Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 44
Текст из файла (страница 44)
р ° ра++аа+ ° ""р+о) аа+х, ..., а„' змеем и„,„, „,. т=т. (а) Пусть Р— измеримая фуввцни на»с», которан локально принадлежит (.х, Пусть Т вЂ” распределение, порождаемое функцией г" (р„..., ра) на Тс". Докажите, что Т не завнсвт ст ра+ы ..., у . (Ц Пусть Т не зависвт от уа+ы ..„р„. Докажите, что (дт/дрг) О прв 1 1+1, ..., и, (Указание: см.
задачу 27.) (с) Пусть Т вЂ” распределение в Й(»са), которое есть функции только л — от= рд. докажите, что зто ояределевие не зависят от того, как выбрана вторан независимаи ююрдината ра. (б) Пусть Т таное же, как в (с). Докажите, что (дт/д()= — с(дтаул) и что дт/дà — тоже распределение, зависи|цее толыго от к — сд (е) Выведите огсюда, что бе б* дИ ' дха. — Т вЂ” с*.
— Т =О. (Ю. Пусть Т и 8 — коммутирующие отображения метрического пространства в себя. Пусть Уг (л ~ Тх=л). (а) Докажите, что ол Е )г, если л Е )г. (и) Предположим, по Т вЂ” строго сжвмаюпюе отображение. Докажите, что 3 имеет неподвижную точиу. (с) Пусть Те — строго сжимимцее отображение прв некотором л. Докажите, что Т имеет единственную неподввжвую точку. фЮ. Пусть Х=((х~) Е 1»! 1ле1~ 1/3"). (а) Докажите, что Х вЂ” компактное выпуклое подмножество 1 . (Ь) Пусть 1: Х вЂ” «С задано равенством /(х) ч«' 2ет„. докажите, чго а ! г — непрерывное аффинное линейное отображение на Х.
(с) Докажите, что / не имеет непрерывных продолжений на зсе пространство 1з. бО. Пусть 0 — группа с абелезой подгруппой У. такой, по О/У абелева (например, семейство вращений н переносов в»сз). Пусть С вЂ” компактное выпуклое псдниожество локально выпуклого пространства Х. Пусть д,ки каждого я ~ 6 задано Т вЂ” аффиннсе линейное отображение С в С, такое, о Т,Т„=Т„. (а) Положим Си=[э ~ С[ Т„х=л для всех я ~ «Ч). Докажвте, что Сж яомпактно, выпукло и непусто. (Ь) Предположим, что я,, яэ лежзт в одном смежном классе в ф]Ч. Докажете, что Т, [Су=Тя, ) Ск. (с) Докажите, чго существует такое к ~ С, что Тях=х дли всех я ~ О.
Я. Лайте пряже доказательство теоремы Ч.21. бх. Локально выпуклое просгранстэо Х называется нрестраиством Макки, яли борнологическвм простравстаем, если для любого повально выпуклого пространства 1' любое линейное отображение Т: Х вЂ” «. )г, переводящее ограниченные множества в ограниченные, непрерывно. (а) Пусть Х вЂ” пространство Макки. Докажите, что оно имеет топологшо Макки г(Х, Х*). [Ухлзаяиз: рассмотрите 1б«Х — + <Х, т>.) (Ь) Пусть х„— «. 0 в метризуемом локально выпуклом пространстве.
Докажите, что существует (р„) СК, р„— + аз, такая, что р„х — О. [Указание. Пусть ӄ— счетная бава окрестностей, У„+д ~ У«г Выбе- 1 рем такое я», что яэ я~я» слелуст х„Š— У». Положим р„=й, если я»~я < я»еэ.] (с) Докажите, что любое метриэуемое локально выпуялое пространство есть пространство Макки.
[зглэзаниз: используйте (Ь) н учтите ограниченность сходящейся последовательности.] (б) Докажите, что строгий индуктивный предел Х= [)Х„, где Մ— соб. ственные замкнутые подпространства Х„+„будет пространством Макки, если каждое Մ— пространство Макки. (е) Докажите, что строгий вндувтввный предел пространств Френа есть пространство Макки. (1) Докажите, что естественные топологии на,К и 4к) суть топологии Макки.
Ю Пусть Š— повально выпуклое пространство. Определим естественную теиоэогвю з) (йчч, Е) на Ечч следующим образом. Пусть «Е — семейство всех уравиовешейных выпуклых окрестностей нуля в Е. Лля каждого У~«)1 пусть У есть Е'е-поляра множества У'<: Ее. Множество всех 0 порождает естественную топологию.
Докажите, что: (а) Естественная топология слабее топологии [3 (Е», Еч). [Уяяэаяиз: каждое У' ограничено.1 (Ь) Сужение естественной топологии с Е'е на Е совпадает с исходной топологией на Е, т. е. отображение р: Š— «-<Е», э)> непрерывно и открыто. (с) Отображение, образнее к естественному вложению р: Š— <Е, т1>, действующее иэ Яапр в Е, всегда непрерывно. Н. Пусть Š— банахозо пространство со слабой топологией. Ловажите, что янъекпия р: Š— <Ече, [)> мив)я разрывна, если Е бесиовечномерно. '[бб. Пусть <Е, Р> — дуальнаи пара. Доважите, что каждое п(Е, Р)-замкнутое ограниченное множество в Е п(Е, Р)чюмпактяо тогда и только тогда, когда топологии г(Р, Е) н [)(Р, Е) ва Р совпадают. «бб. (а) Пусть Š— пространство Фреше. Докажите, что любое п(йч, Е)-замкнутое ограниченное множество в Е' о(йч, Е)-компактно.
[Указание: подражайте доказательству теоремы Банаха — Алаоглу в в критвче. ском месте воспользуйтесь принципом равномерной ограниченности.] (Ь) Докажите (а), когда Š— строгий индуктивный предел пространств Фраке. Ч. Локальна еылукльи простралсщеа [57. Объединив задачи 52 а 56 с теоремой Ч.25, докажите теорему Ч.24. уИ. Докажите лемму 3 в дополнении к й ЧЛ. ЮР. Пусть[-а,а[~К.
Пусть >р„(х)=(2С) >>е ехр(я(лх/С); в=О, ~ Н ~2,.... Предположим, что задана /Е(.е [ — а, а[, и пусть а„=(>р„, 1) Донажите, что 1 ~ Се [ — а, а[ тогда и тольяо тогда, иогда аеае - О для всех й(при в — се). Найдите неравенства для норм. при помощи которых можно доказать, что з н Се [ — а, а[ язомор>рны. Доважвте, что замыкание С„[ — а, а[ лежит в 1Б. 60. (а) Пусть В(., ) — раздельно непрерывный билинейный функционал на Се [ — а, а[.
Подражая доказательству, приведенному в дополвеняи к й Ч.З, н используя задачу 59, поважнее. что а Сь ([ —.а, а[ >С [ — а, а[)ь существует Т, для которого В([, й)=Т(1Эй). (Ь) Пусть В(, ) — раздельно непрерывный бялииейный фующионал на В[)п. Дохажнте, что в Я)п, существует Т, для которого В(1, я)= =Т([ЭВ). б1. Донажите, что С (м) не пусто, т. е. постройте явную бесконечно дифференциртемую фунвцию с вомпактным носителем. [Указание> сначала понажитс, что фунпция 1(к).=)(>е, >(х)е >1» бесконечно дифференцируема: здесь й>е > — характеристическая функция интервала (О, ее).) Т1.
О>РАННЧВННЫВ Ог)ВРАТОРЫ Я посетил такэсе математическую шкалу, где учи>пель преподает по такому методу, какой едва ли втможно представить себе у нас е Европе. Каждая теорема с доказательством тщательно перепиагвается на тоненькой облатке чернилами, составлгнними иэ микстуры против головной боли.
Учеиик мотает облагшсу напгкцак и в течение следующих трех дней не ест минею, кроме хггба и води. Когда облатка переваривается, лгикстура поднимается в его моэг, принося с собой туда же теорему. ДЖОНАТАН СВИФТ, «ПУТЕШЕСТВИЯ ГУЛЛИВЕРА>Н У1.1. Топопвгмм нв множестве вграинчвииых опервтврфв )ч)ы уже ввели банахово пространство .2'(Х, У) операторов из одного банахова пространства в другое.
В этой главе мы изучаем его более подробно. Особо отметим случай, с которым в дальнейшем мы будем сталкиваться наиболее часто, именно У(дВ,,РВ)тг.У(ео). где ес — сепарабельное гильбертово пространство. Теорема П1.2 показывает, что .К (Х, У) — банахово пространство с нормой Индуцированная ею топология ИЕ,Я'(Х, У) называется равномерной операторной топологией (или топологией нормы). В этой топологии отображение (А, В)~ ВА пространства .У(Х, У) х гг .2'(У, Я) в .Я'(Х, Е) непрерывно по совокупности переменных.
Введем теперь' на .Ы'(Х, У) еше две топологии: слабую и сильную операторные топологии. На 2'(Х, У) можно задать и другие интересные и полезные топологии, но мы отложим это до тех пор, нока они нам понадобятся (в 111 томе) (см., однако, обсуждение в конце 9 6 и Замечания). Сильная операторная топология — это слабейшая топология на .2'(Х, У), в которой отображения Е„: .У(Х, У) — У, заданные равенством Е„(Т) =Тх, непрерывны для всех хВХ. База окрестностей нуля задается множествами вида (Я~ЗВ.2'(Х, У), ~)Зхг'ру(е, г 1, ..., Е), где (хг),",— конечный набор элементов из Х, а е ) О. В этой топологии направленность операторов 1Т ) сходится к оператору Т (обозначается Т Т) тогда и только тогда, когда г) Иэд-ио гхуеожгстгвеегп литература>, М., 1967, стр. 2!9.— Прим.
ред. У!. Ограни««ннви оа«раиюрм Й Т х — Тх~~ 0 для всех хб Х. Если Х, У, Я бесконечномерны, то отображение <А,.В>~ ВА непрерывно по каждой переменной, но не по их совокупности (см. задачу ба, Ь). Мы иногда обозначаем сильные пределы символом зй(ш. Слабая операторная топология на .У(Х, У) — это слабейшая топология, в которой отображения Е,,: .У(Х, г) Е, заданные равенством В„,,(Т) =1(Тх), непрерывны для всех х~Х и 1~У'. База окрестностей нуля задается множествамн вида (Я~ЯЕ.У(Х, У), 11 (Тх,)~ < з, 1=1, ..., а, 1=1, ..., т), где (хД,", и (1Д",— конечные семейства элементов из Х .и У' соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
