Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Огвределенае. Если Р б.У (Я~) и Р*= Р, то Р называется проектором. Если, кроме того, Р=Р', то Р называется ортогональным проектором. Отметим, что область значений проектора — всегда замкнутое подпространство, на котором Р действует как тождественный оператор, Если Р еще и ортогонален, то он действует как. нулевой оператор на (КапР)~-. Если х=у+г, где уЕКапР, аз Е (Кап Р)х, — разложение, гарантируемое теоремой о проектировании, то Рх=.у. Такой оператор Р называется ортогональным проектором на КапР. Таким образом, теорема о проектировании устанавливает взаимно однозначное соответствие между ортогональными проекторами и замкнутыми подпространствами. Поскольку ортогональные проекторы встречаются чаще, чем неортогональные, мы обычно используем слово проектор, имея в виду ортогональный проектор.
3. слеюпр зы У!.3. Спектр Если Т вЂ” линейное преобразование иа С", то собственные значения Т вЂ” это комплексные числа Л, для которых детерминант И вЂ” Т равен нулю. Множество таких Л называется спектром Т. Оно может состоять не более чем из а точек, поскольку де((Л1 — Т) есть полипом степени и. Если Л не есть собственное значение, то оператор Л! — Т имеет обратный, поскольку де( (Л1 — Т) =,Ф= О. Спектральная теория операторов на бесконечномерных пространствах сложнее, интереснее и очень важна для понимания основных свойств самих операторов.
'Оп1эеделвмае. Пусть Т ~.У (Х). Говорят, что комплексное число Л лежит в резольвеитиом множестве р(Т) оператора Т, . если Л!.— Т есть биекция с ограниченным обратным. Резользентой Т в точке Л называют оператор Кх(Т)= (Л1 — Т)-'. Если Лфр(Т), то говорят, что Л лежит в спектре о(Т) оператора Т. Огметим, что по теореме об обратном отображении оператор И вЂ” Т автоматически обладает обратным, если он биективен. Мы различаем два подмножества в спектре. Определение. Пусть ТЕЛ'(Х).
(а) Вектор х б Х, удовлетворякиций условию Тх Лх при некотором Л ~ 6, называется собственным вектором Т; число Л называется соответствующим собственным значением. Если Л вЂ” собственное значение, то И вЂ” Т не инъективен, так что Л лежит в спектре Т. Множество всех собственных значений называется точечным спектром оператора Т. (Ь) Если Л не есть собственное значение и если Кап(Л1 — Т) не плотно в Х, то говорят, что Л лежит в остаточном спектре.
В конце этого раздела мы приведем пример, иллюстрирующий спектры такого типа. Остаточный спектр выделяют по той причине, что у широкого класса операторов, например у самосоп яжениых операторов, он отсутствует (см. теорему У!.8). пектральный анализ операторов очень важен для математической физики. Например, в квантовой механике гамильтониан— это неограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Точечный спектр гамильтониана соответствует уровням энергии связанных состояний системы. Остальной спектр играет важную роль в теории рассеяния в системе (см. гл.
ХП). Мы вскоре докажем, что резольвентное множество р (Т) открыто и что Яэ(Т) — аналитическая операторнозначная функция на р(Т). Этот факт позволяет использовать при изучении Йх(Т) комп- 2)2 'е1. Ограниченные операторы лексный анализ и таким способом извлекать информацию о Т. Начнем с краткого отступления о векторнозначных аналитических функциях. Пусть Х вЂ” банахово пространство, и пусть 1Э вЂ” область комплексной плоскости, т.
е. связное открытое подмножество в С. Функция х( ), определенная на О, со значениями в Х называется сильно аналитической в г, ЕБ, если в Х существует предел отношения (х(г„+(г) — х(гг))/й при )г, стремящемся к нулю в С. Начав с такого определения, можно развить теорию векторнозначных аналитических функций, почти полностью аналогичную обычной теории; в' частности, сильно аналитическая функция разлагается в сходящийся по норме ряд Тейлора. Мы не будем повторять здесь соответствующие построения; см.
ссылки в Замечаниях. Обсудим только один важный' момент. Существует другой естественный способ определения банаховозначных аналитических функций. Именно: функция х( ) на Р со значениями в Х называется слабо аналитической, если 1(х( ° ))— комплекснозначная аналитическая функция на 1) для каждого 1~ Х'. Хотя второе определение аналитичности выглядит а рПоП слабее первого, на самом деле зтн определения эквивалентны, что мы сейчас докажем. Это очень важно, поскольку слабую аналитичность часто легче установить. Лвмма.
Пусть Х вЂ” банахово пространство. Тогда «х„'1 — последовательность Коши в том и только том случае, когда «! (х„Ц— последовательность Коши равномерно по 1~Х', ««1««ч..1, Дохазапгельормо. Если «х„) — последовательность Коши, то / 1 (х„) — 1(х„) «< // х„— х„«/ для всех 1 с !/ 1 // < 1, так что «! (х„))в последовательность Коши равномерно по всем 1 с «/1««(1.
Об атно, р ««х,— х„««= зцр «1(х„—.х )«. пгнс ~ Следовательно, если «1(х„)) — последовательность Коши равномерно по всем 1 с //1/«(1, то «х,) — последовательность Коши. ° Теорема )ге.4. Каждая слабо аналитическая функция сильно аналитична. Доказгвпельсгпао. Пусть х( ) слабо аналитична на 0 со значениями в Х. Пусть ге Е1), и пусть à — окружность в 1г, содержащая г, и окружающая область, лежащую в Е). Если 1~Х*, то 1(х(г)) аналитична н 1 ~ е(ге+а)-н(ге) ) и1(„(г )) 3. Слкюлр Поскольку 1(х(г)) непрерывна на Г и Г компактна, !1(х(г)) ((С, для всех гЕГ.
Рассматривая х(г) как семейство отображений х(г): Х вЂ” С, легко понять, что х(г) поточечно ограничены на каждом 1 и потому, в силу теоремы о равномерной ограниченности, зир !! х (г) !! ~ С < со. Таким образом, кег ~1 (к(ко+а) — к(г~)) и 1(„( ! 1 Р! ! 1 ~ 2а ~ ~~ ~ ~~ ) з) (к — (к„+Л))(к — к ) (к — ко)%~ Эта оценка показывает, что ~х(г,+Ь) — х(г,)]/Ь есть последовательность Коши равномерно для всех 1 с ~~1!((1.
В силу леммы, ~х(г,+Ь) — х(г,)~/Ь сходится в Х, что и доказывает сильную аналитичность х( ). ° Теперь докажем обещанную теорему о резольвенте. Теорема !г1.5. Пусть Х вЂ” банахово пространство н Те .У(Х). Тогда р (Т) — открытое подмножество в С и Я»(Т) — аналитическая .У(Х)-значная функция на каждой компоненте (максимальном связном подмножестве) р(Т). Для любых двухточек А, )к~р(Т) операторы Кк(Т) и /с„(Т) коммутируют и ~». (Т) )ки(Т) = ()к М/~р(Т) /~»(Т) О/1 1) Дохазаяельслмо. Начнем со следующего формального вычисления, временно игнорируя вопросы сходимости. Пусть Ь, б р (Т). Имеем 1 ! 1 1 » — т ь — » +(»о — т)»о — т (,» — т/ Это наталкивает на мысль определить Ф к.цт~ — к,.(т> г+ т. р,— х~ !к рд ).
Поскольку ~!Р,. (Т)).((~!!Л,,(Т)1~., ряд в правой части сходится в равномерной операторной топологии, если (Ь вЂ” Л.~ < ~~ а. (Т) ~(-. 214 уд Огразичеюии оачззамиз Для таких Л отображение Мь (Т) корректно определено, и легко проверить, что (и — Т) К„(Т) =1=Я„(Т) (и — Т). Это доказывает, что Л~р(Т), если ~Л вЂ” Л,~ < ~~1~„. (Т)~~-', и что Йь(Т) =йь(Т).
Таким образом, р(Т) открыто. Поскольку)~„(Т) разлагается в степенной ряд, она аналитична. Соотношение В (Т) — Я„(Т)= Л (Т)(р| — Т) Ю„(Т) — г (Т)(и — Т) г„(Т) доказывает (У1.1). Перестановка р и Л показывает, что Ях(Т) и Я„(Т) коммугируюг. ° . Уравнение (У1.1) называют первой резельвентной формулой. Красивый пример использования комплексно-аналитических методов дает доказательство такого следствия: Сладсяавае.
Пусть Х вЂ” банахово пространство, Т~Ы (Х). Тогда спектр Т не пуст. Докааилельстю. Формально —., =' —,„. =,(.:.,(-) ) откуда для больших ~Л~ получаем я. (т~- ' (~ +Е ( ~ )). рл а Если (Л~ > ~~Т~(, то ряд в правой части сходится по норме, и легко убедиться, что для таких Л его сумма на самом деле обратна (Л1 — Т). Таким образом, ~~Кь(Т) ~~ — О при ~Л~ — оо. Если бы.п(Т) было пустым, Яр,(Т) была бы целой ограниченной аналитической функцией. По теореме Лиувилля Кь (Т) тогда была бы нулем, что приводит к противоречию. Итак, а(Т):не пусто.
° Ряд (У1.2) называется рядом Неймана для Рь (Т). Доказателю ство следствия показывает, что п(Т) содержится в замкнутом круге радиуса )~ Т~~. В действительности о п(Т) можно сказать больше. Ощгеделемае. Величина г(Т) зир ~Л( ь ее гг> называется спектральным радиусом оператора Т. 21б 8. Слесшр Теорема Ух.б. Пусть Х вЂ” банахово пространство, Т ~.У (Х).
Тогда 1Ип )(Т" (!'~" существует и равен г(Т). Если Х вЂ” гильбертово пространство и А — самосопряженный оператор, то г(А)= =!! А 1!. Доинаеельсямо. Читатель может проверить, искусно следуя соображениям субаддитивности, приведенным в задаче 11, что ' Иш ~! Т" )!'~" существует.
Решающее место доказательства этой теоремы — установить, что радиус сходимости разложения Лорана для Кь(Т) около со есть как раз г(Т) '. Прежде всего отметим, что этот радиус сходимости не может быть меньше г(Т) ', поскольку мы доказали, что йь(Т) аналитична на р (Т) и 1Л~ ~Л ) г(Т))с= р(Т). С другой стороны, ряд (Ч1.2) представляет собой разложение Лорана около оо, и мы уже видели, что там, где он сходится абсолютно, йь(Т) существует. Но так как ряд Лорана абсолютно сходится внутри своего круга сходимости, можно заключить, что радиус сходимости не может быть больше г(Т)-'.
Равенство г(Т)= Ит 'йТ" ф~" следует из векторного л» юв варианта теоремы Адамара, которая утверждает, что радиус сходимости ряда (Ч1.2) есть величина, обратная Иш (! Т" ~~д/в Иш ~) Та ~~а/л Наконец, если Х вЂ” гильбертово пространство и оператор А самосопряжен, то 1А Р=бА*~) в силу пункта (1) теоремы Ч1.3. Это дает 1А*"~~='б А ~~'", так что г(А)= Игп ~~А"!)ы"= Ит ~[А' ~~' =!~А)!. ° Й»» л» ав При определении спектра иногда полезна следующая Теорема УУ.У (Филлипс). Пусть Х вЂ” банахово пространство, ТбЯ(Х). Тогда о(Т)=о(Т') и йр.(Т')=йь(Т)'. Если Яг — гильбертово пространство, то о (Т') = (Л ) Л Е о (Т)) и К-(Т') =Кь(Т)'.
Заметим, что утверждение, относящееся к гильбертову пространству, следует из пункта (б) теоремы Ч1.3. Рассмотрим теперь подробно пример, иллюстрирующий раз.- личные типы спектров. Пралзнр. Пусть Т вЂ” оператор в 1о действующий так: ТД„~., ) =К„~. З1Е Иг. Ограниченньи операторы Его сопряженный Т' действует в 1„так: т'д, 1„...)=(о, 1„~„...). Сначала заметим, что Йт!! йт''Е'=1, так что все Л с ~Л~ >1 лежат в р(Т) и р(Т'). Предположим, что ! Л~ (1. Тогда вектор хь (1, Л, Л', ...) Е1, удовлетворяет уравнению (Л1 — Т)хь=О. Значит, все такие Л принадлежат точечному спектру оператора Т. Поскольку спектр — замкнутое множество, а (Т) (Л ~ ~ Л~ я- 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
