Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 51
Текст из файла (страница 51)
На самом деле 9г(~гь)е-норма на г есть в точности !! ~~„так что замыкание зг в этой норме есть в точности 2,. Слабая топология на .У(Ж), порождаемая всеми функционалами из у„т. е. топология о(.У(ук), 7,), называется ультраслабой топологией на .сг (уб). Отметим, что она сильнее слабой операторной топологии, поскольку относительно нее большее число функционалов должно быть непрерывным, но слабее, чем слабая банахова топология на .У'(уб), поскольку,7, не есть все сопряженное к .2г(лй).
На самом деле, поскольку .У(М)= 2;, ультраслабая' топология на .й'(Я') в точности совпадает со е-слабой топологией. Реализация пространства .У(Ж) как сопряженного кбанахову пространству линейных функционалов, непрерывных в топологии и (.У(1гб), К), возможна для широкого класса алгебр, а не только для.Я'(ак). В задаче 31 приведен другой пример: мультипликаторная алгебра 1," на 1,з. Подробно мы будем изучать такие алгебры в гл. ХУ111. ЗАМЕЧАНИЯ 9 У1.1.
Читатель, возможно, смущен обилием. топологна, введенных немн на .й (Я~): слабая, снльная, равномерная операторные топологвн, слабаа банахова, ультраслабая($Ч1.6). Лалыпе мы встретям еще в ультраснльную топологню. Зачем нужно вводнть все зтн топологннр Оказывается, многяе янтересные операторы задаютса как тот нлн иной предел более простых операторов. И очень важно знать тон ыа смысл предельного перехода н поннмать, какие свойства последовательностн передаются предельным операторам, подобно тому, как мы знаем, что равномерный предел компактных операторов компактен.
Более того, прн нзученнн какой-ннбудь проблемы не всегда заранее нзвество, в каком смысле будут существовать пределы, н потому полезно иметь щнроквд выбор топологнй. Вообще говоря, в т. 1 н 11 важны слабая, свльнан в равномерная топояогнн.
Ультраслабая н ультраснльная топологнн будут играть роль прн нзученнн алгебр фон Неймана. Слабая, сальная н ультраснльная операторные топологнн были введены в работе фон Неймана: Л, топ )ченщапп, Енг А!аеьга бег гпп)г!1опа!орете!1опеп ппб ТЬеог!е бег Ногте!еп Орете(огеп, Ма(Д. Алп., 102 (1929 — !930), 370 — 427. б У1.2. Спектрзаьная теорема для самосопряжеяных операторов на конечно- мерных векторных пространствах прекрасно нзложена П. Халмопмм в кннгю Конечномерные векторные пространства, Фнзматгнз, М., 1963.
б У!.3. Определенна разлнчных твпов спектра будут использованы н в случае неогрзннченяых операторов. Теорема ч'1.5 выполняется, еслн потребовать, У1. Ограничанныэ операторы чтобы Т был замкнутым оператором. Если Т ограничен, он, конечно, автоматнчески замкнут. Теория аналитических функций со значениями в банаховом пространстве весьма подробно излагается в монографии Э. Хилле и Р. С. Фнллипсаг Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, 'М., 1962. Они обсуждают и более сложное понятие аналитической функции нэ одыого банахова пространства в другое. Доназателъство теоремы Ч(Л можно найти в книге К. Йоснды: функциональный анализ, чМнрэ, М., 1967. Некоторые авторы (например, Иосида илн Хилле и Филиппс) используют термин чнепрерывный спектра для обозначения тех ДЕа(Т).
которые не принадлежат нн точечному, ыи остаточному спектру. Другие (такие, как Като нлн Рисе и Надь) используют то определение, которое мы даем в 9 ЧП.2. Важное различие этих определений состоит в том. что при нашем определекнн нюрерывная и точечная части спектра могут пересекаться. 5 Ч1.4. Полярное разложение для линейных преобразований на Ва имеет простой геометрический смысл. Любое такое преобразование А можно записать в виде А = 03, где 0 — ортогональыое, з  — самосопряженное преобразования.
В силу спектральной теоремы В может быть сжатием, растяжением нлн аннулированием вдоль определенных ортогональыых направлений. Понятие положительности естественно обобщается на операторные алгебры н будет играть важную роль в наших исследованиях в следузицих томах. Утверждение о том, что неравенство треугольника не выполнвагся для т.
е. что ( А+В ( может превосходить ) А 1+( В ( (см. задачу 16),— это утверждение о том, что 1(х)=!х~ не есть выпуклая операторнозначная функция, т. е. неравенство 1(гА+(1 — г) В)~ 1! (А)+(1 — !) 1(В) прн О~!а~1 может не иметь места для общих операторов А н В, несмотря на то, что 1(гх+ + (1 — 1) у) ~ Г) (х)+(! — !)! (у) прн вещественных к и у н О~ Гч 1. Вопрос о том, какие именно матрицы и операторнозначные функции выпуклы, был изучен в работах: Р.
Кгаызз, ОЬег )гоптехе Ма!г(х(ып)г!1опеп, Ма(А. 2., 41 (1936), 18 — 42; 1. Вепба(, 3. Я!егпьап, Моно(опеапб Соптех Орега(ог Рппс!1- опз, Тгаиз. Атег. Ма(Ь. Юос., 79 (!955), 58 — 71. 9 у1.5. Доказательство второй части теоремы Ч!.12 можно найти в книге Иоснды; оно представляет собой красивое применение теорем Асколи — Арцела н Алаоглу (см. также задачу 36). Теория компактных операторов в прямом смысле берет начало от великой работы Фредгольма об интегральных операторах: 1. РгебЬо!ш, Яыг ппе с1аэзе 4'Ьг(па((опз (опс1юппе!!ез, Асза Магд., 27 (!903), 365 — 390. Фредгольм рщсматривал уравнения вида Ь 1 (х) =у(х) + ь ') К (х.
у) 1 (у) Ыу, а где у н К вЂ” заданные непрерывныефункции н — оо < а < Ь < ю. Он показал, что существуют явная целая функция д(ь), ые равная тождественно нулю, н явная функция 1)х(х, у). целая по й н неппьерывная по к н у,.такие, что если (((й) га О, то функция)(я) =у(х)+б(й)-Г ) 11х(х, у) у(у) ду удовлетворяетнса ходному уравнению. Более того, он показал, что когда д(д)=0, тогда э 1 (х) = Х $ К (х, у) 1(у) бу а имеет решение! Ф О.
Такнмобразом, работа Фредгольма содержала теорему Ч1.15 и а)юрмулирозанное перед ней следствие теоремы Ч1.14, отыосящиеся к этому частному случаю. Хороптне изложения теории Фредгольма: Ж 1.очШ, 1Апеаг 1п1ейга! ЕаоаИопз, Почет, Нем уогй, 1950; Р. 5шИЫез, 1п1ейга! Ет(оаИопз, СашЬг!бйе 1)п!ч. Ргеш, Ьопбоп апб Нем Чог1т, 1958. Работа Фредгольмз вызвала заметный интерес у Гильберта и его школы и привела к выделению многих абстрактных понятий теории гыльбертовых пространств. Первоначальное определение вполне непрерывных операторов, данное Гнльбертом, на современном языке звучит как критерий теоремы Ч1.И: В. Н!!Ьег1, Отппдхбйе е!пег а116еше!пеп ТЬеопе бег Ипеатет 1п1ейга16!е!сЬопйеп, 1 — Ч1, !Уасдг. Айаб. )Р!ш. Сбтт(луги Майт:Р)туз.
К!. (1904),49 — 91; (1905), 213 — 259, 307 — 338; (1906), 157 — 2а22, 439 — 480; (1910), 355 — 417; особенно 1У. Распространение понятна компактного оператора на произвольные баиаховы пространства с помощью критерия предкомпактиостн принадлежит Ф. Риссу; Р. 9!гзз. ()Ьег 1!пеаге Роп1тИопа161е1сЬопйеп, Аста Мат)т 41 (1918), 71 — 93, Теорема Ч1.12Ь принадлежит Шаудеру: ). ЗсЬаобег, ь)Ьег Ипеаге, чо1)з1еИйе РнпИ!опа!орегаИопеп, Митты Матл., 2 (1930), 183 — !96, Идея использовать теорему Ч1.13 дли развитая общей теории высказана Шмидтозг: Е.
$сЬш(41, АоИбзнпй бег а)!6еше(пеп Ипеагеп !п1ейгз16!е!сЬипй, Магд, Анл., 64 (1907), 161 — 174. Вопрос о том, является ли каждый компактный оператор в общем банаховом пространстве равномерным пределом операторов конечного ранга, открыт. Современное обсуждение втой проблемы см. в работе: 1. Япйег, Вазез !п ВапзсЬ 5расез, Зрг!пйег-Чег!ай, Вегйп апб Нем Чог1т, 1970. Теорема У1.14, ее следствые и теорема Ч1.15 справедливы в произвольном банаховом пространстве. Их доказательства в атом случае даны у Н.
Данфорда и Дж. Шварпа, Линейные операторы, т. 1, ИЛ, М., 1962. Техника нашего доказательства теоремы У1.14 заимствована нз приложеыия к работе: )Ч. Нппз)йег, Оп 1Ье 3рес(га о( 5сЬгбб!пйег МпШрат11с!е НапбИоп1апз, Нз!о. Рйуз. Аста. 39 (1966), 451 — 462. Аналогичный подход можно найти в приложении к статье: О. Т)Моро(ооз, Апа!уИс СопИпозИоп (п Сошр!ех Апдн1аг Мошеп1иш апб 1п(ейга! ЕйиаИопз, РЬУз.
)!за., 133В (1964), 1231 — 1238. Одна часть теоремы У1.14 для общего случая Даифордом и Шварпем ие доказана; обсуждение зюга вопроса можно найти в работе 8. 5!е!пЬегй, Мегошотрцс РашШез о1 Сошрас1 Орета(огз, Агсд. )7а!. Мес!т. Ала!., 3! (1968), 372 — 379 По поводу распространения теории на локально выпуклые пространства см.: 3, 1.егау, Ча1ео!з ргоргез е1 чес!еогз ргортез 4'оп епбошогрЫыпе сошр!е1ептеп1 сопИпо б"ип юрасе чес(оИе1 й чо!з!пайез сопчехез, Асти Зс!. Магд. Ззейа(, 12, Раг1 В (1950). !77 — 186.
Теорема Ч1.15 была впервые установлена Риссом и Шзудером в цитированных выше работах (Шаудер восполнил некоторые детали общего случаи), а теорема Ч!.16 принадлежит Гильберту и Шмидту н содержится в указанных выше работах ятях авторов. Обсуждение использования интегральных уравнений при решении задачи Днрихле см. в канте: 1чог Яаййо14, Воипбагу Ча!ое РгоЫешз о1 Ма1ЬешаИса! РЬуз1сз, ч. 2, Маспп!1ап, Ыем Уогй, 1968 (особенно разделы 6.4 и 6.5).
5 Удб. Обсужкение ут„уз и аналогичных множеств у проведено е книге: Е, 5сЬа11еп. Нотш 14еа1з о( Сошр!е(е!у СопИпооиз Ореха!ага, Брг!пйег.Чег1ай, ВегИп апб Нем Чог(т, !960. Множество у,определяется как совокупность таких А, для которых Тг ((А (г) «о; оно состоит из тех и только тех компактных операторов, для которых ~', (3 (у < оз. Понятие ыорм-идеалов было распростраыеыо на другие множества операторов, допускающих введение следа (алгебры фон Неймана), и на более общие объекты Снгалом: 1. Яейа!, А Ноп-со!ишь!аИче Ех1епзтоп о! АЬз1гас! 1п1еа1юп, Анл. Магд., 57 (!953), 401 — 457; 38 (1953), 595 — 596, и Кунце." . А. Кинзе, Ь Рош!ег Тгапз(оппз оп Ьоса!!у Соптрас1 Ып!шобо1аг Огоорз, Тгаиз. Атзг. Мат!т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
