Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 48
Текст из файла (страница 48)
При этом У изометричен и потому продолжается до нзометрии из Йап (Х! в кап Х. Продолжим У на все ла, определив его нулем на (Кап~А))л. Так как ~А~ — самосопряженный оператор, (пап~А!)~=Кег~А). Волее того, ~А~ф=О тогда и только тогда, когда Аф=О, так что Кег) А ~=КегА. В итоге КегУ Кег А. Доказательство единственности оставляем читателю.
° В задаче 20 гл. ЧП читателю будет предложено доказать, что У есть сильный предел полиномов по А и А', так что У принадлежит «алгебре фон Неймана», порождаемой оператором А. Ч1Л. Кампаитныа операторы Многие задачи классической математической физики можно упростить, если сформулировать их на языке интегральных уравнений.
Знаменитый пример — задача Дирихле, обсуждаемая в конце этого раздела. А сейчас рассмотрим простой оператор К, определяемый в С[0, Ц формулой 1 (К~р) (х) = ) К (х, у) ~р (у) Иу, (Ч1.4) о где' функция К(х, у) непрерывна на квадрате 0(х, у(1. Функция К(х, у) называется ядром интегрального оператора'К.
В силу неравенства ~(К<р)(х)~(( зпр ~К(х,у)~) ( зпр !ср(у)~), имеем ~(Кср !(„( ( - зпр ! К (х, у) ~) ~(~р ~)„, так что К вЂ” ограниченный оператор на С[0, Ц. Оператор К обладает и другим очень важным свойством. Пусть Вл — множество функций <р в С[0, Ц, таких, что ~~~рр„(М. Поскольку функция К(х, у) непрерывна на квадрате 0(х, у(1, а этот квадрат компактен, К(х, у) равномерно непрерывна, т.
е. по заданному е > 0 можно найти такое б > О, что ~К(х, у)— — К (х', у) ! < з для всех у ~к [О, Ц, как только ~ х — х' ~ < б. Следовательно, если ~рЕВм, то' ~ (К<р) (х) — (К<р) (х') ~ ( ~ зпр ~ К (х, у) — К (х', у) ~) р ~р (~„» еМ. ~,о«1о, 11 У!. Оераниченнаи операторьс Таким образом, функции К(В„Д равностепенно непрерывны. Посколъку они, кроме того, равномерно ограничены константой («К(«М, с помощью теоремы Асколи (теоремы 1.28) можно заключить, что для любой последовательности ~р„ЕВм последовательность К<р„содержит сходящуюся подпоследовательндсть (предел которой может не лежать в К (В 1). Это можно выразить по-другому, сказав, что множество К~Вм~~ предкомпактно, т. е.
что его замыкание компактно в С(0, Ц. сно, что выбор М не важен„и, следователъно, мы показали, что К переводит ограниченные множества в предкомпактные. Именно благодаря этому свойству для хороших интегральных уравнений типа (Й.4) выполняется так называемая альтернатива Фредголъма. Этот раздел мы посвящаем изучению таких операторов. Оаределемие.
Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства. Оператор ТЕ .У (Х, У) называется компактным (или вполне непрерывным), если он переводит ограниченные множества из Х в предкомпактные множества в г. Эквивалентно, Т компактен тогда и только тогда, когда для любой ограниченной последователъности «х )~Х последовательность «Тх„) имеет подпоследователъность, сходящуюся в У.. Интегральный оператор (Ч1.4) — пример компактного оператора. Другой класс примеров таков: Праме1э (операторы конечного ранга), Предположим, что область значений оператора Т конечномерна, т.
е. каждый вектор из кап Т можно представить в виде Тх= ~„и,у„где «у!),"',— неко- 8 1 торое фиксированное семейство в У. Если х„' — любая ограниченная последовательность из Х, то ограниченй и соответствующие семейства а,", поскольку ограничен Т. Обычным образом нз «Тх„) можно выделить сходящуюся подпоследователъность, что и доказывает компактность Т, Важное свойство компактных операторов описывается следующей теоремой (ср. с задачей 34): Теорема «гТ.П. Компактные операторы отображают .слабо сходящиеся аоследоаимльяости в равномерно сходящиеся.
Докаэшпельсгпэо. Предположим, что х„' х. По теореме о равномерной ограниченности совокупность ~~ х„««ограничена. Пусть у, Тх,. Тогда 1(у„) — 1(у) = (Т'!)(х,— х) для любого 1Е г . Таким образом, у„в г слабо сходится к у=Тх. Предположим теперь, что у„не сходится к у равномерно. Тогда существуют такие е ) 0 и подпоследователъность «у „) в «у ), что (( у„„— у )~)е. Поскольку последовательность «х„э) ограничена, а Т компактен, в (у „) содержится подпоследовательность, слабо сходящаяся к учьу. Но в таком случае и сама (у,„) должна слабо сходиться к у, чего не может быть, так как (у„) слабо сходится к у.
Следовательно, у, сходится к у равномерно. ° Отметим, что для рефлексивных пространств Х справедлива обратная теорема (задача 20). Следующая теорема важна, поскольку она позволяет установить компактность оператора, если он является равномерным пределом последовательности компактных операторов илн сопряженным к компактному оператору. Творима Уг.1й Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства, ТЕ Я(Х, У). (а) Если (Т ) компактны и Т - Т равномерно, то Т компактен.
(Ь) Т компактен тогда и только тогда, когда компактен Т'. (с) Если ЯбЯ(У, Е), где Š— банахово пространство, и Т или Ю компактен, то $Т компактен. Докаааиильсгпао. (а) Пусть (х„) — последовательность в единичном шаре из Х. Поскольку Т„компактен при каждом и, с помощью диагонального метода 5 1.5 можно найти подпоследовательность в (х ), обозначим ее (х „), такую, что Т х~ — у„ для каждого л при й- ео. Так как йх,~~(1 и 1Т вЂ” Тй- О, то в(3-прием показывает, что (у„) есть последовательность Коши.
В итоге у„- у. С помощью е/3-приема нетрудно доказать, что и Тх — у. Следовательно, Т компактен. Ь) См. Замечания и задачу 36. с) Доказательство элементарно (задача 37). ° Нас больше всего интересует случай компактных операторов из сепарабельного гильбертова пространства в себя, поэтому мы не будем дальше заниматься общим случаем (см., однако, обсуждение в Замечаниях).
Интересующее нас банахово пространство компактных операторов на сепарабельном гильбертовом пространстве мы обозначим через Сош (ЯГ). Как следует из приведенного выше примера и теоремы У1.!2, равномерный предел последовательности операторов конечного ранга есть компактный оператор. В случае гильбертова пространства справедливо и обратное. Теорелш У!ЛЗ. Пусть М вЂ” сепарабельное гильбертово пространство. Тогда любой компактный оператор на Я' есть равномерный предел последовательности операторов конечного ранга Кг. Ограни««нмыв оп«яапюоры Доказательаиво. Пусть (~р~),".,— ортонормированное множество в Я~.
Определим' Л„= зпр (~ Т~р )~. в «(ч~. ° ° ° «ц)х пчя ! Ясно, что (Л„) монотонно убывает и потому сходится к некоторому пределу Л)0, Покажем сначала, что Л=О. Выберем последовательность ф„~[Ч„ ..., ~р„~", ~(ф„~~= 1, для которой ~ Тф„(()Л!2. Так как ф„0, то по теореме Ч1.11 Тф О.
ледовательно, Л = О. В результате ч; (р,, )т~,-т ! ! равномерно, поскольку Л„ как раз равно норме разности правой и левой частей этого соотношения. ° Мы уже отметили широкое разнообразие свойств компактных операторов, но до сих пор еще не указали ни одного свойства, объясняющего наш особый интерес к ним. Основной факт, делающий компактные операторы важными,— это альтернатива Фредгольма: если А компактен, то либо уравнение Аф=ф имеет решение, либо существует (7 — А)-', Это свойство отнюдь не присуще каждому ограниченному.
линейному преобразованию. Например, если А — оператор вида (А<р)(х)=х<р(х) на 7.»[0, 2), то Аф=~р не имеет решений, но (У вЂ” А)-' не существует (как ограниченный оператор). В терминах «разрешимых уравнений» альтернатива Фредгольма особенно красива. Оиа гласит: если для любого ~р- существует хотя бы одно решение уравнения ф=~р+Аф, то это решение единственно, Таким образом, компактность и единственность вместе влекут за 'собой существование решения; в качестве примера см. в конце раздела обсуждение задачи Дирихле. Поскольку альтернатива Фредгольма справедлива для конечномерных матриц, можно ожидать, что для компактных операторов (в гильбертовом пространстве) ее удается доказать путем представления компактного оператора А в виде А Е+Р, где г — оператор конечного ранга, а 1г имеет малую норму.
Но компактность очень хорошо сочетается с аналитичностью, поэтому сначала мы докажем один элегантный результат, который весьма полезен и сам по себе (см. $ Х11.7 и Х111.4). Теорема УУ.г4 (аналитическая теорема Фредгольма). Пусть Р— открытое связное подмножество в С. Пусть 1: Р— Я (эк)— аналитическая операторнозначная функция, такая, что 1(г)— компактный оператор для каждого гбР. Тогда либо (а) (1 — 1(г)) ' не существует ни для какого аЕР, либо Ю. Комлаюание олерато!»»» (Ь) (1 — 1(г))-! существует для всех гЕ,Р',3, где 5 — ди- скретное подмножество в В (т.
е. множество, не имеющее пре- дельных точек в В). В этом случае (1 — 1(г))-' мероморфна в О, аналитична в .Р~Я, ее вычеты в полюсах — операторы конечного ранга, и если гц5, то уравнение 1(г)!р=ф имеет ненулевое решение в Я~. Дасаза»палас!»!ао. Мы докажем, что либо (а), либо (Ь) выпол- няется вблизи любой точки г». Тогда простые соображения, основанные на связности О, позволят перенести результат на все Р (задача 2!). По заданному г,йЮ выберем такое г, что если )г — г,~ < т, то ~~~(г) — 1(г,)~~ < 112, и возьмем оператор конечного ранга Р со свойством !1 ! (~.) — Р!! < )/2.
Тогда для г цВ, (где 1),— круг радиуса г с центром а») имеем 111(г) — Р~~'< 1. Пользуясь разложением в геометрическую про- грессию, легко увидеть, что (1 — 1(г)+Р)-! существует и ана- литична. Так как Р конечного ранга, то существуют независимые век- торы ф„...,!р,»» такие, что Р(!р)=~~'.", а!(<р)ф!. Коэффициенты ! ! а! (.) суть ограниченные линейные функционалы на Я', и потому по лемме Рисса существуют векторы Ф„..., Ф!д, такие, что Р(<р) = ~~.", (Ф!, <р)ф! для всех <р~М. Пусть ! Ф„(г) = ((1 — 1 (г) + Р) -')' Ф„ д(г) =Р(1 — 1(г)+Р)-'= ~~.'~ (!»„(г), )ф„. Записав (1 — 1(г)) = (1 — д (г)) (1 — 1 (г) ~- Р), мы видим, что оператор 1 — 1(г) обратим при а ~Р, тогда и только тогда, когда обратим 1 — й(г), и что уравнение»у=1(г) ф имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда его имеет р=а(гИ.
Если д(г)!р=ф, то !р= ~~.", ~),ф н р„удовлетворяют урава=! нению Д.=."». '(Ф.(г), Ф„)й.. (У1.5а) Обратно, если (У1.5а) имеет решение <(3!, ..., ~д,>, то !р= 3 р„ф„— решение для й(г) р =ф. Таким образом, уравнение е ! а !а чеа У1. Ограмииенные оиераторм ' д(г)!р=!р имеет решение тогда и только тогда, когда п(г)=бе1«б„„— (!!,(г), ф ))=О. Поскольку (ф„(г), !р„) аналитична в В„такова же и функпия !((г). Это означает, что либо Я, = «г ! г ~.()„Ы (г) = 0) — дискретное множество в О„либо 6, = В„.
Предположим теперь, что 4 (г) чь О, Тогда по заданному !р можно построить решение уравнения (1 — д(г)) !р = !р, положив <р = !р+ ~~~! р„!р„и найдя р„удовлетвол ! ряющие уравнению ~ =(Ф.(~), ф)+ 2', (ф (~) Ф )~ . (У1 5Ь) Но ведь !((г) чь О и, следовательно, зто уравнение имеет решение. Итак, (1 — д(г))-! существуег тогда и только тогда, когда гфЯ,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
