Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 45
Текст из файла (страница 45)
йаправленность (Т„1 сходится к оператору Т в слабой операторной топологии (обозначается ҄— Т) тогда и только тогда, когда ~ 1 (Т,х) — 1 (Тх) ~ 0 для каждого 1~ У' и хбХ. Отметим, что в случае У(Яг) слабая сходимость Тт Т в точности означает сходимость «матричных элементовз (у, Т х) к (у, Тх). Если Х, г и Я бесконечномерны, то в слабой операторной топологии отображение (А, В)~ ВА непрерывно по каждой переменной, но не по совокупности (см.
задачу бс). Замечание. Читателю не следует путать слабую операторную топологию на .У (Х, У) со слабой топологией, .заданной на .У (Х, г ) как на банаховом пространстве. Первая из них †э слабейшая топология, в которой непрерывны ограниченные линейные функционалы на .У(Х, У) вида 1( х) для всех. х.ЯХ и 16 У'. Вторая — это слабейшая топология, в которой непрерывны все ограниченные линейные функционалы на.У(Х, г) (см.
$ Ч1.6). Отметим, что слабая операторная топология слабее сильной операторной топологии, которая слабее равномерной операторной топологии. В общем случае слабая и сильная операторные топологии на .У (Х, У) не удовлетворяют первой аксиоме счет- ности, и потому вопросы компактности, сходимости направленностей и секвенциальной сходимости достаточно сложны. Следующий простой пример демонстрирует различные топологии на ° У (1«).
Пр>амер. Рассмотрим ограниченные операторы иа 1,. (1) Определим Т„равенством /1 ! Т.(а,.1.. ")=(-„~„-„~., ). Тогда Т„ — 0 равномерно. (И) Определим Я„ равенством Х. Топо»алии ии иииииоветв овоииилвииих оиевшиоров В.($. $., -")-(О, "., О. В.+в, $.+е. ".). л мест Тогда „— 0 сильно, но не равномерно.
(ш) Определим й7„равенством нтл (иле» Це» ° ) = (О» *» О» $т ° $з ' ') Тогда 1У' 0 в слабой операторной топологии, но не в сильной н не в равномерной топологиях. В случае гильбертова пространства иногда полезен следующий результат, представляющий собой красивое приложение теоремы о равномерной ограниченности. Теорема У1.1. Пусть .У(Я) — множество ограниченных операторов на гнльбертовом пространстве М.
Пусть ҄— последовательность ограниченных операторов, и предположим, что (Т х, у) сходится прн и оо .для каждых х,уЕЯ'. Тогда существует такой Т б.У (Ж), что Т, — Т. Доказательство. Начнем с демонстрации того, что зцр Ц Т„х Ц ( оо для каждого х. Поскольку (Т„х, у) сходится для любого х~Я', имеем знр ~ (Т„х, у) ) ( оо. л Далее, Т х Е.У(Я', С) для каждого п, н так как знр[(Т„х)(у)!С(оо, то' нз теоремы о равномерной ограниченностй вытекает равномерная ограниченность операторных норм 'Т„х как элементов в .У (Я', С).
Но норма элемента Т х как оператора в .У(Я', С) совпадает с его нормой в М; таким образом, Ц Т„х Ц ® равномерно ограничены. Теперь используем теорему о равномерной ограниченности еще раз. Так как зцрЦ Т хЦ ( оо, п то зцрЦТ Ц ~, ( оо. л Положим В (х, у) =!ип (Т„х, у). Тогда легко проверить, что форма В(х, у) полуторалннейна и ~В(х, у)~(1пп/(Т„х, у) !(ЦхЦ ЦуЦ (зпрЦТ Ц), У1. Оараниненнае ьньванюрм. Таким образом, В(х,у) — ограниченная полуторалинейная форма на уе, н потому в силу следствия леммы Рисса существует ограниченный оператор ТЕ.У(уэ), для которого В(х, у) =(Тх, у). Ясно, что Т„- Т.
° Если последовательность операторов Т„на гяльбертоаом пространстве такова, что Т х сходится для каждого х~Я'; то з существует такой Tб.У(тэ), что ҄— Т. В задаче 3 читателю предлагается доказать эту теорему и ее различные обобщения. Пусть ТЕ.У(Х; г'"1. Множество векторов х~к Х, для которых Тх=О, называется ядром Т и обозначается КегТ. Множество векторов уб У, таких, что у = Тх для какого-нибудь х ~Х, называется областью значений Т и обозначается йаиТ. Отметим, что н КегТ, и йапТ вЂ” подпространства, причем КегТ всегда замкнуто, но Кап Т может и не быть замкнутым (задача 7). У1.2. Сииряиеаииыи В этом разделе мы определяем операторы, сопряженные к ограниченным операторам иа банаховых и гильбертовых пространствах.
С самого начала читатель должен иметь в виду, что гильбертов сопряженный оператора ТЕ.й'(лу) не совпадает с его банаховым сопряженным, хотя и тесно с ним связан. Определение. Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства и Т— ограниченный линейный оператор из Х в )~. Банаховым сопряженным к Т (обозначается Т') называется ограниченный линейный оператор из У' в Х', определяемый равенством (Т'1) (х) = 1 (Тх) для всех 1ЕУ' н хб Х. Пример. Пусть Х =1, = У, и пусть Т вЂ” оператор правого сдвига Т($„'$„...) =(О, $„$„...). Тогда Т': 1 1„— зто оператор, действующий так: Т (~„~., В этом примере ~)Т'1 =1=йТ')~. На самом деле нормы Т и Т' равны всегда: Теорема Ут.2. Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства. Тогда Ть Т' нзометрнчески изоморфно отображает.У (Х, У) в .У (г, Х*). Доказательство.
Отображение Т~ Т' линейно. Тот факт, что Т' ограничен н что это отображение — нзометрия, следует из пря- 2. Сопряженные мых вычислений: 'П'Т(~йг „, — — зпР П'ТхП„= ссясс< с зпр с зпр ~сЕ (Тх) ~) = (Е Е У') !! яИ-1~СССП-С ЯЯР Е зиР ~ (Т Е) (х) ~с) = ссссс<с цс и<с зпр 'ссТ Есс=ссТ сс.ксг х.с ссссс< с Второе равенство основано на следствии теоремы Хана — Банаха. ° Больше всего нас интересует случай, когда Т вЂ” ограниченное линейное преобразование гильбертова пространства Ю в себя. Банахово сопряженное оператора Т в этом случае является отображением Ж' в Я".
Пусть С: М'- Л вЂ” отображение, ставяшее в соответствие каждому уЕМ ограниченный линейный функционал (у, ) в М'. Отображение С есть сопряженно-линейная изометрня, которая в силу леммы Рисса сюръективна. Определим отображение Т"с Ж-,Ж соотношением Т'= С 'Т'С. Тогда, (х, Ту) = (Сх) (Ту) = (Т'Сх) (у) = (С 'Т'Сх, у) = (Т'х, у). Отображение Т' называется гильбертовым сонряженнмм опера-' тора Т, но обычно мы будем называть его просто сопряженным оператором н, обозначать Т* в отличие от Т'. Отметим, что соответствие Т с Те сопряженна-линесЕно, т.
е. саТ с аТ'. Это получается из-за того, что С сопряженно-линейно. Суммируем свойства соответствия Т ~ Т'. Тссорелесз У!.3. (а) Т с Т* — сопряженно-линейный изометрический изоморфизм .У(Яе) на себя. (Ь) (ТЗ)'=Я'Т'. (с) (Т) =Т. (сс) Если Т обладает ограниченным обратным Т-', то Т' обладает ограниченным обратным и (Т') '=(Т ')'. (е) Соответствие Т с Т' всегда непрерывно в слабой и равномерной операторных топологиях, но в сильной операторной топологии оно непрерывно только тогда, когда М' коиечномерно.
® (ЕТ Т((-ЕЕТЕ(, Доказаслельетво. (а) следует из теоремы 1У,Е и из того, что. С вЂ” изометрия. (Ь) н (с) легко проверить. Далее, так как Т-'Т= =1 =ТТ ', то из (Ь) вытекает, что Т-(Т-) =Е =~=~ =(Т-) Т; что и доказывает (с(). 2Ю УУ. Ограииченные рррратори Проверка непрерывности Т > Т' в слабой и равномерной операторных топологиях тривиальна. В случае Я'= 1, существует контрпример, показывакхций, что Т > Т~ не непрерывно в сильной операторной топологии. Общий бесконечномерный случай аналогичен.
Пусть Ф' †операт правого сдвига в 1, на л шагов. Тогда МГ„ слабо (йо не сильно) сходится к нулю. Однако йг;=8 сходится к нулю сильно. Таким образом, 5„— О, но 5;,= Ф'„не сходится к нулю сильно. (1) выводится из задачи 9 с помощью следующего соотношения: )!Т'Т )~ = зир (Т'Тх, х) = зир )! Тх$ ' = ~! Т ~!'. ° в~в< 1 пкк < 1 Олределеяае. Ограниченный оператор Т на гильбертовом про- странстве называется самосопряженным, если Т = Т . Самосопряженные операторы играют важную роль в функцио.- нальном анализе и математической физике, и большую часть времени мы будем изучать именно их. Глава Ч11 посвящена доказательству структурной теоремы для ограниченных самосопряженных операторов.
В гл. У111 мы введем неограниченные самосопряженные операторы и продолжим их изучение в гл. Х. Напомним читателю, что на С" линейное преобразование само- сопряжено тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе не меняется при отражении относи-' тельно диагонали, сопровождаемом комплексным сопряжением. Важный класс операторов на гильбертовом пространстве образуют проекторы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
