Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Семейство всех таких операторов обозначим через 7,, Основные свойства 7, описывает следующая Теорема ЪЧ.гУ. д, есть «-идеал в .К(М), т. е. (а) Й, †векторн пространство; (Ь) если А Е Ю, и В Е.У(Ж), то АВ Е Ю, и ВА ~ Ю;, (с) если А чд„то и А'~й,. Доказательспмо. (а) Так как ~ ХА ~ = ! Х(~ А ! для 1 ~С, то д, замкнуто относительно умножения на скаляры.
Предположим теперь, что А и ВЕЮ;, мы хотим доказать, что А+В ЕЮ,. Пусть У, г' и Ф' — частйчные изометрии, возникающие при полярном разложении А+В, А и В: А+В=У ~А+В~, А=У~А), В=йг~В). Тогда ;Е (ф„, ~А+В~ф„)= ~~.", (ф„, У'(А+В)ф„) ( ~ Х ~(ф„, У'~! А !ф„))+',~~ ~(р„, У'аг ~ В ~ф„)).
!//. Огр!р/ияэиныэ о!ила/яо/!э/ Однако Х ~(р„, У Ч!А~ч.)~.= Х!)~А! *~«Ур„!~~~~АР*ч„~!~. / /г '!!/э / // ~ д/а ~(,Х ~ЦА~ *ЧУ .~1*) (,Х ~ЦА! * .~Г~ . в=! а ! Следовательно, если мы сможем показать, что ~ ~~ ( А ~.'/' Ч'У!р„~~* ~ (1г ~ А ~, (Ч1. 7) 1г (У'Ч ~ А ~ )/'У) ~ 1г ~ А ~. Выбирая ортонормированиый базис «!р„) так, чтобы каждый !р„ лежал либо в Кег У, либо в (Кег У)х, увидим, что 1г (У' (Ч ) А ~ Ч') У) ~( 1г (Р' ~ А ~ )/').
Аналогично, выбирая ортонормированный базис (!р ), где $ леЖит в Кег)/' или в (Кег)/')!-, найдем, что 1г()/~А~У')~,1гХ (Ь) В силу доказываемой ниже леммы, каждый оператор В Е.У(М) может быть записан как линейная комбинация четырех унитарных операторов,' поэтому с учетом (а) нам остается только показать,' что при унитарном У из А Е Р вытекает УА ЕР, и АУ ЕР,. Но !0А)=~А ~ и !АУ~=)У 'АУ ~, поэтому, в силу пункта (с) теоремы Ч1.18, АУ и УА лежат в Р!. (с) Пусть А = У ~ А ~ и А'=1/~ А'~ — полярные разложения А и А'.' Тогда ~ А ~ = 1/' ! А ~ У . Если А Е./„то ~ А ~ б У! и потому, в силу пункта (Ь), ~А'~е,у и А'=)/~А'~~Р!.
3 Для завершения доказательства пункта (Ь) нужна следующая лемма, которая будет применяться и в других местах: Лемма. Каждый оператор В ~.У(Я) можно записать как линей- ную комбинацию четырех унитарных операторов. Доказа/пельслтао. Поскольку оператор В = — (В+В')— 1 =2 — — (г( — В')), его можно записать как линейную комбинацию двух самосопряженных операторов. Итак, предположим, что А самосопряжен, и, ие ограничивая общности, будем считать', что то сможем заключить, что ~ (!р„, ~ А + В ~ <р ) ~ (1г ~ А ~ + 1г ) В ) ( оа а ! и что А+Вой!. Для доказательства (Ч1.7) нужно только убедиться, что б. Олсршиоры со сллбсл 233 Ц А Ц ( 1.
Тогда А ~ 11/ У вЂ” А' унитарны и А = — (А +1 )/7 ЛХ л)+ ! + л (А — 1)/1 — А'). ° 1 Доказательство следующей теоремы мы оставляем читателю (задача 23). Теорема У!.20,' Пусть норма Ц ° Ц задана на 2г равенством Ц А Ц = 1г ( А !. Тогда У, — банахово пространство с нормой Ц ° Ц~ и ЦАЦ<Ц АЦ1. Отметим, что множество Ю не замкнуто относительно опера- торной нормы Ц Ц, Опишем теперь простую связь между 2 и множеством ком- пактных операторов: Теорема рс.27. Каждый оператор А Е Р, компактен. Компакт- ный оператор А лежит в Ю, тогда и только тогда, когда ~ 3,л < со, где (Х„)л,— сингулярные числа А.
л Доказательслмо. Если А Е Ю„то ~ А ~л ~ Ю, и 1г(~ А ~л) = = ~ Ц Аф„Цл ( оо для любого ортонормированного базиса л (ф„)л, Пусть фс[ф„..., ф 11- и ЦфЦ=1; тогда Ц Аф Цл ( 1г (~А ~л) ~ч~', Ц Аф Цл поскольку (ф„..., ф,~, ф) всегда можно дополнить до ортонор- мированного базиса.
Таким образом, зир(ЦАфЦ$ъ~Е[ф„..., ф„Д~, ЦЫЦ=1) — 0 при У вЂ” оо. Следовательно, ~~„', '(ф„, ) Афл равномерно сходится к А, т. е. А л 1 компактен. Вторая часть теоремы легко выводится с использо- ванием канонической формы, описанной в теореме т1.17 (за- дача 24). ° Сандснгаие. Множество операторов конечного ранга Ц .
Ц1- плотио в я,. Второй класс операторов, который мы обсудим,— зто множе- ство операторов Гильберта — Шмидта, аналог .У'. Определении. Оператор Т б.У (сз) называется оператором Гиль- берта — Шмидта, если 1гТ'Т< оо. Класс всех таких операторов обозначим через Юл. уп ограниченные операторы С помощью тех же рассуждений, что и в случае 5'„можно доказать, что справедлива Теорема У1.2й (а) Множество Р, есть +-идеал.
(Ь) Если А, В Е Ф„то для любого ортонормированного базиса (!р„) ряд ~ (!р, А'В!р„) абсолютно суммируем и его предел, обозначаемый через (А, В)„ не зависит от выбора ортонормированного базиса. (с) Ю„снабженное внутренним произведением ( °, ° ),, есть гильбертово пространство. (д! е //А(! -3~7А.А) -!! !ААВц' ~~А(~~А!!!! а,~~ А Ц и ~~А ~~ =~~А (е) Каждый оператор А ЕЯ, компактен, а компактный оператор А лежит в 7, тогда и только тогда, когда,~~ Х„* < ео, р=! где Х„ †сингулярн числа А. (!) Множество операторов конечного ранга ~~ Ц-плотно в У,. (д) А Е Ю, тогда и 'только тогда, когда ( (~ А!р„д ) Е 1, для некоторого ортойормированиого базиса (!р„). (Ь) А ЕФ! тогда и только тогда, когда А=ВС, где В, СЕЮ,. Отметим, что Я, не замкнут по ~~ ~~ь.
Важный факт о Ю, состоит в том, что, когда ЯГ=1Р(М, !(р), множество У, имеет конкретную функциональную реализацию. Теорема У1.23. Пусть (М, р) — пространство с мерой и ур =П (М, !!р). Тогда А Е.У (Я) есть оператор Гильберта— Шмидта тогда и только тогда, когда существует функция КЕЕ'(МхМ, Йр®йр), такая, что (АД (х) ~ К (х, у) ~ (у) !(р (у). Более того, ~~ А ~13 = ~ ~ К (х, у) (! ар (х) ар (у). Докааалмльсл!ао.
Пусть функция К Е1.*(МхМ, ар®др) и А„— ассоциированный с ней интегральный оператор. Легко видеть (задача 25), что Ах корректно определен на Ж и что 1! Ак!! ~» 1! К 1!д' (и.в) о. Оаораа«о««ы со олооао Пусть (ф„)„" ! — ортоиормированный базис в 1Р (М, «(р). Тогда ф„(х)«р (у)1" ! — ортонормированный базис в пространстве '(МХМ, ««)«®«()«), так что К= ~~~, 'с«„„ф (х) ф (у).
Пусть К,= ~~.', а„о ф„(х) ф (у). л. о!м! Тогда каждая функция Кь, есть интегральное ядро оператора конечного ранга. Действительно, Ак = ~ а„, „(ф, ) ф . Пои скольку 11Км — К11~. — О, с учетом (««!.8) имеем, что 11Ак — Ак 11- 0 при )««' — оо. Следовательно, Ак — компактный ««« оператор и (г(АкАк) = Х 11Акфа11! Х Х 1с«в,о1*=11КЬ> Таким образом, АкЕ 7, и 11 Ак11,=11К11ь.. Мы уже показали, что отображение К! Ак — зто изометрия пространства «".(МХМ, «()«®«()«) в У„поэтому ее область значений замкнута. Но операторы конечного ранга очевидным образом можно получить из ядер, а поскольку они плотны в з„ область значений отображения К«Ак есть все з,.
й Эта теорема дает простое достаточное условие компактности оператора и потому весьма полезна. Отметим, 'что ее условие не является необходимым. Одновременно у нас появилось достаточное условие того, что оператор на Я' ЕР(М, «(р,) является интегральным оператором. Это условие также не необходимо. Вернемся теперь к определению следа на з!. Теорема У1.24. Если А ~Л! и («р„)„",— любой ортоиормированО~ иый базис, то ряд ~ (ф„, Аф ) сходится абсолютно и его сумма «= ! не зависит от выбора базиса.
Доказательство. Запишем А в виде У1А 1«м1А 1н*. Тогда 1(ф.. Аф.)1<111АР'*У ф-11111 ~1'"ф.11 ° Таким образом, Ю / м ~,«/! / м ~ «/а Х1(ф., Аф.)1~~Х 111А1'"У ф.11*1 ( Х 11141ьвч.11*~ г'г. Огра нииенаггг ааграторгг и, поскольку ~А~О« У' и ~АР" принадлежат й„ряд сходится.
Доказательство независимости от выбора базиса дословно то же, что н для 1г А, когда А)0. ° Определение. Отображение 1г: Ю,— С, задаваемое равенством 1г А = ~~.", (ф„, Аф„), где (ф„) — любой ортонормированный базис, и называется следом'. Отметим, что утверждение: «если ~~~, '~ (ф„, Аф„) ~ < аа для не«ю! которого ортонормированиого базиса, то А б Р,э — 'неверно, ибо для того чтобы А б Ю„сумма должна быть конечной для всех ортонормнрованиых базисов. Спектральная теорема, которая бу.дет доказана в следующей главе, утверждает, что любой самосопряжениый оператор А записывается в виде А+ — А, где А+ и А положительны и А+А = О. Позтому неудйвнтельно, что А б 3, тогда и только тогда, когда 1г А+ < ао, 1г А < ач, и в атом случае 1гА=1гА+ — 1гА .
Подытожим основные свойства следа: Теорем«« Рг.Ж. (а) 1г( ) — 'линейное отображение; (Ь) 1г Аа = 1г А; (с) 1гАВ=1гВА, если АЕ у, и Вч.У(,'Ж). Докааипельаиво. (а) и (Ь) очевидны. Для доказательства (с) достаточно рассмотреть лишь унитарные В, ибо любой ограниченный оператор есть сумма четырех унитарных. Но в таком случае 1гАВ- ~~(ф ° АВфг)= Х (Вафа. АФ„)=. Х.(фа ВАФ,)= 1гВА, где ф„=Вф„для всех п.
° Если А Е 7„то отображение Вм1гАВ есть линейный функционал на .У'(Я). Этим, конечно, не исчерпываются все непрерывные линейные функционалы на .У(аз), однако такие функционалы полностью составляют сопряженное к Сот (тг) — пространствуу компактных операторов. Можно зафиксировать В б.Я' (Я) и получить линейный функционал на У„задаваемый отображением А> 1гВА.
Множество таких функционалов образует сопряженное к Р„снабженному топологией операторной нормы. Сформулируем зто утверждение как теорему; интересующиеся доказательством могут найти его набросок в задаче 30. Теорема УЛЛ6. (а) Ю, = (Сот (лз)1*. Иначе говоря, отображение А ~ 1г (А .) есть изометрический изоморфизм между 7, и 1Согп (Я))*. (Ь) .У (гз)= у;. Иначе говоря, отображение В~ 1г(В ) — изометрический изоморфизм между .У(Я') и й;.
237 Теперь вернемся к обсуждению различия между слабой операторной топологией на .и'(зв) (см. 9 111.1) и слабой банаховой топологией, т. е. а( к'(уб'), .!г (М)е). Если чг — семейство операторов конечного ранга, то сг'»= 7, и каждый оператор г" Е гг может быть реализован как линейный функционал на .У(Ж) посредством сопряженного действия д, на .У(Я'). Топология„ порождаемая этими функционалами на и'(~), т. е. топология о(.й'(ур), К),.и есть как раз слабая операторная топология. Множество К не замкнуто относительно в'(М)е-нормы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
