорем«з «««Ш.4 (спектральная теорема в терминах операторов умножения). Пусть А — самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Яз с областью определения 17 (А).
Тогда существуют: пространство <М, р) с конечной мерой р„ унитарный оператор У: Ж вЂ” 1.'(М, 4«) и вещественнозначная конечная п.в. функция ~ на М, такие, что (а) «Р ЕЕ>(А) тогда и только тогда, когда 7'( ) (У«Р) (.) Е ЕТ*(М, 4«); (Ь) если «р ЕУ [17(А)1, то (УАУ-'«р) (т)=1(т) «р(т). Дояазапмльстао. При доказательстве теоремы ЧИ1.3 было показано, что А+1 и А — « — взаимно однозначные отображения и Кап(А ~ 1) ='Я~. Поскольку А ~ «замкнуты, то и (А ~ 1)-~ замкнуты и, следовательно, ограничены (теорема 111.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
