Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Яос., 89 (1958), 5!9. При атом использовались методы, подчеркивающие аналогию с Ьг. 240 Ч!'. Оалаипчеипыз оиелазюры ЗАДДЧИ Докажите, что слабая операторная топология слабее сильной операторной топологии, которая в свою очередь слабее равномерной операторной топологии. )2. Докажите утверждения примера в й Ч1.1. 8. (а) Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства.
Докажите, что если Т»Е Х (Х, У) и (Т х) — последовательность Коши для каясдого я~Х, то в Л'(Х, У) существует такой Т, что Т„.— Т сильно. »(Ь) Верно ли утверисденне (а), когда вместо Т„рассматривается направленность ТпР 4. (а) Пусть Х и à — банаховы пространства. Докажите, что теорема, аналогичная теореме Ч.1, справедлива и для .с (Х, )г), если У слабо секвенциально полно (зтп означает, что каждая слабая последователь. ность Копы имеет слабый предел). (Ь) Докажите, что если банахово пространство рефлексивно, то оно слабо секвенцнально полно. б. (а) Пусть Тг! !р(к)- ф(х+!) — оператор на (.з(К). Какова норма Ут? К какому оператору сходится Тг, когда ! со.
н в какой топологниг (Ь) Ответьте на те же вопРосы длЯ Ть действУющих в !.з(К, е-»»бх). 6. (а) Пусть уб — бескснечиомерное гильбертово пространство. Предполоигим, что заданы а, ф и ортонормированные векторы ф„..., ф„. Покажите, что существуют такие А и В, что )) Аф! (~ < е, )) ВФ1-11 =в; 1=1,..., л, ио 11АВф (( > 1. (Ь) ДОКажИтЕ, ЧтО УМНОЖЕНИЕ КаК ОПЕРаЦИЯ Иа.о (Уб)ХМ(ЯЗ) В М (Яь) не непрерывно, когда Л'(уб) наделено сильной топологией. (с) Предположим,что(Ае) ! н (Ви) — напра!ыеллестп. ПустьА а Э % А*, Ви — »В. Докажите, что А»В» — »АВ. » $ (б) Пусть А»у-„— пасзедовательиосл!и, такие, что А» — »А, „— ° В.
» Докажите, что А„В„АВ. (е) Пусть А„, В» — посмдазаглельноппи, такие, что А„— А, „— В, Принедите пример, когда угверищение А„„— АВ лазерно. 1. Приведете пример, показывающий, что область значений ограниченного оператора может не быть замкнутой. Докажите, что если Т ограничен, задан всюду и нзометрнчен, то )сап Т замкнута. )т). (а) Пусть А — ограниченный самосопряженный оператор на гнльбертовом пространстве. Докажите, что его собственные значения вещественны и что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям,.
ортогональны. (Ь) Выведите нз доказательства теоремы Ч1.8 универсальную (но зависящую от )!) оценку нормы резольвенты самосопряженного оператора при невещественных )!~С. 9. (а) Пусть А — самосоприжеиный оператор на гильбертовом пространстве Я~. Докажите, что ()А))= зпр 1(Ах, х)(. й»11»! '241 Указание.
Сначала заметьте, что йе(ф, АФ) '/,[(ф~-зз,А(ф+Ф)) — (ф — й, А(ф — в))]. Затем, используя неравенство [(з), Ат!)[~[[з! []з зпр [(з1, Ат!)] нчй ! и тождество параллелограмма, докажите, что [(ф, АФ)[~ звр [(3), Аз!)[« йчй=! если [[Ф[[=[[ф[[=1. (Ь) Найдите пример, показывающий, что Тгверждение пункта (а) может быть неверно. есле А не самосопряжен. 10. Покажите, что спектральнмй радиус интегрального оператора Вольтерра г (Т/) (х) = ] /(р) Др. е рассматриваемого как отображение С[О, 1] в себя, равен нулю.
Какова норма ТР !//. Пусть ТЕМ(Х), Локажнте, что Нт [[Т" [[ы» существует н равен !п1[[Т" [[ы»; действуйте следующим образом: » (а) Положите а,=!ой [[Т» [] я докажите, что а„+»»Са~+а». (Ь) Ллв фиксированного натурального ю положите л=»»1+г, где е и г — натуральные числа н О в г~т — 1. С помощью (а) выведите, что )!щ а» ~ л» » л ю (с) Локажите, что Вт (а»/л) =!п((а»/л), т. е. требуемое равенство. »- » » у/2."Локажите предложение в конце б У!.3. 13.
(а) Лайте пример, показывающий, что линейное преобразование пространсгва С» может быть положительным, несмотря на то что все его матричные злемеиты не полвжнтельны. »(Ь) Выведите необходимое и достаточное условне положятельностн лХл- матрицы. (а) Локажите, что если А»)О, А» — «А по норме, то У А» ° У А по норме. (Ь) Предположим, что [А» )О] — последовательность и А» — А сильно. Локажите, что У А» - г' А сильно. (а) Пусть А„— А по норме. Локажите, что [А [ — «[А [ по норме.
(Ь) Пусть (А»] — последовательность, и А„— А, А» — А» сильно. Локажнте, ч1о [А„[ — «[А [ сильно. (с) Найдите пример, показывающий, что отображение [ [ не является слабо непрерывным на и" (ф~). /б. Пусть п»=~О 1~, ах=[1 О) Локажите, что иеравенстно г1 Оч гО 1ч [(о + «+(и,— П[~[(п + П [+ [(и,— П [ неверно. Замечание: этот пример принадлежит Э.
Нельсону. У1. Ограничением аягратары 17. Дояажите, что неравенство Ц !А ! — (В! ЦлЦЦ А — ВЦ не обязательно верно. (Указанию см. задачу 16.) '»16. (а) Локажите предложение, предпмствующее теореме У1.10. (Ь) Локажнте единственность, утверждаемую теоремой Ч1.10. 12. Запишите матрицу ( ~ как пронзведенве вращеняя н положнтель 2 !1 ной симметричной матрицы. л20. Предположим, что Х вЂ” рефлекснвное банахово пространство и что Тг Х вЂ” Х вЂ” ограниченный линейный оператор. Докажите, что если Т переводит слабо сходящуюся последовательность в равномерно сходящуюся, то Т компактен. »21.
Завершите доказательство теоремы Ч1.14, распространнв доказанный в тексте результат на все пространство О. 22. С помощью теоремы Стоуна — Вейерштрасса докажите, что любой интегральный оператор Фредгольма на С(а, Ь) ь (Т)) (х) = ~ К (л, у) 1 (у) йу, где К вЂ” непрерывная функцяя, есть равномерный предел операторов конечного ранга. )28. (а) Локажите, что Ц А Ц~ ЦА Цм (Ь) Предположим, что (А„» — последовательность Коши относительно Ц Ци Покавапе, что (Ал» ямеет Ц.
Ц-п редел А н что (г ! А ! < аэ. После этого завершите доказательство теоремы Ч1.л), показав, что А есть Ц Ц,- предел (Ал». '»24. (а) Используя канонвческую форму, даяную в теореме У1.17, докажите второе утверждение теоремы У1.21. (Ь) Докажите следствяе теоремы У1.21, 125. Пусть КЕ(э (М ХМ, 4аЯ)ар). н пусть Ал — интегральный оператор (Адур)(х)=» К(х, у)м(у) б)ь(у). Локажнте, что Ал корректно определен н что Ц Ад Ц ° Ц К Ц,.
Ф 26. (а) Локажнте, что если ~~Э,' ! (Афл, ~рл) ! < аа для всех ортонормярованных л 1 базисов, то АЕВм (Ь) Найдите такой А(уы что ~~'.~ ! (АВ~ 'М ! < ю для некоторого Фнкл ! снрованного ортонормярованного базиса. 27. Локажнте, что (г(АВ)=1г(ВА), если А, ВЕуа. 26. Локажнте, что (а) Ц АВ Ц, л» Ц А Ц Ц В Цы (Ь) Ц А В Цэ л Ц А Ц Ц В Цэ. (с) ЦАВ Цг~Ц А ЦэЦ В Цэ. гхр. Докажите, что А ц Юг тогда я только тогда, когда А = ВС, где В, Сц Юз. ]80.
Цель этой задачи — доказательство теоремы Ч1.26. (а) Пусть à — ограниченный линейный функционал на Согл(ф). пусть (ф, ° ) в — оператор на Я~, переводящий п в (ф„ц) в. покакнти, что существует ограниченный линейный оператор В, такой, что (р, вв>=1[(ф, .>и]. (Ь) Используя равенство гг г м ч', (йю]в[в„>=1~;~ ((уй„, .>и„, «1 «1 . докажите, что ВЕ8з н ][В ]]а~]] (]] с . (с) Докажите, что А ! !г (ВА) — ограниченны™й линейный функционал на Согл(Я), равный на самом деле г( ). (4) Докажите, что [[ В][г=]! г [] (е) Пусть 8 — ограниченный линейный функционал на 8,.
Покажите, что существуег единственный ограниченный линейный оператор В, такой, (ф, ВФ) = 8 [(ф, ) Ф]. (1) Докажите, что А 1-«!г(ВА) — ограниченный линейный фуякцнонал на Оы который совпадаег с 8, я что ][8]] = [] В ]!. 81 8Е Пусть ЕМ, )«ь — пространство с мерой н Е (М, 8[«) действует на Я' = Ез(М,И!з) в том смысле, что (Тир) (х) = 7 (х) и (х). Докажите, что топология на Е, нндуцнрованная слабой операторной топологией на й(Я~), тождественна«-слабой топологии, нндуцнрованной на Е, пространством Ег.
82. Пусть С[0, Ц действует на 'Ее [О, Ц, как в задаче 31. Найдите последовательность в С[О„Ц, сходящуюся в слабой операторной топологии на С[0, Ц к )~цС [О, Ц, но не сходищуюся в слабой баиахозой топологии на 8".[О, Ц. 88.
Рассмотрим 8з как гильбертово пространство с внутренним произведением (А, В)«=1г(А«В). Пусть А г Ел н А г Ид — отображения Х(Яг) в Х(8«), определяемые формуламн Е„(В>=АВ, Вл(В>=ВА . (а) Докажите, что А Ь«Ел — гомоморфнзм .х (8б) в й (8«). (Ь) Докажите, что А 1-«Ял — сопряженно-линейный гомоморфнзм М(Я~) в й (8«). (с) Предположим, что С~М(бз) н удовлетворяет условию СЕл=ЕлС для всех АЕМ(Яз). Докажите, что С=Вв для некоторого ВЕ.М(~). «84.
Покажите, что в гнльбертовом пространстве Яб отображение Т: уб — «Яз непрерывно нз слабой топологии в равномерную (т. е. Тх — --«Тх, 0 Н если х . х для произвольной направленности) тогда н только тогда, когда Т имеет конечный ранг! (Ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
