Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972) (1095471), страница 47
Текст из файла (страница 47)
По теореме Ч1.7 зто множество есть спектр оператора Т . Мы хотим показать, что Т' точечного спектра не имеет. Пусть Д )„",Е1„и (Л1 — Т') Д„) =О. Тогда Лй,-О, ц,— 1',=о,' Все зти уравнения вместе показывают, что Д,)„",=О, так что Л1 — Т' — взаимно однозначное отображение и Т' не имеет точечного спектра. Предположим теперь, что ~Л~ < 1. Тогда для всех ((Л1 — т') Ц(х,)-1. ((Л1 — т) х,) =О, где хь Е 1,— собственный вектор, отвечающий собственному значению Л.
В силу теоремы Хана — Ьанаха в! существует линей. ный,функционал, не обращающийся в нуль иа хю так что область значений оператора Л1 — Т' не плотна. Следовательно, (Л( Л! ( 1) †остаточн спектр оператора Т'. 1 ается рассмотреть границу ~ Л ) = 1. Пусть. ) Л ~ = 1. н ' (Л1 — Т) Щ = О для некоторой последовательности Щ Е 1„. Тогда $,*= 34,. $1=Лз * так что Щ„",=$,(1, Л, Л', ...) не лежит в 1,. Следовательно, Л не принадлежит точечному спектру. Если бы область значений Л1 — Т была не плотна, в 1„существовал бы ненулевой Ь, такой„ что 1. [(Л1 — Т) х1 О для всех х Е 1,. Но тогда 1(Л1 — Т') Ц (х) = О, что означало бы, что Л лежит в точечном спектре Т', которого, как мы доказали, нет.
Следовательно, (Л~ (Л~=1) не лежит ни в точечном„нн в остаточном спектре Т. Наконец, докажем, что 1Л ! ~ Л ! =1» принадлежит остаточному спектру Т', явно найдя открытый шар, не пересекающийся с 217 кап(лу — Т'). Если а (а» и Ь=(Ь„»~1„и а=(и — Т')Ь, то ,=ль„ а, ЛЬ,— Ь„г, так что Ь„(Л)"+1 ~ч~, 'Л"а . Пусть с=(с„», где с„=Л", и пред- т=О положим, что Ыб1„н ЦЫ вЂ” сЦ ~1/2. Тогда Ке (Л"Ы„» ) Ке (Л"с„» — Ц Ы вЂ” с Ц.. > 1/2. Таким образом, если (Л вЂ” Т')е Й прн некотором а~1, то, поскольку е.=(л) +' Х л-(, т=О ~е„~)а/2, что невозможно. Следовательно, Кап(л/ — Т') не пе- ресекает шар раднуса 1/2 с центром в с, так что Л лежит в остаточном спектре. В итоге получаем следующую картину: Оператор Спектр Точечный спектр Осгаточный спектр Т ~Л!~1 ~Л~ <1 И Т 1ла1 И ~Л~~1 Точно так же, как в рассмотренном прнмере, можно дока- зать общее Л)звдложемгы. Пусть Х вЂ” банахово пространство н Т~З'(Х).
Тогда ' (а) если Л лежит в остаточном спектре Т, то Л лежит в точечном спектре Т', (Ъ) если Л лежнт в точечном спектре Т, то Л лежит- либо в точечном, либо в остаточном спектре Т'. Наконец, имеет место Теорема З~Х.8. Пусть Т вЂ” самосоцряженный оператор на гнль- бертовом пространстве Ж. Тогда (а) Т не имеет остаточного спектра; (Ь) о(Т) — подмножество в К; (с) собственные векторы, отвечающие различным собственным значенням Т, ортогональиы. Доиияглельслмо.
(а) следует нз последнего предложения и того, что точечный н остаточный спектры не пересекаются по опреде- лению. Если Л н р вещественны, то Ц[А — (Л+ър)~хЦ*=(х, (А — Л+1р)(А — Л вЂ” /р)х) = Ц (А — Л) х Ц'+ р* Ц х Ц' У1. Ограмиченнае орераторм 2!8 Таким образом, если рчьО, то ~~(А — (Х+цв))х!!.=з ~н !~!х~~.
Это означает, что А — (А+цв) — инъекция, обладающая ограниченным обратным, заданным на области значений, которая замкнута. Поскольку А не имеет остаточного спектра, КапА Яс. Следовательно, (Л+!р) Ер(Т), если рчьО, так что о(Т) с= тс и (Ь) доказано. Легкое доказательство (с) оставляем в качестве упражнения (задача 8), ° т !.4. Пнллжительныа лннрвтлры и плллрнее рвзлвжвние Мы хотим доказать существование специального разложения операторов на гильбертоеом ароспцйюлстее, аналогичного представлению г= ~г!е'"е* для комплексных чисел.
Для этого мы должны прежде всего описать подходящий аналог положительных чисел. Оариделелае. Пусть Я' — гильбертово пространство. Оператор В Е.Я'(Я) называется положительным, если (Вх, х) ) О для всех х ~ус. Мы пишем В ) О, если В положителен, и А ) В, если А — В>~О. Каждый ограниченный положительный оператор на комплексном гильбертовом пространстве самосопряжен.
Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что (х, Ах) =(», Ах) (Ах, х), если (Ах, х) принимает только вещественные значения. В силу поля, ризационного тождества (задача 4, гл. 11); (Ах, у)=(х;-Ау), если (Ах, »)=(х, Ах) дли всех х. Итак, если А положйтелен, то он самосопряжен. В случае вещественного гильбертова пространства зто неверно, потому что в нем, зная (х, Ах) при всех х, нельзя восстановить (х, Ау).
Для любого А Е.Я'(Я) имеем А'А) О, поскольку (А'Ах, х)= =!!Ах~~'>О. По аналогии с формулой ~г)=~ге мы хотели бы определить !А ~ как УА А. Чтобы сделать зто, надо показать, что из положительных операторов можно извлекать квадратные корни. Начнем с такой леммы: .!увлекла. Разложение функции у ! — г в степенной ряд около нуля сходится абсолютно для всех комплексных чисел г, удовлетворякяцих неравенству ~г~( 1. Докааилельсрмо. Пусть $'1 — г=1+сг+с,г*+...— такое разложение. Так как функция р ! — г аналитична при ~г~ < 1, ряд сходится в этой области абсолютно. Далее, производные функции у'! — г в нуле все отрицательны, поэтому с~ отрицательны цри 4. ПОЛОЖИЛ!ОАЬЯОИ ОООРОО!ОРОС Л ООЛЯРЛОО РОЛЛЩЛЛЛЛО 2!9 ! в1.
Следовательно, Х ~с„~=2 — ~ с„= 2 — !пп ~~~ ~с х (2 — ' !пп )Г1 — х=2, л О О О где !ип означает предел при стремлении х к единице снизу. л -«! л Поскольку зто справедливо для всех У, имеем Х !с ~<2, что л О доказывает абсолютную сходимость при ~ г ~ = 1. ° Теорема УЬУ (лемма о квадратном корне). Пусть А б.У(Ф) и А ~0.
Тогда существует единственный оператор В Е.У(Я), та- кой, что В)~0 и В'=А. Более того, В коммутирует с любым ограниченным оператором, коммутирующим с А. Дохаза!пелосл!Оо. Достаточно рассмотреть случай, когда !! А !! < 1. Поскольку ~~.( — А ~~ = зпр ~ ((1 — А) <р, <р) ~ «-1, во!! ! из леммы следует, что ряд Т+ с, (1 — А) + с, (1 — А)'+... сходится по норме к некоторому оператору В. В силу абсолютной схо- димости, можно возвести этот ряд в квадрат и перегруппиро- вать его члены так, чтобы получилось В*=А. Более того, так как 0(1 — А(1, то 0 (~р, (( — А)" ~р)(1 для всех !р~М с !! !р !! 1. Следовательно, (~р, В<р) =1+ ~~.', "с„(р, (У вЂ” 'А) !р))1+ ~~„", с ~0, где использован тот факт, что с„<0, и оценка, приведенная в лемме. Таким образом, В' «О.
В силу абсолютной сходимости ряда для В, он коммутирует с любым оператором, коммутиру- ющим с А. Предположим теперь, что существует такой В', что В' «О и В'*=А. Тогда, ввиду того что В'А = (В')' = АВ', В' коммутирует с А и, следовательно, с В. Значит, ( — В)В( — В)+( — В)В ( — В)=(ВΠ— Во)( — В) =О. (Ч1.3) Поскольку оба члена в левой части (Ч1.3) положительны, они оба должны равняться нулю, так что нх разность ( — В')*=О.
Так как  — В' — самосопряженный оператор, !!  — В' !!' =1!( — В')'!! О, и потому  — В'=О. ° Теперь мы готовы определить ~ А ~. О!д!зеделовмив. Пусть А !с.У (Я). Тогда ~ А ~ =)/ А'А называется абсолютной величиной оператора А. Читателю следует остерегаться эмопий, вызываемых другими значениями символа ~ ~. В то время как равенство ~ ЛА) =1Л)~ А) справедливо для всех ЛЕС, в общем случае не верно, что ~ АВ(=НАИВ~ или что )А~=)А'1.
Более того, в общем случае неверно, что !А+В~((А 1+)В) (задача 16). Действительно, в то время как отображение ~.~ непрерывно по норме (см, задачу 15), оио не всегда удовлетворяет условию Липшица, т. е. не всегда О~А~ — ~В~~~(с~~А — ВО при некоторой постоянной с (см. задачу 17). Найти аналог комплексных чисел, равных по модулю единине, несколько сложнее. На первый взгляд можно было бы ожидать, что для этого вполне подойдут унитарные операторы, но следующий пример показывает, что это не так. Пример. Пусть А — оператор правого сдвига в 1,. Тогда ~А~ )'А А 1, так что если мы запишем А=У(А(, то мы должны получить У А.
Однако А не может быть унитарным, поскольку вектор (1, О, О,...) не принадлежит йапА. Олределвлие. Оператор У ~ Я (М) называется изометрическим, если ~~Ух~(=~~х1 для всех х~М. Оператор У называется частично изометрическим, если У изометричен после сужения на замкнутое подпространство (Кег У)х. Таким образом, если У частично изометричен, то ЯГ можно представить в виде Ж Кег У ®(Кег У)л и Я~ = йап У ® Я(йап У)ь и У вЂ” унитарный оператор, действующий из начального подпространства (Кег У)~ оператора У в его конечное подпростраиство йап У.
Нетрудно видеть,. что У вЂ” частичная изометрия из Кап У в (Кег У)~-, которая действует как отображение, обратное к У: (КегУ)~- йапУ. Предложение. Пусть У вЂ” частично изометрический оператор. Тогда Р, У'У и Р, УУ' — проекторы соответственно на начальное и конечное подпространства оператора У. Обратно, если для оператора У Е .У (Я~) произведения У'У и УУ' суть проекторы, то У частично изометричен. Доказательство этого предложения мы оставляем как задачу 18. Теперь мы готовы к доказательству существования аналога разложения г ~ г ~ е'"а'.
Теорема г1.10 (полярное разложение). Пусть А — ограниченный линейный оператор на гильбертовом пространстве,Ж. Существует частичная изометрия У, такая, что А=У~А~. Оператор У однозначно определяется условием Кег У = Кег А. Более того, Кап У пап А. Б. Ко»ош«ооо««ооооатори Доказательство. Определим отображение У: Кап ~ А ~ — Кап А равенством У () А ~ ф) = А«р. Поскольку !ИА!ф!!'=(Р. 1А!'ф) =(ф, А ~И) =!! Аф!1*, оператор У определен корректно, т. е. если ~А~ф=~А~~р, то Аф = А<р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
