Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 54
Текст из файла (страница 54)
(2) Множество (1(А) ~ 1Е С (о (А))) образует абелеву алгебру, инвариантную относительно сопряжения, так как для любых 1 и и имеем ф=ф. В силу равенства 81(А)й='й~))„и полноты пространства С (о (А)), множество (1(А) ~ ~ Е С (и (А))» замкнуто по норме. Таким образом, оно является абелевой С'-алгеброй операторов.
(3) кап ф совпадает с С -алгеброй, порождаемой оператором А, т. е. наименьшей С'-алгеброй, содержащей А (задача 10). (4) Утверждение об изометрической изоморфности С(о(А)) и С'-алгебры, порождаемой оператором А, в действительности является частным случаем теоремы Гельфанда — Наймарка для коммутативных алгебр, рассматриваемой в гл. ХЧ. (5) Легко показать, что свойство (Ь) следует из (а) и несложного абстрактного утверждения (задача 11). Итак, уже (а) и (с) однозначно определяют отображение Ф.
о В заключение мы рассмотрим два конкретных примера ф(1). Прамер 1. Как следствие мы получаем новое доказательство леммы о квадратном корне (теоремы Ч1.9) в той части. где говорится о существовании. Действительно, если А ~~0, то о(А) а ~ [О, оо) (задача 12), и если 1(х)=х'/*, то ~(А)ь= А. МТРм.илр 2. Из пункта (й) теоремы Ч11.1 очевидно, что й(А — Л)-'й=(ц1з1 (Л, п(А))1 ', если А ограничен и самосопряжен, а Лфп(А). УП. Саеатрааьааа теорема УП.2. «.пантрапьныв меры Теперь мы готовы ввести те меры, о которых уже несколько раз говорили выше. Пусть задан некоторый ограниченный само- сопряженный оператор А, и пусть фью%'. Тогда отображение (ф, 1(А)ф) является положительным линейным функционалом на С(о(А)), Таким образом, по теореме Рисса — Маркова (теояема 1Ч.14) существует единственная мера рф на компактном множестве п(А), такая, что (ф, 1(А)ф) ) 1(Х)«(рф.
о<ю Олределелле. Мера р„~ называется спектральной мерой, ассоциированной с вектором ф. Первое и простейшее применение меры рч — это возможность расширения функционального исчисления на множество Я (е«) ограниченных борелевых функций на е«. Пусть ВЕЗ(е«). Естественно определить я(А) так, чтобы (ф, д(А) ф)= ) й(Х) е(рф(Х). оы) Матричный злемент (ф, я(А)ф) может быть вычислен теперь с помощью поляризационного тождесгва, а лемма Рисса позволяет построить оператор я(А).
«Правила» такого «функционального исчисления измеримых функций» дает следующая ТеоремЪ УИ.2 (спектральная теорема в терминах функционального исчисления). Пусть А — ограниченный самосопряженный оператор на Ж. Существует единственное отображение ф: Ж (е«) -"- ° у(ро), такое, что (а) ф — '' алгебраический «-гомоморфизм; (Ь) ф непрерывно по норме: йФЯ~~.~ ад((~Д; (с) если 1(х) =х, то Ф(1)= А; (б) если, ~„(х) 1'(х) для любого х, а совокупность норм )~~„~~ ограничена, то ф«(~„) фф си«оно. Кроме того, отображение ф обладает следующими свойствами: (е) если Аф= Хф, то ф(1)ф=((Х)ф; (1) если ~) О, то ф(Д)~0; (д) если ВА= АВ, то фЩВ =Вф(~).
В задаче !3 мы предлагаем читателю самостоятельно доказать зту теорему. После того как доказана теорема ЧП.1, единственная нетривиальная часть †провер пункта (4), которая требует применения теоремы о мажорированной сходимости. Отображение ф расширяет ф, и, как и выше, мы будем писать ф(1) =1(А). 2. Сласаральныв мерв 251 Как и в функциональном исчислении непрерывных функций, справедливо равенство 1(А) я(А) = я(А) 1(А). Поскольку Я(й) — наименьшее семейство, замкнутое относительно сходимости, использованной в пункте (о), и содержащее все С(м), мы знаем, что всевозможные Ф()) лежат в наименьшей С'-алгебре, содержащей оператор А, которая также сильно замкнута. Такие алгебры называются алгебрами фои Неймана, или Ф"-алгебрами.
Когда мы в гл. ХУП1 займемся алгебрами фон Неймана, мы увидим, что приведенное утверждение следует из (й). Равенство норм, указанное в теореме УП.1, можно расширить, если определить норму .йгй'„как Е'"-норму по отношению к должным образом введенному понятию «почти всюду» (п.в.). Действительно, выберем какой-либо ортонормированный базис (ф„) в Яв и будем говорить, что некоторое свойство имеет место п.в., если оно имеет место почти всюду по каждой мере цчг Тогда !! Ф У)!!хж =!! 1 11-. В следующем разделе мы обратимся к операторам то(А), где уо — характеристическая функция.
Это наиболее важный набор операторов в функциональном исчислении измеримых, но не непрерывных функций. А сейчас мы займемся построением пространств Ь* с помсяцью спектральных мер. Прежде всего введем такое Оврвделвпая. Вектор фЕЯг называется циклическим вектором оператора А, если множество конечных линейных комбинаций элементов (А"ф)", плотно в Яг. Не все операторы имеют циклические векторы (задача 14), но если такой вектор существует, то выполняется Лемма 1. Пусть А †ограниченн самосопряженный оператор с циклическим вектором ф. Тогда существует унитарный оператор У: Я~ Е.'(а(А), йря), такой, что (ЦАЦ-')) (А) =Ц (Р~), причем равенство здесь понимается в смысле Е®(о(А), йрч).
Доказательсямо. Определим отображение У формулой УФ Д) ф ам ~, где ~ непрерывна. По существу, У обратно к отображению Ф из теоремы У11.1. Чтобы показать„что У корректно определено, вычислим !1Фйф!! =(ф Ф (АРФУ)ф)-(ф Ф(Вф)- = 1!у(з,) !ай„„. Следовательно, если ~=я п.в. по отношению к цч, то Ф(1)ф= ф(д)ф. Итак, У корректно определено на (Ф(1)ф~~ЕС(о(А))1 У11. Слвлл11л1льнал лиьвллв и сохраняет норму. Так как ф цикличен, т.е.
(ф (1) ф ~ г Е б С (о (А)Ц = Я~, то по теореме об ограниченном линейном отображении У расширяется до изометрического отображения Я' в 1.*(о (А), 1(Рэ). ПосколькУ С(о (А)) плотно в Т,л, то Кап~l = =.(.л(о(А), и)1ч). Наконец, если ЯС(о (А)), то (У АУ-'~) (Х) = [УАф (~)1 (Х) = ~Уф '(хЯ (Х) = Ц (Х). По непрерывности это равенство продолжается с 1.бС(о(А)) на Г'Е 1-1 ° Чтобы расширить эту лемму на произвольные А, надо воспользоваться тем„что А имеет порождающее Я~ семейство инвариантных подпространств, такое, что А цикличен на каждом подпространстве: Лемма й Пусть А. — самосопряженный оператор на сепарабельном гильбертовом пространстве М'. Тогда существует разложение в прямую сумму Яэ = Я Яэ„, где М = 1, 2, ...
или ао, такое, что л 1 (а) А оставляет каждое Я~„инвариантным, т. е. из фбЯ2'„,следует АфблГ„; (Ь) для любого п существует ф„ЕЖ„, который цикличен для сужения А )ЯК„, т. е, Я', (г(А) ф„~~бС(о(А))). Доказательство. Простое применение леммы Цорна- (задача 15). Теперь, сочетая леммы 1 и 2, докажем спектральную теорему в той форме, которая нам кажется самой прозрачной: Теорема (~П.З (спектральная теорема в терминах оператора ' умножения).
Пусть А — ограниченный самосопряженный оператор на сепарабельном гильбертовом пространстве лГ. Тогда существуют меры 1)1„ф1(У 1, 2, ... или оо) на о(А) и унитарный оператор такой, что (УАУ 'ф)„(Х) =Хф„(31), м ГдЕ МЫ ЗаПИСаЛИ ЭЛЕМЕНТ ф Е ® Т.л (К, Ыр ) КаК НабОр <ф1 (Х), ... л 1 фл (Х)). Эта реализация оператора А называется спектральным представлением. Докажипельспмо. Воспользуемся леммой 2, чтобы найти разложение, а затем леммой 1 для каждой компоненты.
° Эта теорема показывает, что любой ограниченный самосопряженный оператор есть оператор умножения на подходящем пров 2. Сам!мер!ее»мие мери странстве с мерой. При изменении оператора изменяются лишь соответствующие меры, а именно имеет место такое Сееедстеив. Пусть А — ограниченный самосопряженный оператор на сепарабельном гильбертовом пространстве тр. Тогда существуют пространство с конечной мерой <М, р>, ограниченная функция Р на М и унитарный оператор У: Я' — ' 1.»(М, !(р)! такие, что (УАУ »1) (л!) =Р(т) 1(т). Доииаелельспмо.
Выберем циклические векторы ф, так, чтобы (~ ф, ~~= 2 ". Пусть М = () К, т. е. объединение р1 экземпляров !к. » 1 Зададим )! условием, что ее сужение на а-й экземпляр й есть )ь„. Так как р (М) = ~~!, )е„(ес) < оо, то р конечна. ° »=1 Отметим также, что доказанная теорема есть в сущности строгая форма обычных в физике днраковых обозначений. Дейст. вительно, положив ф„(х) = ф(х; а), мы в сионом представлении, заданном оператором У» найдем (ф,ф)=Х1др.ф(Л; а)ф(Л; л), (Ф Аф) =Х 5 е(р,ф(Л; и) Лф(Л; и).
Это и есть знакомые физикам формулы с той лишь разницей, что формальные суммы заменены интегралами по спектральным мерам. Здесь мы ввели такое Олределвмае. Меры е(р„называются спектральными мерамн; они совпадают с е(рч при подходящих ф Эти меры определены не однозначно, и позже мы обсудим это. Сначала, однако, рассмотрим несколько примеров. Првмер 1. Пусть А — самосопряженная и хм-матрица.
«Обычная» конечномерная спектральная теорема утверждает, что А имеет полную ортонормированную систему собственных векторов ф„... ..., ф„, где Аф!=Л!фе, Предположим сначала, что собственные значения различны. Рассмотрим сумму дираковых мер * ~~~~ ~б(х — Л!).
Тогда 1.»(К, пр) совпадает с С", так как ~~1,* 1=1 задается набором 1= <1(Л!), ..., 1(Л„)>. Ясно, что функция Л1 соответствует набору <Л»1(Л!), ..., Л„1(Л„)>, так что А — умножение на Л на Ь» (К, !1р). Если мы выберем р = Х аеб (х — Л!), где ! ! У!Е Слелевюееллл теорема е а„..., а„> О, то А снова может быть представлен как оператор умножения на Л на Ее(т„4е). Таким образом, в этом случае мы въявь сталкиваемся с неединственностью меры. Легко также понять, когда требуется более чем одна мера (в смысле числа слагаемых в разложении теоремы е'П.З): конечномерный самосопряженный оператор может быть представлен как оператор умножения на пространстве Ее(Е, 4е) с одной мерой тогда и только, тогда, когда А не имеет повторяющихся собственных значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
