Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 56
Текст из файла (страница 56)
ЧП. 3. Спектральные преентеры В предыдущем разделе мы построили функциональное исчисление 1» 1(А) для любой борелевой функции 1 и любого ограниченногосамосопряженного оператора А. Важнейшие функции, УП. СааеоЛоаеьеал теорема приобретенные при переходе от непрерывных функций к боре- левым, — это характеристические функции множеств. Определение. Пусть А — ограниченный самосопряженный оператор, а ле — борелево множество в К. Оператор Ра таХо (А) называется спектральным проектором оператора А.
Как следует из определения, Ро — ортогональный проектор, ибо поточечно Х~о = Хв Хя. Свойства семейства проекторов (Ро ~ ле — произвольное борелево множество) задаются при помощи следукицего элементарного перевода с языка функционального исчисления (задача 22).
Предложение. Семейство Ря спектральных проекторов ограниченного самосопряженного оператора А обладает следующими свойствами: (ау каждый Ро — ортогональный проектор; (Ь)- Ри О, Р<,, е1 7 для некоторого а; (с) если И= 0 Я„, причем Я ()Й =я для.всех пчьт, то и 1 и Ро збпп ( ~~~~ ~Ра и (б) Ра,Ра, = Ра, ао, ° Условие (с) очень напоминает условие, определяющее меру. И действительно, так и вводится Определение.
Семейство проекторов, удовлетворяющих условиям (а) †(с), называется (ограниченной) проекторнознвчиой мерой. Отметим, что абстрактные рассуждения (задача 22) позволяют вывести (б) из (а) и (с). Как и следовало ожидать, по проекторнозначной мере можно интегрировать. Если Ро — проекторнозначная мера, то (Ф, Ря Ф)— обычная мера при любом ф. Для обозначения интегрирования по втой мере мы будем пользоваться символом д(Ф, Рлф).
Стандартный метод с применением леммы Рисса показывает, что существует единственный оператор В, такой, что (Ф, Вф) = ) г ()л) е( (Ф, Рлф). Итак, справедлива Теорема УП.7. Если Ря — проекторнозначная мера и ~ — ограниченная борелева функция на зпрр Ря, то существует единственный оператор В, который мы обозначаем ) Г(Х)ЫРл, такой, что (Ф, Вф)=$ ~()л)а(ф, Рлф) 'фгФЕЖ з: спектоальные эроекторм Пример, Если А — ограниченный самосопряженный оператор и (Ро» вЂ” соответствующая ему проекторнозначная мера, то легко видеть (задача 23), что Г (А) = ~ Г (Л) дРм В частности, А = ~ Лба,.
Предположим теперь, что задана ограниченная проекторнозначная мера Ро, и построим А=) ЛВРх. Не удивительно (задача 23), что Ро — это как раз проекторнозначная мера, ассоциированная с А. Итог нашим построениям подводит Теорема $гИ.8 (спектральная теорема в терминах проекторнозначных мер). Существует взаимно однозначное соответствие между (ограниченными) самосопряженными операторами А и (ограниченными) проекторнозначными мерами (Ро», задаваемое формулами: Ан(Ро» (Хр(А)», (Ря» ~ А = ~ Л г(Рь. Как раз при помощи этой теоремы и ее обобщения на неограниченные операторы вводятся самосопряженные операторы в квантовую механику, поскольку наблюдаемые естественно представлять себе как проекторнозначные меры (обобщение приведено в 3 Ч111.3, а квантовомеханические пояснения — в замечаниях к 3 7111.11).
Спектральными проекторами можно воспользоваться для изучения спектра оператора А. Предложенае. Л б о (А) тогда н только тогда, когда Рв ь,„(А)~ -ьО при любом е > О. Важная часть доказательства (детали которого мы опускаем; см. задачу 24) — равенство»»(А — Л) 'И =где(Л, о(А))1 '. Это предложение позволяет различать два следующих тина спектров: Определение.
Мы говорим, что Л Е о, (А) — существенному спектру оператора А, тогда и только тогда, когда проектор Рь ь+„(А) бесконечномерен для всех е > О. Если Л~о(А), но Ра я „(А) конечномерен для некоторого е>О, мы говорим, что Лавам,(А) — дискретному спектру оператора А. Проектор Р называется бесконечномерным, если бесконечномерно Кап Р. Итак, мы имеем еще одно разбиение спектра о(А). В отличие от первого это разбиение на два непересекающихся подмножества. Отметим, что оаь, не обязательно замкнуто, однако спра- ведлива М! !.
Спектрваназ теорема Теорема УИ.У. Спектр о (А) всегда замкнут. Доказательс!нао. Пусть Л„Л, причем каждое Л„~а,„(А). Поскольку любой открытый интервал 1 вокруг Л содержит интервал вокруг некоторого Л„, проектор Р!(А) бесконечномерен. ° Следующие три теоремы дают другие описания оаь, и оь,ь.
Их доказательства мы оставляем читателю (задача 2б). Теорелш ГИ.10. Л б оьь, тогда и только тогда, когда одновременно выполнены следующие условия: (а) Л вЂ” изолированная точка о(А), т. е. для некоторого е имеем (Л вЂ” е, Л+ з) 11 а (А) = (Л); (Ь) Л вЂ” собственное значение конечной кратности, т. е. множество (ф) Аф=Лф) имеет конечную размерность.
Теорема УИ.11. Лбо, тогда и только тогда, когда выполнено по крайней мере одно из следующих условий: (а) Л~о, «(А)— = о„(А)Вон,(А); (Ь) Л вЂ” предельная точка ор (А); (с) Л вЂ” собственное значение бесконечной кратности. Теорема УИ.12 (критерий Вейля). Пусть А — ограниченный самосопряженный оператор. Тогда Лбо(А) в том и только том случае, когда существует последовательность (ф„)„" „такая. что 'рф„Ь'=1 и 1пп Й(А — Л)~>„й О. При этом Л~а, (А) тогда и л только тогда, когда последовательность (ф„) можетбыть выбрана ортогональной.
Как и следовало ожидать, существенный спектр невозможно изменить конечномерными возмущениями. В $ Х111.3 мы докажем общую теорему, из которой следует, что о (А) =о (В), если А —  †компактн оператор. В заключение мы обсудим одну полезную формулу, связывающую резольвенту и спектральные проекторы. Положим ь 1,(х) = — „,. ') ( — -ь — — — „— „+,. ) !(Л.
Непосредственные вычисления показывают, что О, х([а, Ь1, !ь(х) 1/2, х а или х=Ь, 1, х Е (а, Ь), при е10. Более того, ~)ь(х) ~ равномерно ограничен по е, так что из функционального исчисления получается 4. Сноои об ороодииооноа теории. Кунминиом Теорема УИ.13 (формула Стоуна). Пусть А — ограниченный самосопряженный оператор; тогда ь з-1пп —.) ~ . — — ) Ж~= — [Рго ь1+Рм,ь~~.
еьо 2ьи',1 ~А — л — Ье А — л+~о) 2 УП.А. Снова об врголнческой таорнн. Купманнзм В $ 11.5 мы ввели понятие эргодичности для сохранякицего меру биективного отображения Т: Я вЂ” Я, где Я вЂ” пространство с конечной мерой р и р(Т-'(М)) =р(М) для любого измеримого множества Мо=Я. Как следовало из леммы Купмана, оператор У, заданный формулой (Щ(и) =1 (Тв), уинтарен на Е'(Я, а)ь). Мы называли отображение Т эргодичным тогда и только тогда, когда 1 — его простое собственное значение (т. е. собственное значение кратности один). В этом разделе мы хотим подробнее рассмотреть идею Купмана о том, что важные свойства Т можно описать на языке спектральных свойств оператора У. Чтобы лучше ощутить нужное для этого понятие перемешивания, которое мы вскоре введем, рассмотрим сначала пример.
Пример 1. Пусть Я вЂ” поверхность тора, которую можно представлять себе как множество пар чисел <х, у>, где О (х <1, О~~у<1, наделенное такой топологией, что окрестности нуля содержат точки вблизи 1. Две пары <х, у> и <г, в> вещественных чисел рассматриваются как эквивалентные, если х — г и у — в — целые. Тогда Я является множеством всех классов эквивалентности пар. Определим двупараметрическое семейство отображений Т ь:Я вЂ” Я формулой Т,,<х, у>=<х+а, у+Ь>. Отображение Т,„ь сохраняет лебегову меру.
Когда оно эргодично по отношению к этой мере? Если пользоваться определением эргодичности, которое требует, чтобы не существовало инвариантных множеств с мерой, отличной от 1 или О, то не ясно, какие Т, эргодичны. Однако, если обратиться к оператору У, ь. (У, ь1)(х, у)=~(х+а, у+Ь), то видно, что он имеет полную систему собственных векторов ~р„(х, у) =ехр [2яг(лх+льу)1. В самом деле, У, ь~?т =ехр [2я((ла-1-льЬ)1~?„, .
Когда 1— простое собственное значение? Очевидно, тогда и только тогда, когда ла+льЬ=Й не имеет целых решений л, ль и й, за исключением а=не=О (например, при а=я, Ь=)~2). Итак, Т„, .„- эргоднчно, и в этом случае средние по пространству равны средним по времени. Но произошло это скорее потому, что образы (Т"в~вЕ Я) образуют в Я плотное и доста- Р11. Саеомролаааа теорема точно равномерное множество, чем потому, что Т" «размазывает» некоторую малую окрестность точки в на все Я, как на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
